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高中数学常见的恒成立问题的一般解法摘要：本文针对高中数学的恒成立问题，通过分析恒成立问题 在解题过程中的几种类型和解题的常用方法进行分类， 并通过实例进 行说明， 比较系统的展现了高中数学中恒成立问题的一般解法， 帮助学生对恒成立问题有了系统、详细的认识。关键词：恒成立问题；解法；函数；不等式我们在高中数学教学中， 经常遇到一些恒成立问题， 我们反复讲 解，大多数学生也束手无策，不知道从哪里下手，找不到问题的突破 口，因而感觉十分困难，主要是缺乏系统归类。高中数学中的恒成立 问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、 数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力， 在培养思维的灵活性、 创造性等方面起到了积极的作用， 因此也成为 历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： 函数型； 不等式型； 方程型。而这三种类型又不是独立 出现的， 有时会把两者融合在一起。对于这三种类型的题解决的方法常有： 函数性质法； 分离参数法； 数形结合法。一、 函数性质法函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、 周期性 等， 而对于恒成立问题经常用到函数的单调性。下面根据函数类型对利用函数性质法来解恒成立问题做一个说明。（ 一 ）一次函数型对于一次函数 y=f(x)=kx+b(k0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)>0，则-.可修编-根据函数的图象（直线）或一次函数的单调性（当 k>0 时， y=f(x) 在m,n内为增函数，当 k<0 时， y=f(x) 在m,n内为减函数）可得lf (m) > 0 lf (n) > 0)(k > 0 或)(k < 0 即一次函数 y=f(x)=kx+b(k0)在m,n的最小值大于 0。若 k 不知道正负，上面两种情况亦可合并定成lf (n) > 0(f (m) > 0 ，这样可以回避讨论 k 的正负。lf (n) < 0同理，若在m,n内恒有 f(x)<0，则有(f (m) < 0例1、 对于满足|a|<2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>a+2x 恒成立的 x 的取值 X 围。分析：在不等式中出现了两个字母： x 及 a,关键在于该把哪个字 母看成是一个变量，另一个作为常数。若将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题。解：原不等式可化为(x-1)a+x2-2x+1>0,设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0(f (-2) > 0 即(|x2 - 4x + 3 > 0lf (2) > 0 |lx2 - 1 > 0解得(x > 3或x < 1lx > 1或x < -1x<-1 或 x>3.（二）二次函数型根据二次函数的定义域不同，二次函数分为两种类型若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a0，x eR)大于 0 恒成立，则有(a > 0l < 0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题， 则可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、 设 f(x)=x2-2ax+2,当 xe-1,+伪 )时， 都有 f(x)之 a 恒成立，求 a-.可修编-的取值 X 围。分析：题目中要证明 f(x)之 a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+伪 )时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.当 =4（a-1)(a+2)<0 时，即-2<a<1 时，对一切 x E -1,+伪 )，F(x)之 0恒成立；当 =4（a-1)(a+2)之 0 时由图可得：y(| 之 0即|l(|)a(a) 3- 1,(之) 0(a - 1)(a + 2) 之 0之0< -1,F(-1)x-1 o|- -2al 2得-3<a<-2;综上可得 a 的取值 X 围为-3，1。（三）高次函数型对于函数 f(x)=axn+bxn-1+m=0(a0，n3)在给定区间上大于 0 （或小于 0）恒成立问题，则利用求导的方法求出函数的最值，只需函数的最小值大于 0（或最大值小于 0）即可。例3、 设函数 f(x)=x3+ax2a2x+m(a>0)，若对任意的 a3,6，不等式 f(x)1 在 x-2,2上恒成立， XX 数 m 的取值 X 围。解：f (x)=3x2+2ax a2=3(x- a )(x+a) 又 a>03当 x<-a 或 x> a 时， f (x)>0 3当-a<x< a 时, f (x)<0 3函数的单调递增区间为(-伪 ，-a)，（ a ，+伪 ）单调递减区间为3-.可修编-(-a, a ) 3当 a3,6, a 1,2,-a-3 3又 x-2,2, f(x) =max f(-2), f(2)max而 f(-2) =-8+4a+2a2+m，f(2)= 8+4a-2a2+m,f(-2)- f(2)=-16+4a2>0， f(x) = f(-2) =-8+4a+2a2+mmax要使不等式 f(x)1 在 x-2,2上恒成立，只需 f(x) = f(-2) =-8+4a+2a2+m1max即 m9-4a-2a2 在 a3,6 上恒成立9-4a-2a2 在 a3,6的最小值为-87， m-87说明： 此题不光涉及到高次函数的恒成立， 还涉及到二次函数的 恒成立， 并且都用到利用最值法来解， 所以在解题时注意恰当的使用最值法。对于复合型的函数，我们可以把它化为常见的函数类型来解。例4、关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 恒有解，求 a 的 X 围。分析： 题目中出现了 3x 及 9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。解法 1（利用韦达定理）：设 3x=t,则 t>0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。( 之 01 2: 即2 - 16 之 0 : 4(或)a < -8解得 a<-8.解法 2（利用根与系数的分布知识）：-.可修编-即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4.10. =0,即（4+a）2-16=0, a=0 或 a=-8.a=0 时， f(x)=(t+2)2=0,得 t=-2<0，不合题意；a=-8 时，f(x)=(t-2)2=0,得 t=2>0,符合题意。a=-8.20. >0,即 a<-8 或 a>0 时，f(0)=4>0,故只需对称轴一 4 + a >0 ， 2即 a<-4.a<-8y4xo综合可得 a< -8.另外，我们来看一下利用函数的奇偶性、周期性等性质怎样来解恒成立问题。若函数 f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的 x ,f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)恒成立；若函数 y=f(x)的周期为 T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例5、若 f(x)=sin(x+c )+cos(x-c )为偶函数，求c 的值。分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得： f(-x)=f(x)对一切 xeR 恒成立，：sin(-x+c )+cos(-x-c )=sin(x+c )+cos(x-c )即 sin(x+c )+sin(x-c )=cos(x+c )-cos(x-c )2sinx·cosc =-2sinx·sinc sinx (sinc +cos c )=0对一切 xeR 恒成立， sinc +cos c =0c =k 一 .（keZ） 4二、 分离参数法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的 X 围已知，-.可修编-另一个变量的 X 围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于 等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例6、 已知当 x E R 时， 不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立， XX 数 a的取值 X 围。分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x，其中 x 的 X 围已知（x E R），另一变量 a 的 X 围即为所求，故可考虑将 a 及 x 分离。解：原不等式可化为 4sinx+cos2x< -a+5要使上式恒成立， 只需 -a+5 大于 4sinx+cos2x 的最大值， 故上述问题转化成求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3< 3,-a+5>3 即 a<2注： 注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t，则可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型， 利用二次函数在指定区间上的恒成立问题来解（解略）。实际上例 4 也可以用分离参数法来解。解法 3：设 3x=t,则 t>0.则原方程可化为 t2+(4+a)t+4=0，即 4+a= 一t2 一 4 恒成立 t又t>0，由均值不等式可得 t2 + 4 = t + 4 之 2 t . 4 =4 t t t 一t2 一 4 -4，即 4+a-4, a-8t三、 数形结合法若把等式或不等式进行合理的变形后， 能非常容易地画出等号或 不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、快捷。例 6、当 x E (1,2)时， 不等式(x-1)2<log x 恒成立， 求 a 的取值 X 围。a分析：若将不等号两边分别设成两 y1=(x-1)2个函数，则左边为二次函数，图象是抛 yy2=logax1-.可修编-ox 2物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设 y =(x-1)2,y =log x,则 y 的图象为右图所示的抛物线，要使1 2 a 1对一切 xe (1,2),y <y 恒成立，即在 xe (1,2)，y 的图象在 y 的图象的下1 2 1 2方。显然 a>1,并且必须也只需当 x=2 时 y 的函数值大于或等于 y 的函2 1数值。log 21,而 a>1, 故 1<a< 2.a参考文献：【1】数学教学与研究2010,34 期【2】王双双恒成立问题的求解策略【3】高考教练作者简介：李文：中学二级教师，本科，研究方向为中学数学教学。-.可修编-