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2022年函数极限的证明(精选多篇) 第一篇：函数极限的证明 函数极限的证明 时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质 教学目的：使学生驾驭函数极限的基本性质。 教学要求：驾驭函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例探讨性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设= 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质: 利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一些简洁极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将接连证明这些公式. 利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 其次篇：函数极限证明 函数极限证明 记g=lim，n趋于正无穷; 下面证明limg=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。 不妨设f1趋于a;作b>a>=0,m>1; 那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1留意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi取n=maxn1,n2.nm; 那么当x>n,有 n<=f1n<=f1n+.fmn所以a/m<= 第三篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f,p0=，当pp0时f的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要探讨x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必需留意有以下几种情形： 两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 两个二次极限存在而不相等 两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f当xx0时极限存在，不妨设：limf=a 依据定义:对随意>0,存在>0,使当|x-x0|<时,有|f-a|< 而|x-x0|<即为x属于x0的某个邻域u 又因为有随意性,故可取=1,则有:|f-a|<=1,即:a-1 再取m=max|a-1|,|a+1|,则有:存在>0,当随意x属于x0的某个邻域u时,有|f| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x2-x的路径趋于0limitedsin/x2=limitedsinx2/x2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p以任何方式趋向于该点。 4 f=/*sin 明显有y->0,f->*sin存在 当x->0,f->*sin,sin再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin|<=1得|f|<=/ 而x2+y2<=x2+y2+2*|x|y|=2 所以|f|<=|x|+|y| 所以明显当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质 教学目的：使学生驾驭函数极限的基本性质。 教学要求：驾驭函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例探讨性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： 函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性: th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设= 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质: 利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： 这些极限可作为公式用.在计算一些简洁极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将接连证明这些公式. 利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 第四篇：函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，变更数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/ 2 只要证明x单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： 证明x单调增加。 x=5>x; 设x>x，则 x-x)=- =/>0。 证明x有上界。 x=1<4， 设x<4，则 x=<<4。 3 当0 当0 构造函数f=x*ax=x*x=x/tx 则： limf=limx/tx =lim =lim1/ =1/ =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.依据数列极限的定义证明： lim=0 n lim=3/2 n lim=0 n lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。lim就省略不打了。 n/=0 /n=1 sin=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告知你了，你把过程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 其次题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/=lim/=lim/=0/1=0 lim/n=lim=1+lim=1+4lim=1 limsin=lim=lim*lim/=0*1=0 第五篇：函数极限的定义证明 习题1?3 1. 依据函数极限的定义证明: lim?8;x?3 lim?12;x?2 x2?4?4;limx?2x?2 1?4x3 lim?2. x?2x?12 1证明 分析 |?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|?8|? , 只须|x?3|?.3 1证明 因为? ?0, ?, 当0?|x?3|?时, 有|?8|? , 所以lim?8.x?33 1分析 |?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|?12|? , 只须|x?2|?.5 1证明 因为? ?0, ?, 当0?|x?2|?时, 有|?12|? , 所以lim?12.x?25 分析 |x?|?.x2?4x2?4x?4x2?4?|x?2|?|x?|, 要使?, 只须x?2x?2x?2 x2?4x2?4?, 所以lim?4.证明 因为? ?0, ?, 当0?|x?|?时, 有x?2x?2x?2 分析 1?4x3111?4x31?2?, 只须|x?|?.?2?|1?2x?2|?2|x?|, 要使2x?12x?1222 1?4x3111?4x3 ?2?, 所以lim证明 因为? ?0, ?, 当0?|x?|?时, 有?2.12x?12x?122x?2. 依据函数极限的定义证明: lim1?x3 2x3 sinxx?1;2limx?x?0. 证明 分析 |x|?1 1?x32x311?x3?x3?22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11?, 只须?, 即322|x|2?. 证明 因为? ?0, ?x?分析 sinxx?0? 12? , 当|x|?x时, 有1x 1?x32x311?x31?, 所以lim?. x?2x322 1x ?, 即x? sinxx |sinx|x ?, 要使 sinx 证明 因为?0, ?x? ?2 , 当x?x时, 有 xsinxx ?0?, 只须 ? . ?0?, 所以lim x? ?0. 3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2|<?时, |y?4|<0. 001？ 解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2|x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要 |x?2|? 0.001 ?0.0002, 取?0. 0002, 则当0?|x?2|?时, 就有|x2?4|?0. 001.5 x2?1x?3 4. 当x?时, y? x2?1x2?3 ?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01? 解 要使?1? 4x2?3 ?0.01, 只|x|? ?3?397, x?.0.01 5. 证明函数f?|x| 当x?0时极限为零. x|x| 6. 求f?, ?当x?0时的左右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在. xx 证明 因为 x limf?lim?lim1?1, x?0?x?0?xx?0?x limf?lim?lim1?1, x?0?x?0?xx?0?limf?limf,? x?0 x?0 所以极限limf存在. x?0 因为 lim?lim? x?0 x?0 |x|?x ?lim?1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x lim?lim? x?0 x?0 lim?lim?,? x?0 x?0 所以极限lim?不存在. x?0 7. 证明: 若x?及x?时, 函数f的极限都存在且都等于a, 则limf?a. x? 证明 因为limf?a, limf?a, 所以?>0, x? x? ?x1?0, 使当x?x1时, 有|f?a|? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f?a|? . 取x?maxx1, x2, 则当|x|?x时, 有|f?a|? , 即limf?a. x? 8. 依据极限的定义证明: 函数f当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f?a, 则?>0, ?0, 使当0<|x?x0|<? 时, 有 |f?a|<? . 因此当x0?<x<x0和x0<x<x0? 时都有 |f?a|<? . 这说明f当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f?f?a, 则?>0,?1>0, 使当x0?1<x<x0时, 有| f?a<? ;?2>0, 使当x0<x<x0+?2时, 有| f?a|<? . 取?min?1, ?2, 则当0<|x?x0|<? 时, 有x0?1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 从而有 | f?a|<? , 即f?a. 9. 试给出x?时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x?时函数极限的局部有界性的定理? 假如f当x?时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f|?m? 证明 设f?a? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|f?a|? ?1? 所以|f|?|f?a?a|?|f?a|?|a|?1?|a|? 这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f|?m? 其中m?1?|a|? 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页