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2022年初二数学实数思维导图汇总实数的完备有序域 实数集合通常被描述为完备的有序域，这可以几种说明。 首先，有序域可以是完备格。然而，很简单发觉没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对随意元素 ， 将更大)。所以，这里的完备不是完备格的意思。 另外，有序域满意戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明白这里的完备是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思特别接近采纳戴德金分割来构造实数的方法，即从(有理数)有序域动身，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽视了域的结构。然而，有序群(域是种特别的群)可以定义一样空间，而一样空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采纳一样空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依靠于实数的性质。)当然，并不是唯一的一样完备的有序域，但它是唯一的一样完备的阿基米德域。事实上，完备的阿基米德域比完备的有序域更常见。可以证明，随意一样完备的阿基米德域必定是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思特别接近采纳柯西序列来构造实数的方法，即从(有理数)阿基米德域动身，通过标准的方法建立一样完备性。 完备的阿基米德域最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即全部其他的阿基米德域都是 的子域。这样 是完备的是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思特别接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含全部(超实数)有序域的纯类动身，从其子域中找出最大的阿基米德域。 实数的基本定理 实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就须要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为动身点起先建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。 一、上(下)确界原理 非空有上(下)界数集必有上(下)确界。 二、单调有界定理 单调有界数列必有极限。详细来说： 单调增(减)有上(下)界数列必收敛。 三、闭区间套定理(柯西-康托尔定理) 对于任何闭区间套，必存在属于全部闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。 四、有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理) 闭区间上的随意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的随意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。 五、极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理) 有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。 六、有界闭区间的序列紧性(致密性定理) 有界数列必有收敛子列。 七、完备性(柯西收敛准则) 数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。 注：只有充要条件的命题才能称之为准则，否则不能称为准则。 以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，它们彼此等价。在证明中，可采纳单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看数学分析札记。 在闭区间上连续函数的性质的证明中，实数系的基本定理是特别重要的工具，但是它们之间的等价性不能说明它们都成立，必需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而以上的命题都成立，进过反复细致琢磨，问题就归结为实数的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的微积分学教程 中，可以用实数的连续性来推出确界定理，在华东师范高校数学系编的数学分析(上册)(第四版)中就通过实数十进制小数形式推出确界定理，这也说明白建立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上，应当是先建立了实数，有了实数的定义之后，再得出实数系的基本定理，从而能够在实数域上建立起严格的极限理论，最终得到严格的微积分理论，但数学历史的发展恰恰相反，最先产生的是微积分理论，而严格的极限理论是在19世纪初才起先建立的，实数系的基本定理已经基本形成了之后，19世纪末实数理论才诞生，这时分析的算数化运动才大致完成。 第4页 共4页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页第 4 页 共 4 页