2022年全等三角形中做辅助线总结 .pdf

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线； 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图 1-1，AOC= BOC ，如取 OE=OF ，并连接 DE 、DF ，则有 OED OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD ，CE平分 BCD ，点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD。图 1-1OABDEFC图1-2ADBCEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例2已知：如图 1-3，AB=2AC ，BAD= CAD ，DA=DB ，求证 DC AC 例3已知：如图 1-4，在 ABC中， C=2 B,AD平分 BAC ，求证： AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1已知在 ABC中，AD平分 BAC ，B=2C，求证： AB+BD=AC 2已知：在 ABC中，CAB=2 B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC ，求证： AE=2CE 3已知：在 ABC中，ABAC,AD 为BAC的平分线， M为 AD上任一点。求证： BM-CMAB-AC 图1-4ABCDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 4已知：D是ABC的BAC 的外角的平分线 AD上的任一点，连接DB 、DC 。求证： BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求证： ADC+ B=180 分析：可由 C 向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 如图 2-2，在 ABC中， A=90 ，AB=AC ，ABD= CBD 。求证： BC=AB+AD 分析：过 D作 DE BC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM 、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。分析：连接 AP ，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P到 AB 、AC的距离相等。练习：图 2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 1如图 2-4AOP= BOP=15 ，PC/OA ，PD OA，如果 PC=4 ，则 PD= （） A 4 B 3 C 2 D 1 2已知在 ABC 中， C=90 ，AD平分 CAB ，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC 。3已知：如图 2-5, BAC= CAD,ABAD，CE AB ，AE=21（AB+AD ）. 求证： D+ B=180 。4. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD 中，E为 CD 的中点，F为 BC 上的点， FAE= DAE 。求证： AF=AD+CF。5已知：如图 2-7，在 RtABC中， ACB=90 ,CD AB ，垂足为 D ，AE平分 CAB交 CD于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH 。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图 3-1，BAD= DAC ，ABAC,CD AD于 D，H是 BC中点。求证： DH=21（AB-AC ）图2-4BOAPDC图2-5ABDCE图2-6EABCDF图2-7FDCBAEH图示 3-1ABCDHE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 分析：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例2 已知：如图 3-2，AB=AC ，BAC=90 ，AD为ABC的平分线， CE BE.求证： BD=2CE 。例 3已知：如图3-3 在ABC中，AD 、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点B作 BFAD ，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M 。求证： AM=ME。分析：由 AD 、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF ，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4，在ABC中，AD平分 BAC ，AD=AB ，CM AD交 AD延长线于 M 。求证： AM=21（AB+AC ）分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 ABD关于 AD的对称 AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ） ，即 2AM=AB+AC，也可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM ，然后只需证 DF=CF即可。练习：1已知：在 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，D是 BC中点， AE是BAC的平分线，且 CE AE于 E，连接 DE ，求 DE 。2已知 BE 、BF分别是 ABC的ABC的内角与外角的平分线，AF BF于 F，AE BE于 E，连接 EF分别交 AB 、AC于 M 、N ，求证 MN=21BC图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时， 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1 和图 4-2 所示。图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例 4 如图，ABAC, 1=2，求证： AB ACBD CD 。例 5 如图， BCBA ，BD平分 ABC ，且 AD=CD ，求证： A+C=180 。例 6 如图， AB CD ，AE 、DE分别平分 BAD 各ADE ，求证： AD=AB+CD。1 2 A C D B B D C A E C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 练习：1. 已知，如图， C=2 A，AC=2BC 。求证： ABC 是直角三角形。2已知：如图， AB=2AC ，1=2，DA=DB ，求证： DC AC 3已知 CE 、AD是ABC 的角平分线， B=60 ，求证： AC=AE+CD 4已知：如图在 ABC中， A=90 ，AB=AC ，BD是ABC 的平分线，求证： BC=AB+AD C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 二、 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半， 延长缩短可试验。 线段和差不等式， 移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图 1-1：D、E为ABC内两点 , 求证:AB+ACBD+DE+CE.证明： （法一）将 DE两边延长分别交 AB 、AC于 M 、N ，在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM 中，MB+MDBD； （2）在CEN 中，CN+NECE； （3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （法二：图 1-2）延长 BD交 AC于 F，廷长 CE交 BF于 G ，在ABF和GFC 和GDE 中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE（同上） （2）ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - - DG+GEDE（同上） （3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边， 构造三角形， 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D为ABC内的任一点，求证： BDC BAC 。分析： 因为 BDC 与BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置， BAC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E，这时 BDC 是EDC 的外角，BDC DEC ，同理 DEC BAC ， BDC BAC 证法二：连接 AD ，并廷长交 BC于 F，这时 BDF是ABD的外角， BDF BAD ，同理， CDF CAD ， BDF+ CDF BAD+ CAD ，即： BDC BAC 。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD为ABC的中线，且 1=2, 3=4, 求证： BE+CFEF。分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE ，CF ，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF移到同个三角形中。证明： 在 DN上截取 DN=DB ，连接 NE ，NF ，则 DN=DC，在DBE 和NDE中：ABCDEFN13图12 34精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - - DN=DB （辅助线作法）1=2（已知）ED=ED （公共边）DBE NDE （SAS ）BE=NE （全等三角形对应边相等）同理可得： CF=NF 在EFN中 EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF 。注意：当证题有角平分线时， 常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 ：在ABC中，ABAC ，1=2，P为 AD上任一点求证：AB-ACPB-PC。分析：要证： AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC ，故可在 AB上截取 AN等于 AC ，得 AB-AC=BN ，再连接 PN ，则 PC=PN ，又在 PNB中，PB-PNPB-PC。证明： （截长法）在 AB上截取 AN=AC 连接 PN,在APN和APC中AN=AC （辅助线作法）1=2（已知）AP=AP （公共边）APN APC （SAS ）, PC=PN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - - BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。例 1如图， AC平分 BAD ，CE AB ，且 B+D=180 ，求证： AE=AD+BE。例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AC平分 BAD ，CE AB于 E，AD+AB=2AE，求证： ADC+ B=180 o例 3 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC ，A=108 ，BD平分ABC 。D A E C B AEBCDABCDNMP16图1 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 求证： BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC中， ACB=90 ，AD是CAB的平分线， DM AB于 M ，且 AM=MB。求证： CD=21DB 。【夯实基础 】例：ABC中， AD是BAC的平分线，且BD=CD ，求证 AB=AC方法 1：作 DE AB于 E，作 DF AC于 F，证明二次全等方法 2：辅助线同上，利用面积方法 3：倍长中线AD【方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线ABC中方式 1： 延长 AD到 E， AD是 BC边中线使 DE=AD ，连接 BE 方式 2：间接倍长作 CF AD于 F，延长 MD 到 N，作 BE AD的延长线于E 使 DN=MD ，连接 BE 连接 CD【经典例题 】例 1： ABC中， AB=5 ，AC=3 ，求中线 AD的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边D C B A M B D C A CDABDABCEDABCFEDCBANDCBAM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例 2：已知在 ABC中， AB=AC ，D在 AB上， E在 AC的延长线上，DE交 BC于 F，且 DF=EF ，求证： BD=CE方法 1：过 D作 DG AE交 BC于 G，证明 DGF CEF方法 2：过 E作 EG AB交 BC的延长线于G，证明 EFG DFB方法 3：过 D作 DG BC于 G ，过 E作 EH BC的延长线于H证明 BDG ECH例 3：已知在 ABC中，AD是 BC边上的中线， E是 AD上一点， 且 BE=AC ，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EF提示：倍长AD至 G ，连接 BG ，证明 BDG CDA三角形 BEG是等腰三角形例 4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在 BC上，且 DE=EC ，过 D作BADF /交 AE于点 F，DF=AC.求证： AE平分BAC提示：方法 1：倍长 AE至 G ，连结 DG方法 2：倍长 FE至 H，连结 CH例 5：已知 CD=AB ，BDA= BAD ， AE是ABD的中线，求证：C=BAE提示：倍长AE至 F，连结 DF证明 ABE FDE （SAS ）进而证明 ADF ADC （SAS ）【融会贯通 】1、在四边形ABCD中，AB DC ，E为 BC边的中点， BAE= EAF ，AF与 DC的延长线相交于点 F。试探究线段AB与 AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE 、DF交于 G 证明 AB=GC 、AF=GFFEDABCFECABD第 1 题图ABFDECEDABCFEABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 所以 AB=AF+FC 2、如图，AD为ABC的中线， DE平分BDA交 AB于 E，DF平分ADC交 AC于 F. 求证：EFCFBE提示：方法 1：在 DA上截取 DG=BD ，连结 EG 、FG证明 BDE GDE DCF DGF所以 BE=EG 、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法 2：倍长 ED至 H，连结 CH 、 FH证明 FH=EF 、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、已知：如图，ABC中，C=90，CM AB于 M ，AT平分BAC交 CM于 D，交 BC于 T，过 D作 DE/AB 交 BC于 E，求证： CT=BE.提示：过 T作 TNAB于 N 证明 BTN ECD1如图， AB CD ，AE 、DE分别平分 BAD各ADE ，求证： AD=AB+CD。2. 如图， ABC中， BAC=90 ，AB=AC ，AE 是过 A 的一条直线，且B，C在 AE的异侧，BD AE于 D，CE AE于 E。求证： BD=DE+CEE D C B A 第 14 题图DFCBEADABCMTE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 四、 由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中， 如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质 （直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD是 ABC的中线，则 SABD=SACD=SABC（因为 ABD与 ACD是等底同高的）。例 1如图 2，ABC中，AD是中线，延长 AD到 E，使 DE=AD ，DF是 DCE的中线。已知 ABC的面积为 2，求： CDF的面积。解：因为 AD是 ABC的中线，所以 SACD=SABC=2=1，又因 CD是 ACE的中线，故 SCDE=SACD=1，因 DF是 CDE 的中线，所以 SCDF=SCDE=1=。CDF的面积为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD ，E、F分别是 BC 、AD的中点， BA 、CD的延长线分别交 EF的延长线 G 、H 。求证： BGE= CHE 。证明：连结 BD ，并取 BD的中点为 M ，连结 ME 、MF ，ME是 BCD 的中位线，MECD ， MEF= CHE ，MF是 ABD 的中位线，MFAB ， MFE= BGE ，AB=CD ，ME=MF， MEF= MFE ，从而 BGE= CHE 。（三）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，连 BC上的中线 AD=2 ，求 BC的长。解：延长 AD到 E，使 DE=AD ，则 AE=2AD=2 2=4。在 ACD 和 EBD中，AD=ED ，ADC= EDB ，CD=BD ，ACD EBD ， AC=BE ，从而 BE=AC=3 。在 ABE中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90 ，BD=，故 BC=2BD=2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例 4如图 5，已知 ABC中，AD是BAC的平分线， AD又是 BC边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到 E，使 DE=AD 。仿例 3 可证：BED CAD ，故 EB=AC ，E=2，又1=2，1=E，AB=EB ，从而 AB=AC ，即 ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，AC BC ，AD BD ，求证：AC=BD 。证明：取 AB的中点 E，连结 DE 、CE ，则 DE 、CE分别为 RtABD ，RtABC斜边 AB上的中线，故 DE=CE= AB ，因此 CDE= DCE 。AB/DC，CDE= 1，DCE= 2，1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE ，1=2，AE=BE ，ADE BCE ， AD=BC ，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此AC=BD 。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC是等腰直角三角形， BAC=90 ， BD平分 ABC交 AC于点 D，CE垂直于 BD ，交 BD的延长线于点 E。求证： BD=2CE 。证明：延长 BA ，CE交于点 F，在 BEF和 BEC中，1=2，BE=BE ，BEF= BEC=90 ，BEF BEC ， EF=EC ，从而 CF=2CE 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 又1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC ，BAD= CAF=90 ，ABD ACF ， BD=CF ，BD=2CE 。注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段 ，再将端点连结， 便可得到全等三角形。例一：如图 4-1：AD为ABC的中线，且 1=2，3=4，求证： BE+CFEF。证明：廷长 ED至 M ，使 DM=DE，连接 CM ，MF 。在BDE 和CDM 中，BD=CD （中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDE CDM （SAS ）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义 ）3+2=90即：EDF=90 FDM= EDF=90 在EDF和MDF 中ED=MD（辅助线作法）EDF= FDM （已证）DF=DF （公共边）EDF MDF （SAS ）EF=MF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）14图ABCDEFM1234精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - - BE+CFEF上题也可加倍 FD ，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段， 构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图 5-1：AD为ABC的中线，求证： AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD ，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE ，CE AD为ABC的中线（已知）BD=CD （中线定义）在ACD 和EBD中BD=CD （已证）1=2（对顶角相等）AD=ED （辅助线作法）ACD EBD （SAS ）BE=CA （全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。练习：1 如图， AB=6 ，AC=8 ，D为 BC 的中点，求 AD的取值范围。2 如图， AB=CD ，E为 BC的中点， BAC= BCA ，求证： AD=2AE 。ABCDE15图B A D C 8 6 B E C D A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 3 如图，AB=AC ，AD=AE ，M为 BE中点，BAC= DAE=90 。求证：AM DC 。4，已知 ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证 EF=2AD 。5已知：如图 AD为ABC 的中线，AE=EF ，求证：BF=AC 常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”D M CD EABABCDEF25图A B D C E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - - DCBAEDFCBA5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一）、倍长中线（线段）造全等1： （ “希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3 ，则中线 AD的取值范围是 _. 2：如图， ABC 中，E、F 分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小. 3：如图， ABC 中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证： AD平分 BAE. EDCBA中考应用（09 崇文二模）以ABC的两边 AB 、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接 DE ，M 、N分别是 BC 、DE的中点探究：AM与 DE的位置关系及数量关系精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - - EDCBA（1） 如图 当ABC为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是，线段 AM与 DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由（二）、截长补短1. 如图，ABC中，AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 2：如图，AC BD ，EA,EB分别平分 CAB,DBA ，CD过点 E，求证;ABAC+BD CDBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - - - DCBAP21DCBAPQCBA3：如图，已知在ABCV内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD中，BC BA,ADCD ，BD 平分ABC，求证：0180CA5: 如图在 ABC中，AB AC ，12，P 为 AD上任意一点，求证 ;AB-ACPB-PC 中考应用（08 海淀一模）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例题讲解：一、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2 倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形 . 如图中 ，若ABC2C，如果作BD平分ABC，则DBC是等腰三角形；如图中 ，若ABC2C，如果延长线CB到D，使BDBA，连结AD，则ADC是等腰三角形； 如图中 ，若B2ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边， 在形外作ACDACB，交BA的延长线于点D，则DBC是等腰三角形 .1、如图，ABC中，ABAC，BDAC交AC于D. 求证：DBC12BAC. 2、如图，ABC中，ACB2B，BC2AC. 求证：A90 .二、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图中，若AD平分BAC，ADEC，则ACE是等腰三角形；如图中，AD平分BAC，DEAC，则ADE是等腰三角形；如图中，AD平分BAC，CEAB，则ACE是等腰三角形；如图中，AD平分BAC，EFAD，则AGE是等腰三角形.D C B A A D C B E E C B D A B A C D E A B F C D E G A B C B C D A B C D A B C D A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 3、如图，ABC中，ABAC，在AC上取点P，过点P作EFBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证： .AEAP.4、如图， ABC 中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC.求证：EFAB.三、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形. 如图 1 中，若 AD平分 BAC ，AD DC ，则 AEC是等腰三角形.5、如图 2，已知等腰RtABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于D。求证： BF2CD.四：其他方法总结1截长补短法6、如图，已知：正方形ABCD 中， BAC的平分线交BC于 E，求证： AB+BE=AC 2倍长中线法题中条件若有中线， 可延长一倍， 以构造全等三角形， 从而将分散条件集中在一个三角形内。 7 、如图（ 7）AD是ABC的中线， BE交 AC于 E，交 AD于 F，且 AE=EF 求证： AC=BFF C D E B A F B A C P E E 图 1 A B C D 图 2 B F D C A A B C D E E A B C D F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - - - A 8、已知 ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、 AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 ,求证 EF2AD 。3平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt, 有时可作出斜边的中线9、ABC中，BAC=60 ，C=40 AP平分 BAC交 BC于 P ，BQ平分 ABC交 AC于 Q ， 求证： AB+BP=BQ+AQ说明： 本题也可以在AB截取 AD=AQ ，连 OD ，构造全等三角形，即“截长补短法 ” 本题利用 “平行法” 解法也较多，举例如下：如图（ 1） ，过 O作 OD BC交 AC于 D，则 ADO ABO来解决如图（ 2） ，过 O作 DE BC交 AB于 D，交 AC于 E，则 ADO AQO ，ABO AEO来解决如图（ 3） ，过 P作 PD BQ交 AB的延长线于D，则 APD APC来解决 如图（ 4） ，过 P作 PD BQ交 AC于 D，则 ABP ADP来解决10、已知：如图，在ABC中， A的平分线 AD交 BC于 D，且 AB=AD ，作 CM AD交 AD的延长于 M A B C P Q O O A B C P Q D 图（ 1）A B C P Q D E 图（ 2）O A B C P Q 图（ 3）D O A B C P Q 图（ 4）D O A B D B C D E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 求证： AM=21（AB+AC ）巩固练习1、 （2009 年浙江省绍兴市）如图，DE，分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若48CDE，则APD等于（）A42 B48 C 52 D582（2009 柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（）A1 个 B2 个 C 3 个 D43、 (2009宁夏 ) 如图，ABC的周长为32，且ABACADBC，于D，ACD的周长为 24，那么AD的长为4、(09 年达州 ) 长度为 2 、3 、4 、5 的四条线段