数学难题的分析与思考.docx

数学难题的分析与思考 概率论与数理统计，是目前高校理工科专业及部分文科专业开设的一门数学公共基础课。老师应重视在教学中向学生传递数学建模思想、逆事务、图表法等解题思维，帮助学生拓展解题思路，驾驭数学解题技巧，提高分析与思索数学难题的实力。 数学难题分析思索一、前言 在当前高等教化数学学科公共基础科目中，高等代数微积分线性代数等均属于探讨确定性现象的数学分支，唯独概率论与数理统计探讨的领域是随机现象。因此，概率论与数理统计的教学也应当与其他数学课程有所区分，不单单是要讲授概率统计的相关学问点，更重要的是要向学生传递一种数学思维方式，将概率论犬牙交错的逻辑架构清楚地呈现在学生眼前，使其眼前“豁然开朗”，感受到“境界的升华”，进而有效地解决数学难题。 二、概率统计课程教学中的数学难题分析要重视学生数学思维的培育 概率论课程从学生中学时就有所接触，那为什么学生们在高校阶段更进一步地深化学习概率论与数理统计时，却频频出现学习障碍呢？其中很重要的一点问题，就在于学生在学习课程学问点时，缺乏有意识的思维训练，所驾驭的仅仅是零散的学问，未能从整体上把握该课程常须要应用到的数学解题技巧，不利于学生整体上的理解，以致在解题时频频失误。对此，笔者认为，在概率统计教学时，不仅要强调对学生严谨推导问题的归纳实力的培育，也要将归纳和演绎思维的训练纳入教学目标内，要综合运用多种教学手段培育学生的数学思维，使学生的数学应用实力得到本质上的提高。 三、结合概念实际背景融入数学建模思想，解决数学难题 1.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的可行性 总体来看，概率统计教材中所涉及的随机数学问题大致可分为4大类：随机事务与概率；随机变量及其函数的概率分布；大数定律和中心极限定理；随机变量的数字特征等。老师要深化钻研教材，结合相关实例来讲解概率论与数理统计的基本理论，使其确立数学建模的思维理念，引导学生通过“再思维”来呈现数学“活生生”的创建活动，渐渐深化对相关学问的理解，进而提高分析问题和解决问题的实力。 2.数学建模解决数学难题的实例分析 老师应当合理地利用教学案例来进行数学难题的讲解，并以此培育学生运用数学建模思想解题的意识。以报刊亭的收益问题为例： 例题：报刊亭每天早晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完的报纸退回。每份报纸零售价a元，批发价b元，回收价c元，且a>b>c，则报刊亭每售出一份报纸可赚取a-b元，退回一份会赔b-c元，问如何确定每天批发报纸的数量，才能获得最大收益。 分析：很明显，求解批发量须要依据需求量来确定，也就是说，报纸的需求量为随机变量，设报刊亭每天报纸的需求量为X=x份，批发量为n份，其概率为P。而需求量x是随机的，因此报刊亭的收益也是随机的，作为优化模型的目标函数，报刊亭每天获得的最大收益应考虑到其长期的日平均收入即其期望值。 由此，假设报刊亭每日批发n份报纸，日均收入为S，若xn，则表示当前报刊亭售出报纸x份，退回n-x份；若x>n，则表示报纸完全售出。因此，平均收入，建立数学模型后，只需了解到需求量为x的概率P、a、b、c的详细值，就可以求取Smax。 在此基础上，老师还可以进一步提出问题：如模型中需求量x、批发量n取值较大，将x视为连续变量时应如何求解？学生们综合以上模型及所学连续型随机变量概念，将概率P转化为概率密度函数f，并套用模型S可得： 进而得出结论：批发量n满意条件 时报刊亭日均收入最高，因为 因此又可以转化为，即每份报纸赚钱与赔钱之比越高时，批发报纸分数也越多。同样的，指导学生运用离散型随机变量概念解题也可以得出相同结论。 通过报刊亭收益问题建立的数学模型，还可以大量引用到其他不同的现实问题中，这对于熬炼学生的思维敏捷性及解决数学难题都有着很好的帮助。 四、巧用“逆事务”，解决数学难题 求解古典概率问题时一般会涉及到基本领件总数、有利事务数等，从正面探求这些问题往往不易解决，且学生在困难的计算中稍不留神，就会陷入到思维陷阱中，脑中一团乱麻，解题就更加麻烦了。对此，老师应当在教学中指导学生娴熟应用“逆事务”解题，从问题的反面逆向思维上寻求解决数学难题的方案。以下题为例： 例题：已知4个人在旅社住宿，每个人都等可能地被安排到5个房间中的任一间去住，问：事务A=4人各住一房的概率，事务B=至少有2人同住一房的概率？ 根据一般的解题思路，首先须要求解A、B事务的有利事务数和基本领件总数，如事务A包含的有利事务数为P54，；事务B也同样如此，。假如问题中住宿人数或房间数进一步增加，计算也会变得更加繁琐，甚至出现遗漏或重复计算等状况。在此状况下，运用逆事务求解就简洁多了。如事务B的发生概率可由定理P=1-P推导得出，P=P=1-P=1-0.192=0.808。同样的，将住宿人数、房间数放大，设已知n个人，每个人都等可能地被安排到N个房间中的任一间去住，且nN，求A、B事务的概率。在此问题中，可以简洁地计算出基本领件总数Nn，进而得出事务A的有利事务数PNn，得出结果，。其他的常见数学题如“生日问题”“电梯问题”，U检验法、X2检验法进行的假设检验中临界值的确定，也可以借鉴“逆事务”来解决，此处不再一一赘述。 五、结语 所谓“通达善变”，“通”是数学学习的基础，是基本保证，立足通法，才能精确地应用各种解题技巧，才能发展牢靠的逻辑思维和发散思维，生出巧法。在高校数学公共基础课程的教学过程中，老师应当客观精确地把握学生的数学实力状况，在课堂教学中融入多种解题技巧教学，帮助学生拓展解题思路，提高其分析难题与解决难题的实力，以更好更深化地学习数学学问。 参考文献： 1教化部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组.数学学科专业发展战略探讨报告J.中国高校教学，2022，. 2徐海静，何立官.矩阵思想在线性代数教学中的应用J.西南师范高校学报，2022，. 3李毛亲.矩阵乘积的精彩贯穿于线性代数始终的矩阵乘积的教学方法探讨J.台州学院学报，2022，. 4邬学军，唐明.线性代数是蓝色的高校非数学专业线性代数的课程设计J.高校数学，2022，. 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页