2014年北京高考数学文科试题及答案.pdf
word 否是输出Sk=k+1S =S +2kk3k=0，S =0结束开始绝密启封并使用完毕前2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分。考试时长120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye（B）yx（C）lnyx（D）yx（3）已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）（A）5,7（B）5,9（C）3,7（D）3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不必要条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分不必要条件（6）已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）(A)0,1(B)1,2(C)2,4(D)4,（ 7）已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00B mm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word O5430.80.70.5tp（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。（9）若12xi iixR，则x. （10）设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C的方程为. （11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为. （12）在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sin A. （13）若x,y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为. （14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日 . 俯视图侧（左）视图正（主）视图11122精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 三、解答题共6 小题，共 80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15） （本小题13 分）已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b， 且nnba为等比数列 .（）求数列na和nb的通项公式； （）求数列nb的前n项和 . （16） （本小题13 分）函数3sin26fxx的部分图象如图所示. （）写出fx的最小正周期及图中0 x、0y的值；（）求fx在区间,212上的最大值和最小值. Oyxy0 x0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word （17） （本小题14 分）如图，在三棱柱111ABCA BC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点 . （）求证：平面ABE平面11B BCC；（）求证：1/C F平面ABE；（）求三棱锥EABC的体积 . （18） （本小题14 分）从某校随机抽取100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率；（）求频率分布直方图中的a，b 的值；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）组号分组频数1 02，6 2 24，8 3 46，17 4 6 8，22 5 8 10，25 6 10 12，12 7 12 14，6 8 14 16，2 9 16 18，2 合计100 C1B1A1FECBA阅读时间ba频数组距18161412108642O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word （19） （本小题14 分）已知椭圆C：2224xy.（）求椭圆C 的离心率；（）设 O 为原点，若点A 在直线2y，点 B 在椭圆 C 上，且OAOB，求线段AB 长度的最小值.（20） （本小题13 分）已知函数3( )23f xxx. （）求( )f x在区间 2,1上的最大值；（）若过点(1, )Pt存在 3 条直线与曲线( )yf x相切，求t 的取值范围；（）问过点( 1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线( )yf x相切？（只需写出结论）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 绝密考试结束前2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 参考答案一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分）（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分）（9）2 （10）221xy（11）2 2（12）2158（13）1 （14）42 三、解答题（共6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）设等差数列na的公差为d，由题意得41123333aad所以11312naandn n， ，设等比数列nnba的公比为q，由题意得344112012843baqba，解得2q所以11112nnnnbabaq从而13212nnbnn， ，（）由知13212nnbnn， ，数列3n的前 n项和为312n n，数列12n的前 n项和为1212112nn所以，数列nb的前 n 项和为31212nn n（16） （共 13 分）解：（）f x的最小正周期为076x03y（）因为212x，所以52066x，于是当206x，即12x时，fx取得最大值0；当262x，即3x时， fx 取得最小值3（17） （共 14 分）解：（）在三棱柱111ABCA B C 中，1BB底面ABC所以1BBAB又因为ABBC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 所以AB平面11B BCC 所以平面ABE平面11B BCC （）取AB中点G，连结EG，FG因为E，F分别是11AC ，BC的中点，所以FGAC，且12FGAC 因为11ACAC，且11ACAC ，所以1FGEC，且1FGEC 所以四边形1FGEC 为平行四边形所以1C FEG又因为EG平面ABE，1C F平面ABE，所以1C F 平面ABE（）因为12AAAC，1BC，ABBC，所以223ABACBC所以三棱锥EABC的体积111133123323ABCVSAA（18） （共13 分）解：（）根据频数分布表，100 名学生中课外阅读时间不少于12 小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12 小时的频率是1010.9100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12 小时的概率为0.9（）课外阅读时间落在组46)，的有 17 人，频率为0.17，所以0.170.0852a频率组距课外阅读时间落在组810)，的有 25 人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距（）样本中的100 名学生课外阅读时间的平均数在第4 组（19） （共 14 分）解：（）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy所以24a，22b，从而2222cab因此2a，2c故椭圆C的离心率22cea（）设点A，B的坐标分别为2t，00 xy，其中00 x GC1B1A1FECBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word 因为OAOB，所以0OA OB，即0020txy，解得002ytx又220024xy，所以222002ABxty22000022yxyx2220002044yxyx220200202 4442xxxx22002084 042xxx因为22002084 042xxx，且当204x时等号成立，所以28AB故线段AB长度的最小值为2 2 （20） （共 13 分）解：（）由323fxxx得263fxx. 令0fx，得22x或22x. 因为210f，222f，22112ff，所以fx在区间21，上的最大值为222f . （）设过点1Pt，的直线与曲线yf x相切于点00 xy，则300023yxx ，且切线斜率为2063kx，所以切线方程为20063yyx0 xx，因此200063 1tyxx . 整理得32004630 xxt. 设32463g xxxt，则“过点1Pt，存在 3 条直线与曲线yf x相切”等价于“g x有 3 个不同零点” . 21212121gxxxx x. g x与gx的情况如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - word x(0)，0 (01)，1 (1)，( )gx0 0 ( )g x3t1t所以，(0)3gt是( )g x 的极大值，(1)1gt是( )g x 的极小值当(0)30gt，即3t 时，此时( )g x 在区间1，和 (1)，上分别至多有1 个零点，所以( )g x至多有 2 个零点当(1)10gt，即1t 时，此时( )g x 在区间 (0)，和 0，上分别至多有1 个零点，所以( )g x至多有 2 个零点当00g且10g，即31t时，因为1702110gtgt，所以g x分别在区间10，01，和12，上恰有1个零点 . 由于g x在区间0，和1，上单调，所以g x分别在区间0，和1，上恰有 1 个零点 . 综上可知，当过点1Pt，存在3条直线与曲线yf x相切时，t的取值范围是31， . （）过点12A，存在3条直线与曲线yfx 相切；过点210B，存在2条直线与曲线yfx 相切；过点02C，存在1条直线与曲线yfx相切. ：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -
