2007年考研数学三真题及完整解析.pdf

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2007 年研究生入学考试数学三试题一、选择题： 110 小题，每小题4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0 x时，与x等价的无穷小量是（A）1ex（B）1ln1xx（C）11x（D）1cosx （2）设函数( )f x在0 x处连续，下列命题错误的是：（A）若0( )limxf xx存在，则(0)0f（B）若0( )()limxf xfxx存在，则(0)0f. （B）若0( )limxfxx存在，则(0)0f（D）若0( )()limxf xfxx存在，则(0)0f. （3）如图，连续函数( )yf x在区间3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间2,0 , 0, 2的图形分别是直径为2 的下、上半圆周，设0( )( )dxF xf tt，则下列结论正确的是：（A）3(3)( 2)4FF(B) 5(3)(2)4FF（C）3(3)(2)4FF（D）5(3)( 2)4FF （4）设函数( , )f x y连续，则二次积分1sin2d( , )dxxf x yy等于（A）10arcsind( , )dyyf x yx（B）10arcsind( , )dyyf x yx（C）1arcsin02d( , )dyyf x yx（D）1arcsin02d( , )dyyf x yx（5）设某商品的需求函数为1602QP，其中,Q P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料等于 1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. （6）曲线1ln 1exyx的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （7）设向量组123,线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) 122331,(B) 122331,(C) 1223312,2,2. (D) 1223312,2,2. （8）设矩阵211100121 ,010112000AB，则A与B(A) 合同且相似（ B）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)pp，则此人第4 次射击恰好第2 次击中目标的概率为（A）23 (1)pp. （B）26 (1)pp. （C）223(1)pp. （D）226(1)pp （10）设随机变量,X Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，( ),( )XYfxfy分别表示,X Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度|(|)X Yfx y为(A) ( )Xfx. (B) ( )Yfy. (C) ( )( )XYfx fy. (D) ( )( )XYfxfy. 二、填空题 ：1116 小题，每小题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （11）3231lim(sincos )2xxxxxxx_. （12）设函数123yx，则( )(0)ny_. （13） 设( , )f u v是二元可微函数，,y xzfx y，则zzxyxy_. （14）微分方程3d1d2yyyxxx满足11xy的特解为y_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（15）设矩阵0100001000010000A，则3A的秩为. （16）在区间0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为. 三、解答题： 1724 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分 10 分)设函数( )yy x由方程ln0yyxy确定，试判断曲线( )yy x在点(1,1)附近的凹凸性.（18） (本题满分 11 分)设 二 元 函 数222,| 11( ,),1 | 2xxyf x yxyxy， 计 算 二 重 积 分D( , )df x y， 其 中,| 2Dx yxy. （19） (本题满分 11 分)设 函 数( ),( )f xg x在,a b上 连 续 ， 在( , )a b内 具 有 二 阶 导 数 且 存 在 相 等 的 最 大 值 ，( )( ),( )( )f ag af bg b，证明：存在( , )a b，使得( )( )fg. （20） (本题满分 10 分)将函数21( )34f xxx展开成1x的幂级数，并指出其收敛区间. （21） (本题满分 11 分)设线性方程组123123212302040 xxxxxaxxxa x与方程12321xxxa有公共解，求a的值及所有公共解. （22） (本题满分 11 分)设三阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2，T1(1, 1,1)是A的属于1的一个特征向量，记534BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵 . （I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵B. （23） (本题满分 11 分)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为2,01,01( , )0,xyxyf x y其他. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（I）求2P XY；(II) 求ZXY的概率密度 . 2007 答案1.【分析 】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解 】当0 x时，1exx，1112xx，2111cos22xxx，故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上，0001111lnln(1)ln(1)1112limlimlim112xxxxxxxxxxxxx，或1lnln(1)ln(1)( )()()1xxxxo xxoxxoxxx. 所以应选（ B）【评注 】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见数学复习指南（经济类）第一篇【例1.54】 【例 1.55】. 2 .【分析 】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数( )f x去进行判断，然后选择正确选项. 【详解 】取( )|f xx，则0( )()lim0 xf xfxx，但( )f x在0 x不可导，故选（D）. 事实上，在(A),(B) 两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f. 在（C）中，0( )limxf xx存在，则00( )(0)( )(0)0,(0)limlim00 xxfxff xffxx，所以 (C)项正确，故选 (D) 【评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 . 类似例题见文登强化班笔记高等数学第2 讲【例 2】 ，文登 07 考研模拟试题数学二第一套（2）. 3 .【分析 】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解 】利用定积分的几何意义，可得221113(3 )12228F，211(2)222F，202202011( 2)( )d( )d( )d122Ff xxf xxf xx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以33(3)(2)( 2)44FFF，故选（ C）. 【评注 】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第5 讲【例 17】和【例18】 ， 数学复习指南 （经济类）第一篇【例 3.38】 【例 3.40】. 4 .【分析 】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解 】由题设可知，,sin12xxy，则01,arcsinyyx，故应选（ B）. 【评注 】本题为基础题型. 画图更易看出 . 类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 10 讲【例 5】 ， 数学复习指南 （经济类） 第一篇 【例 7.5】 ，【例 7.6】. 5 .【分析 】本题考查需求弹性的概念. 【详解 】选（ D）. 商品需求弹性的绝对值等于d2140d1602Q PPPP QP，故选（ D）. 【评注 】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念. 相关公式及例题见数学复习指南（经济类）第一篇【例11.2】. 6 .【分析 】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解 】11limlimln 1e, limlimln 1e0 xxxxxxyyxx，所以0y是曲线的水平渐近线；001limlimln 1exxxyx，所以0 x是曲线的垂直渐近线；1eln 1eln 1e1elimlim0limlim11xxxxxxxxyxxxx，1l i ml i ml n 1e0 xxxbyxxx，所以yx是曲线的斜渐近线. 故选（ D）. 【评注 】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意ex当,xx时的极限不同. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第6 讲第 4 节【例 12】 ， 数学复习指南 （经济类）第一篇【例5.30】 ， 【例 5.31】. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料7 .【分析 】本题考查由线性无关的向量组123,构造的另一向量组123,的线性相关性. 一般令123123,A，若0A，则123,线性相关； 若0A，则123,线性无关 . 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项. 【详解 】由1223310可知应选（ A）. 或者因为122331123101,110011，而1011100011，所以122331,线性相关，故选（A）. 【评注 】本题也可用赋值法求解，如取TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1，以此求出 （A） ， （ B） ， （C） ，（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项. 完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第3 讲【例 3】 ， 数学复习指南 （经济类）线性代数【例 3.3】. 8【分析 】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. 【详解 】 由2211121(3)112EA可得1233,0，所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0. 所以A与B不相似，但是A与B的秩均为 2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）. 【评注 】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A） （C）. 完全类似例题见数学复习指南（经济类）第二篇【例5.17】. 9 .【 分析 】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解 】p前三次仅有一次击中目标，第4 次击中目标12223(1)3(1)C ppppp，故选（ C）. 【评注 】本题属基本题型. 类似例题见数学复习指南（经济类）第三篇【例1.29】 【例 1.30】10.【分析 】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式|( ,)( |)( )X YYf x yfx yfy可求解 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【详解 】因为,X Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以( ,)( )( )XYf x yfx fy. 故|( )( )( , )(|)( )( )( )XYX YXYYfx fyf x yfx yfxfyfy，应选（ A）. 【评注 】若,X Y服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记概率论与数理统计第3 讲【例3】 ， 数学复习指南 （经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4） ，二（ 3）和【例 2.38】11.【分析 】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论. 【详解 】因为323233110222limlim0,|sincos| 22112xxxxxxxxxxxxxxx，所以3231lim(sincos )02xxxxxxx. 【评注 】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小；（2） 有限个无穷小的乘积为无穷小；（3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记高等数学第1 讲【例1】 ， 数学复习指南 （经济类）第一篇【例 1.43】12,.【 分析 】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. 【详解 】212,2323yyxx，则( )1( 1) 2!( )(23)nnnnnyxx，故( )1( 1) 2!(0)3nnnnny. 【评注 】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 2 讲【例 21】 ， 数学复习指南（经济类） 第一篇【2.20】 ，【例 2.21】.13.【分析 】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解 】利用求导公式可得1221zyffxxy，1221zxffyxy，所以122zzyxxyffxyxy. 【评注 】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第9 讲【例8】, 【例 9】 ， 数学复习指南 （经济类）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料第一篇【例6.16】,【例 6.17】,【例 6.18】. 14.【分析 】本题为齐次方程的求解，可令yux. 【详解 】令yux，则原方程变为33d1ddd22uuxuxuuxux. 两边积分得2111lnln222xCu，即222111eeyuxxxCC，将11xy代入左式得eC，故满足条件的方程的特解为22eexyx，即ln1xyx，1ex. 【评注 】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第7 讲【例2】, 【例 3】 ， 数学复习指南 （经济类）第一篇【例9.3】. 15 .【分析 】先将3A求出，然后利用定义判断其秩. 【详解 】30100000100100000( )10001000000000000AAr A. 【评注 】本题为基础题型. 矩阵相关运算公式见数学复习指南（经济类）第二篇第二章第1 节中的知识点精讲. 16 .【分析 】根据题意可得两个随机变量服从区间0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便. 【详解 】利用几何概型计算. 图如下：A 1/2 1 1 /2O y x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所求概率2113214ADSS. 【评注 】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率. 完全类似例题见文登强化班笔记概率论与数理统计第3 讲【例 11】 ， 数学复习指南 （经济类）第三篇【例2.29】 ， 【例 2.47】. 17.【分析 】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 【详解 】 方程ln0yyxy两边对x求导得ln10yyyyyy，即(2ln)1yy，则1(1)2y. 上式两边再对x求导得2(2ln)0yyyy则1(1)8y，所以曲线( )yy x在点(1,1)附近是凸的 . 【评注 】本题为基础题型. 类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 6 讲【例 10】 ， 数学复习指南 （经济类） 第一篇【例 5.29】.18.【分析 】由于积分区域关于, x y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解 】因为被积函数关于, x y均为偶函数，且积分区域关于, x y轴均对称，所以1DD( , )d( , )df x yf x y，其中1D为D在第一象限内的部分. 而1222D1,0,012,0,01( , )dddxyxyxyxyf x yxxy112222222200011011ddddddxxxxxxyxyxyxyxy12 ln 1212. 所以D1( ,)d42ln 123fx y. 【评注 】被积函数包含22yx时, 可考虑用极坐标，解答如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2212120,00,01( , )ddxyxyxyxyf x yxy22sincos10sincosddr2 ln(12). 类似例题见文登强化班笔记高等数学第10 讲【例 1】 ， 数学复习指南 （经济类）第一篇【例7.3例 7.4】. 19.【分析 】由所证结论( )( )fg可联想到构造辅助函数( )( )( )F xf xg x，然后根据题设条件利用罗尔定理证明. 【详解 】令( )( )( )F xf xg x，则( )F x在,a b上连续，在( , )a b内具有二阶导数且( )( )0F aF b. （1）若( ),( )f xg x在( , )a b内同一点c取得最大值，则( )( )( )0f cg cF c，于是由罗尔定理可得，存在12( , ),( , )a cc b，使得12()()0FF. 再利用罗尔定理，可得存在12(,)，使得( )0F，即( )( )fg. （2）若( ),( )f xg x在( , )a b内不同点12,c c取得最大值，则12()()f cg cM，于是111222()()()0,()()()0F cf cg cF cf cg c，于是由零值定理可得，存在312(,)cc c，使得3()0F c于是由罗尔定理可得，存在1323( ,),(, )a cc b，使得12()()0FF. 再利用罗尔定理，可得，存在12(,)，使得( )0F，即( )( )fg. 【评注 】对命题为( )( )0nf的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为(1)( )nfx的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)( )nfx在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第4 讲【例 7】 ， 数学复习指南 （经济类）第一篇【例4.5】 ，【例 4.6】. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料20.【分析 】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解 】211111( )34(4)(1)541f xxxxxxx，而10011111(1), 2414333313nnnnnxxxxx，10011111( 1) (1), 1311222212nnnnnnxxxxx，所以1111000(1)( 1) (1)1( 1)( )(1)3232nnnnnnnnnnnnxxf xx，收敛区间为13x. 【评注 】请记住常见函数的幂级数展开. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学 第 11 讲【例 13】 ， 数学复习指南 （经济类） 第一篇 【例8.15】. 21.【分析 】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解 】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021xxxxxaxxxa xxxxa其系数矩阵22111011101200110140031012110101aaAaaaa. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0aaaaaaaaaa. 显然，当1,2aa时无公共解 . 当1a时，可求得公共解为T1, 0 ,1k,k为任意常数；当2a时，可求得公共解为T0, 1,1. 【评注 】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第4 讲【例 8】 ， 数学复习指南 （经济类）第二篇【例4.12】 ， 【例 4.15】. 22【 分析 】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解 】 （I）5353531111111111144412BAAE，则1是矩阵B的属于 2 的特征向量 . 同理可得532222241B，533333341B. 所以B的全部特征值为2，1，1 设B的属于1 的特征向量为T2123(,)x xx，显然B为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T120. 即1230 xxx，解方程组可得B的属于 1 的特征向量TT212(1,0, 1)(0,1,0)kk，其中12,k k为不全为零的任意常数. 由前可知B的属于 2 的特征向量为T3(1, 1,1)k，其中3k不为零 . （II ）令101011101P，由（）可得-1100010002P BP，则011101110B. 【评注 】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Axx的形式 . 请记住以下结论：（1）设是方阵A的特征值，则21*,(),kA aAbE AfAAA分别有特征值21,(),(AkabfA可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第5 讲【例12】 ， 数学复习指南 （经济类）第二篇【例5.24】23.【分析 】 （I）可化为二重积分计算；(II) 利用卷积公式可得. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【详解 】 （I）12002722d dd2d24xxyP XYxyx yxxyy. (II) 利用卷积公式可得( )( ,)dZfzf x zxx20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,zzxxzzzzxxzzz其他其他.【评注 】 (II) 也可先求出分布函数，然后求导得概率密度. 完全类似例题见文登强化班笔记概率论与数理统计第 3 讲【例 10】 ， 【例 11】 ， 数学复习指南 （经济类）第三篇【例2.38】 ， 【例 2.44】.（24） (本题满分 11 分) 设总体X的概率密度为1,021( ),12(1)0,xf xx其他12(,XX,)nX为来自总体X的简单随机样本，X是样本均值 .（I）求参数的矩估计量；（II）判断24X是否为2的无偏估计量，并说明理由. 【分析 】利用EXX求（ I） ；判断?224EX. 【详解 】 （I）101( )ddd22 124xxEXxfxxxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料令112242XX. （II ）222214444EXE XDXEXDXEXn，而22212201( )ddd22 1336xxEXx f xxxx，所以2225121248DXEXEX，所以222211115441133412EXDXEXnnnn，故24X不是2的无偏估计量 . 【评注 】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法. 完全类似例题见文登强化班笔记概率论与数理统计第5讲【例 3】 ， 数学复习指南 （经济类）第三篇【例 6.3，例 6.6，例 6.9】 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -