2015-2016-1-概率统计-北科大.pdf

A卷北京科技大学 20152016学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一填空题（每小题3 分，共 15 分）1. 设事件A和B中至少发生一个的概率为56，A和B中有且仅有一个发生的概率为23，那么A和B同时发生的概率为。2. 从1,2,3,4中 任 取 一 个 数 记 为X， 再 从1,XL中 任 取 一 个 数 记 为Y， 则2P Y。3. 设An是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的0，limAnnPpn。4. 设X服从区间0,（0）上的均匀分布，12,nXXXL是来自该总体的样本， 则的矩估计量$。5. 设12,1,nXXXnL是来自正态总体2,N的样本，1111niiiXXk为总体参数的无偏估计量，则k填空题答案： 1.16 2.1348 3.0 4.2X 5.21n二选择题（每小题3 分，共 15 分）1设0.6,0.8,0.8P AP BP B A，则下列结论中正确的是。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （A）事件,A B互不相容（B）事件,A B互逆（C）事件,A B互相独立（D ）AB2设,X Y是两个随机变量，则下列命题正确的是。（A）,X Y不相关,X Y不相互独立（B）,X Y相互独立,X Y不相关（C）,X Y不相关,X Y相互独立（D ）,X Y相关,X Y相互独立3. 设,X Y是相互独立的随机变量， 其分布函数分别为XFx和YFy，则max,ZX Y的分布函数是。（A）max,zXYFzFzFz（B）zXYFzFz Fz（C）max,zXYFzFzFz（D ）zXFzFz4. 设总体2,XN:，与2均未知，123,XXX是一个样本，则非统计量的是。（A）12313XXX（B）123max,XXX（C）123min,XXX（D ）12321XXX5. 设对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显着性水平0.05之下接受零假精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 设00:H，那么在显着性水平0.01下，下列结论成立的是。（A）必须接受0H（B）可能接受也可能拒绝0H（C）必须拒绝0H（D ）不接受也不拒绝0H选择题答案： 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A三 （本题 12 分）在次品率为16的一批产品中，任意抽取300 件产品，其中次品的数量记作X。（1）写出X的分布律，数学期望EX及方差DX；（2）k取何值时，概率P Xk最大？（3）利用切比雪夫不等式估计次品数在40 到 60 之间的概率；（4）利用中心极限定理计算次品数在40 到 60 之间的概率。已知1.550.939，51.293。【 解 】 （1）3003003005,0300.6kP Xkkk（ 2 分）X服从 二项 分布1300,6B，12550,3EXDX。 （2 分） 。（2）令1300151P XkkP Xkk，解得2956k（1 分） 。因此，P Xk在49k时单调上升，在50k时单调下降，因此50k时最大（ 2 分） 。（3）由切比雪夫不等式有2125/ 37501011012PX（2 分） 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （4）由中心极限定理，40505060504060125/3125/3125/ 3XPXP（1 分）501.551.5521.5510.878125/ 3XP（2 分） 。四 （本题 12 分）在某次实验中需要测量某物体的质量。一组测量结果如下（单位：g） 8.6 8.5 8.9 8.4 8.4 8.7 8.8 8.3 8.8。均值和方差分别记作和2。问题： （1） 求均值的置信区间，置信度为0.95；（2）是否可以认为物体的质量是8.2g？显着性水平0.05； （3）是否可以认为物体的质量8.2？显着性水平0.05。已知数据：0.051.65z；0.0581.860t；0.0591.833t；0.05101.813t；0.0251.96z；0.02582.306t；0.02592.262t；0.025102.228t；0.0450.212。解：构造t统计量3XtS，则8tt（2 分） 。简单计算得到8.6X，20.045S。 （2 分）（1）置信度为0.95，则0.02582.306t，置信区间为0.02588.437,8.7633SXt。 （2 分）（2）作双边检验01:8.2,:8.2HH， （1 分）拒绝域为0.02582.3063XttS， （1 分）本题5.662.306t，因此不接受零假设0H，不能认为物体的质量是08.2（1 分） 。（3）作单边检验01:8.2,:8.2HH， （1 分）拒绝域为0.0581.8603XttS， （1 分）本题5.661.860t，因此拒绝原假设0H，认为物体的质量8.2。 （1 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 五 （本题 12 分）设总体X分布在闭区间0,（未知）之上，总体的概率密度函数正比于随机变量的值。（1）求总体的概率密度函数；（2）求未知参数的矩估计量；（3）求未知参数的极大似然估计量。【解答】（1）由题设,0Xfxkxx（2 分） ，因此2012kkxdx（1 分） ，因此22k，概率密度函数为22,0Xfxxx（1 分） 。（2）20223EXxxdx（2 分） ，令XEX（1 分） ，解得$32X（1 分） 。（3）似然函数为212nniniLx，1maxii nx（2 分） 。可见当1maxii nx时，L取得最大值，因此极大似然估计量$maxiX（2 分） 。六 （本题 12 分）设随机向量,X Y分布在正方形0,10,1上，其概率密度函数为,32fx yAxxy，0,1x y。（1）求A及概率1P XY；（2）求,X Y的边缘分布密度函数；（3）求条件密度函数X Yfx y；（4）X与Y是否独立？为什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 解答： （1）0,131322x yAxxy dxdyA（2 分） ，因此23A。11010,11221323233xx yxyP XYxxy dxdyxdxxy dy12304739xxdx（2 分）（2）10223231 ,0133Xfxxxy dyxxx。 （2 分）1022321 ,0133Yfyxxy dxyy。 （2 分）（3）232,323,01,012113X YYxxyfx yxxyfx yxyfyyy（3 分）（4）不独立，因为,X YXYfx yfx fy（1 分） 。七 （本题 14 分）设连续型随机变量X的分布函数是01FxABx2222xxx，问：（1）,A B各是多少？（2）X的概率密度是什么？（3）证明：随机变量YX服从0,2上的均匀分布。（4）设随机变量sinZX，计算DZ。【解】 （1） 由于2 02 0lim1, lim0 xxF xF x（1 分） ， 所以2021ABAB， 解出得到11,24AB（1 分） 。（2）在22x时，124xFx，所以概率密度函数14fxFx（1 分） 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 在2x和2x时，0fxFx（1 分） 。（3）当0y时，0YFy，因此0Yfy。当2y时，1YFy，因此0Yfy。 （1 分） 。当02y时，FyP YyPXyPyXy2y（3 分） ，于是，12fyFy（1 分） 。综上，随机变量YX服从0,2上的均匀分布（ 1 分） 。（4）由于2,2XU，因此，221sin04EZxdx（2分） ，22222211sin42DZEZEZEZzdz（2 分） 。八 （本题 8 分）将 4 个红球， 8 个蓝球， 5 个绿球随机地排成一行。（1）前五个球为蓝色的概率有多大？（2）前 5 个球中没有蓝色球的概率有多大？（3）最后三个球为三种不同颜色的概率有多大？（4）所有红球连在一起的概率有多大？【解】 （1）4351285485171352221C C CpC C C（2）8451295485171359442C C CpC C C（3）37414114485171356417C C CpC C C（4）18514135485171351170C C CpC C CC卷精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 北京科技大学 20152016学年度第一学期概率论与数理统计试题答案及评分标准一填空题（本题每小题3 分，共 15 分）1. 甲乙射击一个目标，甲命中的概率是0.6 ，乙命中的概率是0.7 ，两人同时各射击一次，目标被命中的概率是。2. 若 服从0,5上的均匀分布，那么方程24420 xx有实根的概率是。3. 若二维随机变量,X Y在以原点为圆心的单位圆内的概率密度为1，其它区域都是0，那么12P X。4. 设n是n次独立试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率， 则对任意的0，有limnnPpn。5. 若$12,都是参数的无偏估计量，且$12DD，这时我们通常称统计量$1比$2。答案： 1.0.88 2.0.6 3.2334 4.0 5.有效二选择题（本题每小题3 分，共 15 分）1. 设事件,A B，则P AB。（A）P AP B（B）P AP AB（C）P AP BP AB（D）P AP BP AB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2. 已知,X Y是相互独立的随机变量， 同分布于标准正态分布。 有人作出如下四个论断：（1）XY服从正态分布，但是XY不服从正态分布；（2）XY服从标准正态分布；（3）XY与XY是不相关的；（4）XY与XY是相互独立的。在这四个断言中，正确断言的个数是。（A）1 （B）2 （C）3 （D）43. 设12,nXXXL相互独立，且同分布于标准正态分布， 下列随机变量中服从2分布的是。（A）12nXXXL（B）212nXXXL（C）22212nXXXL（D ）22212nXXXL4. 设12,nXXXL是来自某总体的一个样本，下面统计量中可以作为总体均值的无偏估计量的是。（A）12nXXXL（B）12nXXXnL（C）121nXXXnL（D）12nXXXnL5. 设,X Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为,XYFxFy，则max,ZX Y的分布函数是。（A）ZXYFzFz Fz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （B）max,ZXYFzFzFz（C）max,ZXYFzFzFz（D）1max,ZXYFzFzFz答案： 1.B 2.B 3.D 4.B 5.A三、 （本题 10 分）若221,3,2,4XNYN，且,X Y相互独立，问：（1）,X Y的相关系数是多少？（ 2）aXbY服从什么分布？其均值、方差分别是多少？这里,a b是常数，220ab。 （3）,a b满足什么条件时，随机变量aXbY与XY是独立的？或者说明不可能相互独立？【解答】 （1）由于,X Y相互独立，因此相关系数是0（2 分） 。（2）aXbY应服从正态分布（ 1 分） ，其数学期望是2E aXbYaEXbEYab（1分） ，方差是D aXbY22916D aXD bYab（2 分） 。（3） 由于aXbY与XY都服从正态分布，因此只需要相关系数为零就是相互独立的，这只需要它们的协方差等于零 即可（2分） 。由于cov,916aXbY XYaDXbDYab。 （1 分）因此，当169ab时，aXbY与XY相互独立。 （1 分）四 （本题 12 分）若一正方形的边长是随机变量X，服从区间0,1上的均匀分布。（1）求面积S的分布密度； （2）计算概率1 114 82P SS。【解答】 （1）由于正方形面积为2SX，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 当01s时，分布函数20sSFsP SsPXsP Xsdxs（3 分） ，分布密度函数12SSfsFss（1 分） ；当0s时，分布函数0SFsP Ss，分布密度函数0SSfsFs； （1 分）当1s时，分布函数1SFsP Ss，分布密度函数0SSfsFs。 （1 分）因此，S的概率密度函数为1, 0120,0,1Ssfssss。 （1 分）（2）1 111111,1 114 8284482111114 8211828228PSSPSPSSPSPS。 （2+3分）五 （本题 12 分）设随机变量,X Y相互独立，且它们的概率密度函数分别为12, 020,0,2Xxfxxx，,00,0yYeyfyy，试求： （1）,X Y的联合概率密度与联合分布函数；（2）XY大于 1 的概率； （3）XY的数学期望与方差。【解答】 （1）概率密度函数为1,02,02yfx yexy（1 分） ，联合分布函数11122000222112200011, 02,0,1,2,01xyxtyyxyyytydse dtedsxexyF x yfs t dsdtexydse dteds（2+2分） 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）11111,x yP XYPXYfx y dxdy（1 分）11110001111111222xyxdxedyedxe。 （1+1分）（3）2012xEXdx，01yEYye dy（1 分） ，222204111233xDXEXEXdx，22201211yDYEYEYy e dy（1 分） 。2E XYEXEY（1 分） ；由于,X Y相互独立，43D XYDXDY（1 分） 。六 （本题 12 分）罐子中有两只白球，一只黑球，从中随机摸出一只，观察颜色后放回罐中，并同时再放入一只同一颜色的球。问： （1）第二次摸出白球的概率是多少？（2）连续摸出三个白球的概率是多少？（3）若第二次摸出白球，判断第一次更有可能摸出哪种颜色的球？（ 4）若首次摸出白球时的摸球次数记做X，求X的分布律以及数学期望。【解答】用,iiW B分别表示第i次摸出白球和黑球。（1）由全概率公式21211212 31 223 43 43P WP WP W WP BP W B。 （1+1 分）（2）由乘法公式1231213122 3 423 4 55P WW WP WP W WP W WW。 （1+1 分）（3）由贝叶斯公式12P W W121121121P WP W WP WP W WP BP WB2 333 42 31 243 43 4，12P B W121121121P BP WBP BP W BP WP W W1 213 42 31 243 43 4， （2+1 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 因此，第一次更有可能摸出的是白球。（4）分布律为111 21243 41212kkkPXkP BBWkkk kkLL，1k（2 分） 。111411111444 lim212121222kkkkEXkk kkkkkkk。 （1+2分）七 （本题 12 分）设总体X的概率密度为1,00,0 xexfxx，0。今从总体中抽取10 个个件，得到数据如下： 1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150。 （1）试分别用矩估计法和极大似然估计法估计参数的值； （2）上述你使用的估计量是否为无偏估计量？为什么？【解答】 （1）矩估计法，首先计算总体X的一阶矩得到01xEXxedx（1 分） ，令样本均值等于一阶矩，得到121010 xxxL（1 分），因此的矩估计量为1210?10XXXL。 （1 分）极大似然估计法，似然函数为10111010111;iiixxiiL xee（1 分） ，对数似然函数为1011ln10lniiLx，令ln0dLd（1 分） ，解得101110iix（1 分） ，因此的极大似然估计量为1210?10XXXL。 （1 分）又样本均值为 1168，故此的矩估计值和极大似然估计值都是1168.（1 分）（2）由于121012101?1010XXXEEEXEXEXLL， （2 分）因此上述估计都是的无偏估计。（2 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 八 （本题 12 分）一批元件，从中随机抽取25 只，测得平均寿命为950小时。若已知该种元件寿命服从标准差为100小时的正态分布。（1）求这批元件寿命的置信区间，置信度取为0.95； （2）若产品寿命不低于1000 小时为合格，为检验这批元件是否合格，需要做什 么 样的 零 假 设和 备 择 假 设 ？ 检 验 结果 如 何 ？显 着 性 水 平 为0.05。 已 知：0.10.050.0251.28,1.64,1.96zzz。【解答】 （1）总体服从正态分布， 方差已知为22100，样本容量为 25，置信度为0.95的置信区间是0.025Xzn（4分） ，代入数据得到0.0251009501.96910.8,989.25Xzn。 （2 分）（2）零假设和备择假设为：01:1000,:1000HH（2 分） 。总体服从正态分布，方差已知为22100，显着性水平为0.05，选择检验统计量0XZn（ 1 分），其拒绝域为1.64zz（ 1 分），代入数据得到检验值为95010002.51.6410025z（1 分） 。因此拒绝零假设，认为这批元件不合格。（1 分） 2020-2-8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -