2022年八年级上数学全等三角形典型例题 .pdf

学习好资料欢迎下载典型例题：例 1： （2008 威海）把两个含有45 角的直角三角板如图1 放置，点 D 在 BC 上，连结 BE，AD，AD 的延长线交BE于点 F求证： AFBE练习 1：如图，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，AE 是过点 A 的直线， BD AE，CEAE，如果 CE=3，BD=7 ，请你求出DE 的长度。例 2： DAC, EBC均是等边三角形，AE,BD分别与 CD,CE交于点 M,N,求证： （1）AE=BD ； (2)CM=CN； (3)CMN 为等边三角形； （4）MN BC 。例 3： （10 分）已知， ABC 中， BAC = 90 ，AB = AC，过 A 任作一直线l，作 BD l 于 D，CE l 于 E，观察三条线段 BD，CE，DE 之间的数量关系如图 1，当 l 经过 BC 中点时， DE = （1 分） ，此时 BDCE（ 1 分） 如图 2，当 l 不与线段 BC 相交时， BD，CE，DE 三者的数量关系为，并证明你的结论 （3 分）如图 3，当 l 与线段 BC 相交，交点靠近B 点时， BD，CE，DE 三者的数量关系为证明你的结论（4 分） ，并画图直接写出交点靠近C 点时， BD，CE， DE 三者的数量关系为 （ 1分）D A C B N M A FB C E D EDACBE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载OyABCxOyABCDEx图 1 图 2 图 3 例 4：已知 : 在平面直角坐标系中，放入一块等腰直角三角板ABC， BAC=90， AB=AC，A 点的坐标为（0，2） ，B 点的坐标为（ 4，0）. 求 C 点的坐标；D 为 ABC 内一点（ AD2） ，连 AD，并以 AD 为边作等腰直角三角形ADE， DAE=90 ，AD=AE，连 CD、BE.试判断线段CD、BE 的位置及数量关系，并给出你的证明；A l B C A B C D E l A B C l E D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载OyABCDEMx旋转 ADE，使 D 点刚好落在x 轴的负半轴，连CE 交 y 轴于 M. 求证： EM=CM； BD=2AM. 练习 2：以直角三角形ABC的两直角边AB 、BC为一边，分别向外作等边三角形ABE和等边 BCF ，连结 EF、EC 。试说明：（1）EFEC ； （2）EB CF CBAFE练习 3：如图（ 1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF ，过 E、F分别作 DE AC，BF AC若 AB=CD ，G是 EF的中点吗？请证明你的结论。若将ABC的边 EC经 AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例二：如图 1，已知， ACCE，AC=CE ， ABC= CDE=90 ，问 BD=AB+ED吗? 分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90角，得到一组等量关系；（2）出现 3 个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图 6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD 。解答过程：得到ABC CDE 之后，可得到BC=DE ，AB=CD BC+CD=DE+AB （等式性质）即： BD=AB+DE 变形 1：如图 7， 如果 ABC CDE ，请说明AC 与 CE 的关系。注意 ：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）图 6 OABCDBDECA图 5 BDECA图 7 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载位置关系（垂直，平行之类）变形 2： （2008 泸州）如图， E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点，过点A 作 FAAE 交 CB 的延长线于点F，求证： DE=BF 分析 ：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。变形 3：如图 8，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，AE 是过点 A 的直线， BD AE，CE AE ，如果 CE=3 ，BD=7 ，请你求出DE 的长度。分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“ AB=AC ” ，发现： AB 在 RtABD 中， AC 在 RtCAE 中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC ，直角 =直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。解：由题意可得：在RtABD 中， 1+ABD=90 （直角三角形的两个锐角互余）又BAC=90 （已知），即1+CAE=90 ABD= CAE（等角的余角相等）故在 ABD 与CAE 中，BDA= AEC=90 （垂直定义）ABD= CAE（已求）AB=AC （已知）EDACB图 8 1 EDACB图 9 FABDCE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 ABD CAE（AAS） AE=BD=7 ，AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） DE=AEAD=73=4 变形 4：在 ABC 中， ACB= 900，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时， ADC CEB，且DE=AD+BE 。你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 10 的位置时，DE =AD-BE 。说说你的理由。（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时，试问DE，AD ， BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识 ：如右图， 由 1=2，可得 CBE= DBA；反之，也成立。例三：已知在 ABC 中， AB=AC ，在 ADE 中，AD=AE ，且 1=2，请问 BD=CE 吗？分析 这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC 与 ADE 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的 “BD=CE ” ，你会发现BD 在 ABD 中， CE 在 ACE 中，这样一来，“AB=AC ”可以理解为：AB 在ABD 中， AC 在 ACE 中，它们是一组对应边；“AD=AE ”可以理解为：AD 在ABD 中， AE 在 ACE 中，它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可。2 CBED1 图 11 EDCBANM图 12 EDCBANMEDCBANM图 10 1 2 BCAED精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载关键还是在于：说明 “ 相等的边（角）所在 的三角形全等 ”解： 1=2（已知）1+CAD= 2+CAD （等式性质）即： BAD= CAE 在 ABD 与ACE 中，AB=AC （已知）BAD= CAE （已求）AD=AE ABD ACE（SAS）BD=CE （全等三角形的对应边相等）变形 1：如图 13，已知 BAC= DAE ， 1=2，BD=CE ，请说明 ABD ACE. 吗？为什么？分析 ：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用SAS 说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢? 变形 2：过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。分析 ：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把BD 看成在ABD 的一边， CE 看成 ACE 的一边 ，自然就得到了证明的方向。解： ABC 与ADE 是等边三角形， AB=AC ， AD=AE BAC= DAE=60 BAC+ CAD= DAE+ CAD （等式性质）即： BAD= CAE 变形 3：如图 1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接 BD ，CE，请说明它们相等这里仅以图17 进行说明2 1 ADCBE图 14 DCBAE图 15 接下来的过程与例三完全一致，不予描述！DCBADCBA图 16 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：ABC 与ADE 是等边三角形， AB=AC ， AD=AE BAC= DAE=60 BACCAD= DAECAD 【仅这步有差别】即： BAD= BAD= CAE 在 ABD 与ACE 中，AB=AC （已知）BAD= CAE （已求）AD=AE ABD ACE （SAS）BD=CE （全等三角形的对应边相等）图 16，图 18 的类型，请同学们自己去完成变形 4： （2008 怀化）如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE、CG，AE 与 CG 相交于点M，CG 与AD 相交于点 N求证：CGAE；分析 ：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样DCBAE图 18 DCBAEDCBAEDCBAE图 17 ABGDFEC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例四：如图， ABC 中， C=90 ，AB=2AC ，M 是 AB 的中点，点N 在 BC 上， MN AB. 求证： AN 平分 BAC. 分析 ：要说明 AN 平分 BAC ，必须说明两角相等，可以说明AMN CAN ，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用HL 定理得到全等。变形 1：在 RtABC 中，已知 A=90 ， DEBC 于 E 点，如果AD=DE ，BD=CD ，求 C 的度数DEBACBCNMA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -