随机分析课件.pptx

,#,3,随机分析,1,随机过程的微积分,数学分析与随机分析,2,在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上。,在随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念,和性质。,一、收敛性概念,对于概率空间,（,F,P,）,上的随机序列,X,n,，每,个试验结果,e,都对应一序列,X,1,(,e,),X,2,(,e,),X,n,(,e,),若这一族序列对每个,e,都收敛，则称随机序列,X,n,处,处收敛,，即满足,其中,X,为随机变量。,3,以概率1,收敛,以概率1,收敛,称二阶矩随机序列,X,n,(,e,),以概率1,收敛,于二阶矩随机变量,X,(,e,),，若使,成立的,e,的集合的概率为,1,，即,或称,X,n,(,e,),几乎处处收敛,于,X,(,e,),，记作,。,4,依概率收敛,依概率收敛,称二阶矩随机序列,X,n,(,e,),依概率收敛,于,二阶矩随机变量,X,(,e,),，若对于任意给定的,0,，有,记作,。,5,均方收敛,均方收敛,设有二阶矩随机序列,X,n,和二阶矩随机变,量,X,，若有,成立，则称,X,n,均方收敛,于,X,，记作,。,6,依分布收敛,依分布收敛,称二阶矩随机序列,X,n,依分布收敛,于二阶,矩随机变量,X,，若,X,n,相应的分布函数列,F,n,(,x,),，在,X,的分布函数,F,(,x,),的每一个连续点处，有,记作,。,7,四种收敛定义的关系,p,d,8,a.e,m.s,大家有疑问的，可以询问和交流,9,可以互相讨论下，但要小声点,均方收敛的性质,定理,设,X,n,Y,n,都是二阶矩随机序列，,U,是二阶矩随机变量，,c,n,是常数序列，,a,b,c,为常数。令,l.i.m,X,n,=X,l.i.m,Y,n,=Y,lim,c,n,=c,，则有,极限运算与求数学期望运算可以,交换顺序,10,收敛的充要条件,定理1,二阶矩随机序列,X,n,收敛于二阶矩随机变,量,X,的充要条件为,定理2,二阶矩随机序列,X,n,均方收敛的充要条件,为下列极限存在且为常数：,11,随机过程的极限,极限,当,t,t,0,时，二阶矩随机过程,X,(,t,),t,T,均方收,敛于二阶矩随机变量,X,，即,则称,X,为随机过程,X,(,t,),在,t,0,点的,极限,，,或记作,12,二、均方连续,定义,设有二阶矩过程,X,(,t,),t,T,，若对某一个,t,T,，有,则称,X,(,t,),在,t,点,均方连续,，记作,若对,T,中所有点都均方连续，则称,X,(,t,),在,T,上,均方连续,。,13,均方连续准则,14,定理,二阶矩过程,X,(,t,),t,T,在,t,点均方连续的充,要条件是相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在点,(,t,t,),处连续。,推论,若相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在,(,t,t,),t,T,上连续，,则它在,T,T,上连续。,三、均方导数,定义,设,X,(,t,),t,T,为二阶矩过程，若存在另一个随机,过程,X,(,t,),，满足,则称,X,(,t,),在,t,点,均方可微,，记作,并称,X,(,t,),为,X,(,t,),在,t,点的,均方导数,。若,X,(,t,),在,T,上每,一点,t,均方可微，则称它在,T,上,均方可微,。,15,均方可微准则,定理,二阶矩过程,X,(,t,),t,T,在,t,点均方可微的充要,条件是相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在点,(,t,t,),的广义二阶导数,存在。,推论1,二阶矩过程,X,(,t,),t,T,在,T,上均方可微的充,要条件是相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在,(,t,t,),t,T,上每一点,广义二阶可微。,16,均方可微准则,推论2,若相关函数,R,X,(,t,1,t,2,),在,(,t,t,),t,T,上每一点广义二阶可微，,则,在,T,上以,及,在,T,T,上存在，且,有,数学期望运算与求导运算可以交换顺,序,17,四、均方积分,设,X,(,t,),t,T,为二阶矩过程，,f,(,t,),为普通函数，,T,=,a,b,，,定义,若当,n,0,时，,S,n,均方收敛于,S,，即,则称,f,(,t,),X,(,t,),在区间,a,b,上,均方可积,，其积分值记为,18,均方可积准则,定理,f,(,t,),X,(,t,),在区间,a,b,上均方可积的充要条件是,存在。,特别地，二阶矩过程,X,(,t,),在区间,a,b,上均方可积的充,要条件是,R,X,(,t,1,t,2,),在,a,b,a,b,上可积。,19,均方积分性质,（,1,）,数学期望与求积运算可以交,换顺序,20,均方积分性质,（,2,）,定理,设二阶矩过程,X,(,t,),t,T,在区间,a,b,上均方连,续，则,在均方意义下存在，且随机过程,Y,(,t,),t,T,在区间,a,b,上均方可微，且有,Y,(,t,)=,X,(,t,),。,推论,设,X,(,t,),均方可微，,X,(,t,),均方连续，则,21,例,1,设,X,(,t,),t,T,是实均方可微过程，求其导数过程,X,(,t,),t,T,的协方差函数,B,X,(,s,t,),。,解,22,五、均方随机微分方程,定义,设,X,(,t,),t,T,是一个具有,n,阶均方导数的随机过程，,Y,(,t,),是另一个随机过程，,a,n,(,t,),是普通函数，则,称为,n,阶,线性随机微分方程,。,23,例,2,设,Y,(,t,),t,T,是均方连续二阶矩过程，,a,n,(,t,),是普通,函数，求解一阶线性随机微分方程,解,24,