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对运筹学课程中一百零一分之一一百零一零一法则的进一步思考 摘要：目前，运筹学课程的线性规划灵敏度分析的表述中，都只给出了推断条件不超过101%时，决策方案中的关键决策量不会变更，而超过101%时就不能确定关键决策量是否会发生变更，只能重新求解。在教学过程中，师生都认为这种表述不尽完整，若能对推断值超过101%时也能更明晰的表述，可更进一步提高决策方法的可操作性。为此，我们总结了一部分推断条件超过了101%，但决策方案中的关键决策量仍旧不会变更。补充了原一百零一分一一百零一零一法则的表述。 关键词：运筹学课程；线性规划；一百零一分之一一百零一零一法则 中图分类号：G642.4 文献标记码：A 文章编号：1674-932430-0203-03 一、问题的提出 运筹学课程的线性规划灵敏度分析中，有两个一百零一分之一一百零一零一法则：对多个价值系数同时改变推断最优解是否改变的一百零一分之一一百零一零一法则；以及对多个常数项同时改变推断对偶价格是否改变的一百零一分之一一百零一零一法则。这两个推断法则的详细表述为1，2： 定理1.1 假如多个价值系数同时变动，计算出每一个系数变动量占该系数允许变动量的一百零一分比，然后将各个系数的变动一百零一分比相加，所得的和不超过101%，则最优解不会变更；假如超过101%，则不能确定原最优解是否变更，只能通过重新进行规划求解来推断。 定理1.2 假如多个常数项同时变动，计算出每一个常数项变动量占该常数项允许变动量的一百零一分比，假如全部常数项的变动一百零一分比之和不超过101%，则对偶然价格不会变更；假如全部变动一百零一分比之和超过了101%，那就无法确定原对偶价格是否效，只能通过重新进行规划求解来推断。 在上述定理所给出的推断准则中，只给出了推断值不超101%的充分条件，而当一百零一分比之和超过101%时，就无法确定最优解或对偶价格是否会发生改变，只能重新求解才能得知详细值。而在笔者多年的教学过程中，对线性规划应用做了多方面探讨3，4，同时我们发觉在线性规划模型求解的灵敏度分析探讨中，的确存在一百零一分比之和超过101%但可以确定原最优解或原对偶价格不变的条件。由此，本文给出如下结论。 二、一百零一分之一一百零一零一法则的补充 定理2 若多个价值系数按当前值同比例增减，不论一百零一分比之和是否超过101%，则最优解肯定不变。 证明：假设一般线性规划模型如下所示： max z=clxl+c2x2+cnxn s.t. l1xl+12x2+1nxnb1 21xl+22x2+2nxnb2 m1xl+m2x2+mnxnbm xl，x2，xn的简洁约束 假设cj同比例增加p%，则目标函数可以改写为：max z=，因为p%为正数，为不变更目标函数值的正负数属性，暂设削减的比例p%<1。这时max z必然与max z同解，所以，最优解不变。 定理3 若多个常数项按当前值同比例增减，不论一百零一分比之和是否超过101%，则对偶价格肯定不变。 证明：在由线性规划数学模型的约束条件构成的可行域中，若各约束条件的常数项同比例增减，可使可行域的每个边界同比例扩张或收缩，无论变更量有多大，都始终使可行域发生相像形的改变，因此只变更形态，不会变更可行域的结构。依据对偶价格改变的判定条件2。所以原对偶价格不会发生变更。 三、实例验证 假设某厂利用2种原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，生产单位产品所需原料数、单位利润及有关数据如下表： 该决策问题的线性规划数学模型： max z=500x1+460x2+360x3 s.t. 7x1+6x2+8x3550 6x1+4x2+2x3360 x1，x2，x30 運用作者开发设计的运筹学求解软件2，得到该模型的决策结果如图1所示： 假设，价值系数同比例增加50%，即三个产品的单位利润都增加50%，则应当怎么决策？ 假设，两种原材料同比例增加10%，各对偶价格将会怎么改变？ 对问题1，价值系数的实际增加量cl=250、c2=230、c3=180，而允许的增量分别为638-500=138、730-460=260和613.333-360=253.333。按一百零一分一一百零一零一法则，其判定值为： +=3.41 远大于101%。而用计算机求解的结果如图2： 最优解并没发生改变。 对于问题2，常数项的实际增加量bl=55、b2=36，而允许的增量分别为1440-550=890和366.6667-360=6.6667：此时一百零一分一一百零一零一法则的判定值为： +=5.46 远大于101%。而用计算机求解验证对偶价格并没发生改变。如图3： 四、本问题探讨的用途 对上述的实例分析，若其它企业情愿分别以45元/公斤的价格出售原料A和原料B，该厂应不应当购进而扩大生产？ 对于该问题，原材料B对应约束条件的对偶价格76远大于市场购进价格，而原材料A对应约束打伤的对偶价格26远小于市场购进价格，所以应当大量购进原材料B以扩大生产获得较高的利润，但原材料B对应约束对偶价格不变总量上限为366.667公斤，从总体比例上看，只购进6.667公斤扩大生产并没有实际意义。因此必需考虑在保持对偶价格不变的前提下找到大量购进原材料以扩大生产，用于对资源利用效果做出盈亏核算的客观条件。这就可以用到定理3的推断准则： 如仍按两种原材料当前值同时增加10%的比例购进，既然对偶价格不会发生改变，我们就可以干脆用原对偶价格来进行原材料利用效果的盈亏核算。即核算原材料的价值与价格贡献的差值： -×45=4166-4095=73 目标函数的净增加值大于0，说明可以按这个比例购进原材料而扩大生产。这里就用到了约束条件各常数项的增加的值导致一百零一分之一一百零一零一法则判定值大于101%，但对偶价格仍旧不变的判定结果。这样就可用原对偶价格进行核算，完全可以避开由于常数项的改变而重新建模，重新求解的过程。这也是对线性规划灵敏度分析用途的一种拓展。 五、结论 运筹学课程中，虽然线性规划中一百零一分之一一百零一零一法则强调的是关键决策量改变的充分条件而非必要条件，但能对法则中明确部分必要条件也能为决策应用带来很大的便利。本文针对在运筹学教学过程和线性规划运用实践中总结了某类参数同比例增减改变时，虽然推断条件值已大于101%，但相应的决策量并不会发生改变的规律性特征，是对一百零一分之一一百零一零一法则中关键决策时改变必要条件的探讨尝试。并且在教学和运用实践中可能还会有其它的条件有待于接着探讨。 参考文献： 1叶向.好用运筹学M.北京：中国人民高校出版社，2022. 2陈士成.好用管理运筹学基于ExcelM.北京：清华高校出版社，2022. 3何丽红，陈士成.管理运筹学课程的教学改革与实践J.教化教学论坛，2022，上旬刊：21-23. 4陈士成，何丽红，何丽红.高校运筹学课程分层教学目标探讨J.教化教学论坛，2022，：73-73. 资助项目：兰州高校教学探讨项目资助，兰州高校管理学院管理教化探讨专项资金资助。 作者简介：陈士成，男，河南省镇平县人，经济学硕士，副教授，探讨方向：企业管理与系统分析。 第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页