用概率玩游戏.docx

用概率玩游戏 除了应用于那些高大上的金融行业外，概率论还能为我们设计一些小小的消遣嬉戏。终归人们虽然希望避开天灾人祸这样巨大的不确定性，但却非常欢迎无伤大雅小小的不确定性。一场嬉戏，一局输赢，就能换来大家的欢乐。在桌上弹跳的骰子，在指尖翻动的硬币，都能给我们带来惊慌刺激的乐趣。 既然偶有闲暇，何不玩个小嬉戏？ 完全公允的对决 与纸币相比，虽然硬币的流通价值通常不大，但它却具有一个保卫世界和平的职能解决各种争端。据说，当遇到不行调解的分歧时，为了做出确定，人们的首选往往是猜拳，其次就是抛掷硬币。就连足球赛场上开球方的选择，也是由硬币确定的。 假如一枚硬币两面的性质完全一样，那么掷出正面或者反面的可能性明显是均等的应当是50%与50%。但事实却并非如此，由于设计的缘由，硬币正反面的花纹是不一样的，从而导致了重心与中心的微小偏差。 以人民币一元硬币为例，正面是代表面额的“1”字，而反面则是菊花，那么重心就会略微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同欧元区国家的铸币厂会打造出不同的背面花纹，因此重心偏向也因这些花纹而异。正是因为这小小的重心偏向，导致我们在掷硬币时，正反面出现的概率也会有些许偏差。幸好因花纹导致的概率偏差特别小，我们在日常生活中往往可以忽视不计。 但是，我们有没有方法修正这个偏差呢？或者，至少能找到一个方法，让有重心偏向的硬币产生无偏差的结果，使嬉戏尽量公允呢？ 我们假设某枚硬币掷出正面的概率是p，并用以下方法产生抛掷硬币的结果：掷两次硬币，假如两次的结果相反，则认定后掷出的状况为结果，否则重新再掷两次。更详细地说，假如结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面；假如是“正反”的话，那就认定结果为反面；假如是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来。 在这样的嬉戏设定中，每次抛掷硬币，结果为正面或反面的概率都是p，明显是完全公允的。以后再跟你的挚友玩硬币嬉戏的时候，切记运用这个方法，并告知他：“这是理性的科学！” 掷硬币排先后 假如你和你的小伙伴须要确定嬉戏时的先后依次，那么抛硬币应当是个很好的解决方案。但假如小伙伴不止一位的话，单靠硬币可能就不太简单解决问题了。 假设我们要从四个人里公允地选出一人，那么共掷两次硬币，并将四种不同的结果分别指派给每个人，掷出哪种结果就选哪个人，这个方法好像还是挺便利的。当然，只有总人数为偶数时，才可以运用这种方法，但假如只有三个人呢？ 面对这种状况，我们还有一种比较简单的解决方法：还是抛掷两次硬币，并将正正、正反、反正三种结果指派给三个人。假如掷出的结果是指定的结果之一，那么就选出对应的人。当然，假如我们运气不好，掷出“反反”的结果，那就重新起先另一轮的硬币抛掷。 明显，这种方法保证了嬉戏的公允性。因为在每轮硬币抛掷中，每种结果出现的概率都是相同的。但万一我们一连好几轮都掷出“反反”，那这种方法会不会过于奢侈时间了呢？ 不行能！我们不妨计算一下，每轮掷出“反反”重新起先的概率恰好是1/4，而n轮都出现如此状况的概率应当是1/4的n次方。当n越来越大的时候，这个概率会快速变小。假如n=5，那么数值已经变成1/1024了。试想一下，3个骰子同时掷出“6”的概率也仅有1/216而已。 其实直观来看，一轮抛掷无法决出结果的概率也并不高，所以这个方法应当不会耗费我们太多时间。更严格的计算表明，用上述方案从三个人中选出一个，平均只须要抛掷8/3次硬币就能得出结果，算起来也只比两次多一点点而已，说明这种方法相当有效。 这种方法可以推广到随意人数，而且平均须要投掷硬币的次数也肯定不会太多。事实上，不论运用哪种方法，随着人数的增长，平均投掷次数也肯定会相应增加。 杯子下的鸡蛋 你肯定看到过魔术师经常用杯子、鸡蛋和硬币作为道具，向观众展示他的魔法。假如今日我们的嬉戏也有三个不透亮的纸杯，倒扣在桌上，其中分别藏着两枚硬币和一个鸡蛋，然后由你的挚友偷偷将它们的位置随机打乱，而你的任务就是指出鸡蛋的正确位置。假如只有一次机会，明显你完成任务的概率只有1/3。 假如你的挚友还情愿给你一点帮助，那结果会有所变更吗？当你指定一个杯子藏有鸡蛋后，那么其余的两个杯子中至少有一个藏着一枚硬币。这时，假如你的挚友在那两个杯子中，打开了一个藏着硬币的杯子，那么你该如何选择？是照旧坚持原来的确定，还是换另一个杯子？或许你会问，这两个选择之间有什么不同吗？既然已经有一个藏着硬币的杯子打开了，那选择剩下两个杯子中的随意一个不都一样吗，换与不换有什么区分呢？ 假如我们换一种思索方式，得到的结果就会大不相同。假如你还是坚持原来的选择，那么无论你的挚友在嬉戏中途做了什么，都不会影响你的获胜概率照旧和原来一样，是1/3。但假如你更换选择，那么获胜概率就会变成2/3。这原委是什么缘由，为什么换一个杯子会让你的获胜概率提高1倍呢？ 让我们来做一个具体的概率分析。假如一起先你就选择了正确的杯子，那么换杯子的确会导致失败，但这种状况发生的概率只有1/3。但假如一起先你就没有选对杯子，那么剩下的两个杯子中就一个是硬币，一个是鸡蛋。由于你的挚友给了你一点小帮助，那么很明显，剩下的那个杯子里藏有鸡蛋。假如此时你更改选择的话，必定能完成任务，而这种状况发生的概率则是2/3。 其实我们不难理解，之所以换与不换的结果有差别，就是因为你的挚友知道鸡蛋在哪里。而他通过打开一个藏有硬币的杯子，间接地帮助你缩小了范围，确定了答案。 这个问题又被称为“三门问题”，其基础模型正是出自那档闻名的美国电视节目Lets make a deal。在节目中，选手会面对一个大屏幕，大屏幕上有3扇门，其中两扇藏着羊，另一扇则藏着汽车，能选出藏有汽车那扇门的参赛者就能开走它。嬉戏的玩法与上述的硬币、鸡蛋嬉戏如出一撤。假如我们能驾驭点概率学学问，说不定关键时刻就能得偿所愿！ 当然，除了应付这些小嬉戏外，概率论还能在许多“大嬉戏”中一显身手。譬如在网游中，如何更有效地获得稀有道具；或是在特定情境下，如何在增加一倍攻击力和拥有10%概率打出10倍暴击的道具间做出选择。这些问题都能由概率论给出答案。 虽然概率的奇妙之处就在于它的随机性和不确定性，但我们不得不承认，玩嬉戏时用概率，算算更好玩！ 让我们打算3张卡片，1号卡片正反面都是黑色，2号卡片正反面都是红色，3号卡片一面是黑色、另一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里，摇一摇，让对手抽一张平放在桌子上，接着和他赌反面的颜色和正面的一样。 直觉告知我们，获胜的概率应当是1/2，但事实上并非如此。在这个被称为“三张卡片的骗局”的嬉戏中，你的获胜概率原委是多少呢？ 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页