高三数学-寒假理科第1讲.函数与方程..doc

第1讲 函数与方程数形结合思想强化训练教师备案一、总体架构安排1、总体说明近年的高考中，有个函数题，其中个均要借助图形解题考查以能力为主，如年高考函数共考查分，北京市均分，属于各个模块中除第题所在模块外得分率最低分的模块，再加上，年选择第题全北京市难度系数为，在个选择题中排倒数第二，种种迹象表明，年对于函数的考查是有待加强的附表（年北京理科高考数据）说明如下：理科题组满分值最大值最小值平均值标准差差异系数难度相关系数鉴别指数函数与导数三角函数立体几何数列解析几何计数与概率算法其他题 号总体市难度题 号1011121314市难度题 号151617181920市难度对于函数的讲解，我们既要注重基础，又要注重能力培养既要面面俱到，又要突出重点本讲考点和例题安排如下：考点例题考查点考点：基本考点例定义域、值域、函数图像、函数性质、分段函数和二次函数考点：能力提升例函数交点分析、函数性质的分析、数形结合分析、函数与方程分析、抽象函数分析考点：函数综合例导数的应用，交点和零点，分类讨论2、时间安排题多，又是第一次课，事杂，建议课时个小时，按照学生实际情况自行调整二、一轮、二轮、三轮复习衔接一轮复习时，函数部分我们复习三要素、基本初等函数、函数的性质、复合函数与抽象函数、函数的图象与函数的零点问题侧重于与各个知识点配合的小题，每道题的知识点比较单一，有针对性，综合性不强导数部分复习了导数的概念与几何意义、求导运算及导数公式的逆用，以及利用导数求单调区间、极值与最值的问题，和已知单调区间、极值与最值情况求参数范围的问题二轮复习以函数与方程的小题为重点，这类题的综合性较强，是对各种函数及其性质的综合应用，具体见上面的总体说明导数中只讲解利用导数处理函数的零点个数与图象的交点个数的问题三轮复习我们将对导数解答题的考查类型进行系统总结，不再讲函数的选择填空题的处理方法（除了创新题中的函数问题），针对含参函数的单调区间的分类讨论给出一般性步骤，对恒成立问题总结各种转化的方式，并进行针对性练习知识回顾 <教师备案>知识回顾涉及到基本初等函数，包括指数函数、对数函数与对勾函数；以及函数的性质，包括奇偶性、对称性、单调性与周期性其中7（选讲）涉及到了函数的图象变换，如果班上学生程度较好，可以进行回顾知识回顾板块建议时间15分钟，星级表示难度，星星越多，难度越高建议尖子班以一星、二星的问题为主，目标班着重讲三星的问题，目标123班着重讲三星、四星的问题1（）若，则（ ）A， B，C， D，2（）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 3（）已知函数是偶函数，当时，当时，记的最大值为，最小值为，则_4（）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则_5（）对于定义域为的函数，给出下列命题：若函数满足条件，则函数的图象关于点对称；若函数满足条件，则函数的图象关于轴对称；若函数满足条件，则函数的周期为；若函数满足条件，则函数的周期为其中，真命题的个数是（ ）A B C D6（）（选讲，学生版不出现）对于定义域为的函数，给出下列命题：在同一坐标系中，函数与的图象在轴右边的部分相同；在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称；在同一坐标系中，函数与其图象关于直线对称；在同一坐标系中，函数与其图象关于轴对称其中，真命题的个数是（ ）A B C D答案与解析：1D23；4；5C；6D；知识纵横 <教师备案>该板块列出了集合、函数、导数的知识点网络体系，可以作为学生对自己的知识体系的检验，其中加粗的部分是重点，可以适当强调重难点主要有函数性质板块、函数图象、函数与方程、导数的应用等知识点老师可以根据班上学员情况有选择进行讲解在此补充两个知识点，分别如下：【补充1】双对称性与周期性的关系如果都为的对称轴，则为的一个周期；如果都为的对称中心，则为的一个周期；如果是的对称轴，为的对称中心，则为的一个周期例：若的定义域为，且对任意，有，若，则_答案：【补充2】对称函数的导函数性质若可导函数有对称轴，则的图象中心对称，对称中心为；同样，若可导函数有对称中心，则的图象轴对称，有对称轴证明如下：若，则，即，即有对称中心；若，则有，即，即有对称轴例：已知函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_答案：；集合映射概念元素、集合之间的关系运算：交、并、补数轴、Venn图、函数图象性质确定性、互异性、无序性定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在x0处有定义的奇函数f (0)01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性的方法最值二次函数、对勾函数、三角函数有界性、数形结合、基本不等式、导数幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、函数原型函数与方程二分法、图象法、二次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用表示方法换元法求解析式分段函数几何意义单调性导数的正负与单调性的关系分类讨论定积分与微积分定积分与图形面积的计算注意应用函数的单调性求值域双对称性与周期性的关系复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用图象及其变换最值极值例题精讲 考点：基本考点<教师备案>定义域、值域、函数图像、函数性质、分段函数和二次函数、函数应用复习中希望注意以下问题的处理：单调性的复习中应把导数的方法加入；值域的复习中应把导数、均值定理等方法加入；函数性质的复习中函数的周期性与三角函数作为思考渠道注意方法的总结：比如数形结合、恒成立问题、函数零点与方程的根的转化、不等式、方程及函数的转化等【例1】 若函数的定义域为，则的取值范围为_（2012东城二模13）已知函数（）的最大值为，最小值为，则的值为 _（2013四川）函数的图象大致是（ ）A B C D 已知函数是定义在上的增函数，当时，若，其中，则（ ）ABCD（2012西城二模12）已知函数是上的偶函数，则实数_；不等式的解集为_【解析】 C C；【拓展1】设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（ ）A B C D不能确定 【解析】 B【拓展2】已知函数，区间，集合，则使成立的实数对有（ ）A0个 B1个 C2个 D无数多个【解析】 A【总结】以上例题分别涉及定义域、值域、函数图象、函数性质、分段函数和二次函数，题目有一个典型特点不涉及参量讨论，而对于参量的讨论往往题目难度较大，需要提升能力空间较大考点2：能力提升<教师备案>例2为分析交点的情况，为分析函数的性质：是分析函数值，是分析单调性【例2】 （2012石景山一模12）设函数的最小值为，则实数的取值范围是_ 已知函数，设则使成立的 的取值范围是_（2012朝阳一模13）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_函数对任意的，都有，并且当时，那么在上的单调性为 【解析】 ； ； 是上的增函数<教师备案>在例2基础上加大对参量和图形考查，从考查力度上加强对能力的考查【例3】 （2012朝阳二模7）直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D（2012东城一模8）已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D（2011丰台一模6）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD（2012海淀一模7）已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A BC D或【解析】 A；A；A；【拓展3】（2013四川）设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】 A【拓展4】（2013安徽）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是（ ）ABCD【解析】 A<教师备案>例4函数与其它知识的综合【例4】 （2010东城一模文8）已知函数是奇函数且是上的增函数，若满足不等式，则的最大值是（ ）A B C D（2011年石景山一模理8改编）定义在上的函数满足为的导函数，已知函数的图象如图所示若两正数满足，则的取值范围是（ ）A BC D【解析】 C； C；【点评】距离公式与斜率公式是数形结合的一个常见结合点，见到类似的这两种形式就要联想到这里来，找到结合点考点3：导数的应用零点与交点个数问题<教师备案>与函数与方程相关的导数问题是利用导数判断函数的零点与交点个数的问题，例5与例6可以一道作为例题，另一道作为巩固建议班上学生程度不太好时，可以去掉下面铺垫的的范围限制，作为一道简单的分类讨论求单调区间的问题作为热身，分类讨论求单调区间我们会在三轮复习时集中强化关于导数的考察，主要以幂函数、指数函数、对数函数为主，而且体现轮换考查的特点， 近3年高考理科情况如下变，而且2013年北京高考导数问题上文理的出题思路有了很明显的差异，这是与往年不同的情况，体现了对导数要求的文理侧重点不同2011年2012年2013年指数函数幂函数对数函数【铺垫】若，则方程在上的根的个数为（）A恰有一根 B恰有三根C可能无根D不能确定，与相关【解析】 A【例5】 （2012海淀高三期末18）已知函数，其中是常数当时，求曲线在点处的切线方程；若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围【解析】 的取值范围是【备注】三次函数在两端趋于无穷是默认的，可以不加说明；但对一般函数，两端的趋势不能确定，比如指数函数就在一端有渐近线，不会趋于无穷，故一般需要通过取特殊点，通过特殊点的函数值得到两端的大致取值范围，从而得到参数的范围【例6】 （2013海淀一模）函数，其中实数为常数 当时，求函数的单调区间； 若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围【解析】 的单调递增区间是，单调递减区间是 的取值范围是【拓展5】（2013陕西改编）已知函数 若直线与的反函数的图象相切，求实数k的值； 设，讨论曲线与曲线公共点的个数【解析】 当时，无公共点；当时，恰有1个公共点；当时，有2个公共点【拓展6】（2013江苏）设函数，其中为实数 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围； 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论【解析】 的取值范围为 当或时，的零点个数为1，当时，的零点个数为2头脑风暴 （2013湖北10）已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）A，B，C，D，【解析】，令，则，再令，如上图，恒过定点显然当时，不合题意，当时，与有两个交点，即有两个极值点当时，即，在上递减；当时，即，在上递增；当时，即在上递减由于，在上递增，又，又由于；由，而故，所以选D实战演练 【演练1】 （2013重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间（ ）A和内B和内C和内D和内【解析】 A【演练2】 函数的大致图像是（ ）【解析】 A【演练3】 已知函数为奇函数，且当时，则=（ ）AB0C1D2【解析】 A【演练4】 已知为偶函数，且，当时，若，则（ ）A B C D【解析】 B；【演练5】 （2010丰台二模19）已知函数在处有极值 求函数的单调区间； 若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围【解析】 的单调递增区间是和，单调递减区间是 的取值范围是大千世界 （2013年华约理7）已知； 求证：当时，； 数列满足，求证：数列递减且；【解析】 当时，在递减，所以 由得，结合，及对任意，利用数学归纳法易得对任意正整数成立，由知即，即，因为，所以，即，所以数列递减下面证明，用数学归纳法证明，设，则，由知当时，所以，所以在递增，由归纳假设得，要证明只需证明，即，故只需证明，考虑函数，因为当时，所以，所以在递增，因为所以，即，由归纳法知，对任意正整数成立注：此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似