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如何在教学中培养学生的逆向思维能力 关键词：数学教学;逆向思维;培育、训练。初中数学新课程标准要求，数学教学要着眼于学生素养的培育，其中数学思索实力是四大教学目标之一，是学生数学实力的核心。数学的学习过程不仅仅是学问的接收、存储和应用过程，更重要的是思维的训练和发展过程。然而对于思维问题，从技术层面上有许多的分类方法，通常可以分为常规思维和特别规思维两大类。在实际的学习、工作和生活中，围囿于问题情境和习惯，人们多习惯于常规思维。数学教学中对特别规思维的训练和培育也显得相对薄弱，没有形成基本的思维技能和习惯，不利于学生思维实力的培育，不利于学生创建力的发展。而在特别规思维中，最基本、最重要的就是逆向思维。下面笔者结合自己数学教学的实践，浅谈一下逆向思维实力的培育，期以抛砖引，和同行们沟通。一、什么是逆向思维所谓逆向思维，就是从与常规思维相反的方向去相识问题，从对立的角度去思索问题，寻求解题途径，解决问题的一种数学思想方法。利用逆向思维可以加深对概念、定义、定理、公式、法则、性质的正确、深刻的理解和应用，可以形成反思和换位思索的思维素养，利于学生分析思维实力的培育和提高，发展学生的智力，有效地解决困难的问题。二、怎样培育和训练学生的逆向思维实力初中数学教材中体现逆向思维的材料许多，如概念、定义、定理、公式、法则、运算与逆运算，分析与综合等，都为逆向思维供应了丰富的素材，因此，对逆向思维的培育要贯穿于课堂教学的全部过程中，让学生养成面对问题就会自觉进行逆向思维的习惯，详细可以从以下几个方面进行：1、在概念、定义、定理、公式、法则的学习中进行逆向思维训练在数学概念、定义、定理、公式、法则的学习中，要教学生擅长逆向和从反面去理解思索概念、定义、定理的内涵，重视互逆概念的比较，重视公式互逆运用，要形成逆向思索的习惯。(1)、在概念、定义的应用中培育学生逆向思维数学中的许多概念都要教学生从正、逆两方面去思索和理解，如肯定值的概念，正数的肯定值是它的本身，负数的肯定值是它的相反数，零的肯定值是零除了从正向去理解计算，还要教学生逆向去理解，如计算5=-5=,这是从正向去理解计算，一个数的肯定值等于5，这个数是多少这是逆向去理解计算。又如对一元二次方程根的概念的理解，除了正向理解，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0;还要从反向理解，若ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,且x1x2,则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根。当我们从正逆两个方面理解了这个一元二次方程的根的定义后，再来做下面的这个题：例1、 (1)、若m、n是方程x2-3x+1=0的两个根，求m2+n2的值。(2)、若p2-3p+1=0，q2-3q+1=0，求p2+q2的值。只需正用或逆用定义，结合根与系数的关系便可以迎刃而解了。初中数学中像这样必需从正、逆两方面去思索，才能精确理解把握的定义、概念还有许多，如平方根定义;一次函数中k、b对图像分布的影响，一元二次函数中a、b、c对图像开口方向、与x轴、y轴的交点、对称轴的影响。这里不再一一列举。(2)、在定理、推论、法则的应用中培育学生逆向思维在几何教材中，有关图形的性质与判定的定理许多都是互为逆命题的，学生在学习时经常是把握不住题设与结论，导致不能正确的应用定理来说理，教学时要给学生讲清学习定理的方法，弄清定理的题设和结论，正确区分原命题和逆命题，要让学生知道原命题正确，逆命题不肯定正确。逆向思维对于定理的学习很重要，娴熟地应用逆向思维能很好的学习定理，能有效地进行逆向思维的训练。初中数学中这样的定理有许多如勾股定理和它的逆定理、平行线的性质定理和它的判定定理、角平分线性质定理和判定定理、线段的中垂线性质定理和判定定理尤其是在同一问题中反复应用正、逆定理的情形更能训练逆向思维。例2、已知：四边形ABCD中， BAB 、BC、CD、AD的长 C分别为13、3、4和12，BCD=900求：四边形ABCD的面积 A D分析：本题连结BD后，在BDC中应用勾股定理可以求出BD的长，这时候在ABD中，再应用勾股定理的逆定理判定ABD为直角三角形，则两个直角三角形的面积和就是四边形ABCD的面积了。 A例3、已知：ABC中，DE/BC，B=DEN D E求证：DB=ENB N C分析：在图中DB和EN是一个四边形的对边，易想到去证明四边形DBNE为平行四边形，依据定义得出DB=EN。要这样去证明，因为已经有DEBC了，所以只须要证明BD/EN。要证明BD/EN，这又须要去证明B=ENC。而已知B=DEN ,因此，我们只需去证明DEN=ENC就可以了，这从已知DEBC便可以得出。在这两个例题中，就分别应用了勾股定理和它的逆定理、平行线的性质定理和判定定理，充分体现了互逆思维的应用。在代数教材中这样的体现出互逆思维的定理也许多，如一元二次方程的判别式定理，根与系数的关系定理。教学中肯定要体会出互逆思维的层次，让学生切实感受到正向和逆向的两种思维过程。(3)、在公式的应用中培育学生逆向思维初中数学有许多公式，都必需要求学生能娴熟的从正、逆两方面去应用，如二次根式中的公式( )2 = a与a = ( )2 ， = . 与 . = 等，指数中的公式am.an=am+n与am+n=am.an ，(ab)n=anbn与an.bn=(ab)n等，多项式乘法中的公式(a+b)(a-b)=a2-b2与a2-b2=(a+b)(a-b) ，(ab)2=a22ab+b2与a22ab+b2=(ab)2等，还有小学就起先学习接触的加法交换律，结合律，乘法结合律，交换律、安排律等，这些公式应用之广之多。例4、已知am=3,an=2，求a 2m+3n的值。分析：本题只需逆用幂的运算性质就可以解决。a2m+3n=(am)2.(an)3=32.23=72例5、计算(a+b-c)2-(a-b+c)2分析：本题按多项式乘法的常规思路，则要分别把(a+b-c)2和(a-b+c)2绽开后再去括号相减，这样做就比较繁琐。假如逆向思索，先用平方差公式分解，则特别简洁。还有在三角形面积公式、圆面积公式、扇形面积、弧长等公式的应用中，已知一些量求另一些量，也体现着逆向思维，教学中除了通过向学生展示对公式的分析、理解、运用，训练学生的逆向思维，还可以编制题组进行训练，使学生感受正向应用公式和逆向应用公式解题的意义，充分相识正向思索和逆向思索是思维的基本形式。2、在数学方法运用中训练学生的逆向思维(1)、应用分析法或分析综合法分析问题训练逆向思维实力在数学解题的分析中，要擅长培育学生双向思维意识，当我们强调逆向思维的重要性的时候，并不是说正向思维是一种陈旧的思维形式，事实上，辩证的思维形式应是双向的，正、逆思维是两种不同却又相互联系的思维形式，逆向思维是建立在正向思维的基础上的，解题中逆向思维离不开正向思维，若正向思维受阻就应考虑逆向思维。这两种思维方式在解题分析中经常运用。要教学生学会应用综合法和分析法分析问题，通过对问题应用分析法分析，或者是综合法和分析法同时应用去分析，感受逆向思维的应用，培育逆向思维实力。综合法是从问题的条件动身去分析问题，执因索果，而分析法则是从问题的结论动身，执因索果，由此上溯，用两种方法对同一问题进行分析，实行两头凑的方法最能让学生感受到逆向思维的好处。例6、已知：如图四边形ABCD内接于O，ACBD于P，CE=ED，OFAB于F。求证：PE=OF分析：如图，因CPD=900，CE=ED，所以CD=2PE;又因OFAB，所以F是AB的中点，因此，若作直径AG，并连结BG，则有BG=2OF。于是。要证PE=OF，只需证CD=BG即可。但CD与BG同为O的弦，因而又只需证它们所对的圆周角CAD=BAG就行了。又APD和ABG都是直角，故要证CAD=BAG，只要能证明ADP=AGB就成。然而，这是已知的题设和作图所能保证的，到此分析完毕。(2)、应用反证法和逆推法去思索和证明，训练逆向思维实力数学中有许多问题从正面去思索解决经常很困难，假如我们变更思维方式，正难则逆，从反面(向)入手，常有意想不到的效果。反证法和逆推法就是很好的方法，它们都体现了逆向思维，仔细学习和领悟这些方法能很好的培育学生的逆向思维实力。例7、求作一个方程使它的根是2和3分析：学生学习了用分解因式法解一元二次方程后，假如对用十字交叉法解一元二次方程熟识了，运用逆推的方法去逆向思索，学生便很快的就会构造出方程(x+2)(x-3)=0，绽开后便可以得到x2-x-6=0，它的根就是-2和3。例8、在平面内假如两条直线都和第三条直线平行，那么着两条直线也相互平行。分析：假如教学生用反证法从结论的反面不相互平行去逆向思索，那就得到这两条直线必需相交，一旦相交了就有交点，这样在平面内过一个点就有两条直线和第三条直线平行，就与公理平面内过一个点有且只有一条直线和已知直线平行冲突，所以假设不成立。因此假设的反面相互平行就是成立的。3、在数学解题运算的训练中让学生理解逆向思维初中数学的六种运算，加和减、乘和除、乘方和开方及多项式乘法和因式分解，都是互逆的运算，都体现着逆向思维，在教学生学习的过程中，要让学生理解它们的互逆关系，敏捷的解决问题。例9、若a1，a+a-1=3,求a-a-1的值。分析：对已知a+a-1=3两边平方得a2+2+a-2=9,再配方a2-2+a-2=5即a2-2a.a-1+(a-1)2=5由此得(a-a-1)-2=5，因为a1,所以aa-1,所以，由平方根的定义得到a-a-1=5在这里的解题运算过程中，就从正向和逆向分别应用了完全平方公式和零指数幂公式a0=1,逆向思维得到很好的体现。例10、(1) 已知a-2+(b-3)2=0,求代数式a2+3ab-b3的值。(2)已知x2+x-1=0，求代数式2x3+4x2+3的值。分析：(1)先应用非负数的学问，求出a、b后，再干脆把a、b的值代入式子就可以求值了，这是用了干脆代入的方法。(2)假如用同样的方法则很繁琐，假如用和(1)逆向的思维方法，考虑整体代入，先把已知变为x2+x=1，再把2x3+4x2+3作如下的改变逐步代入：2x3+4x2+3=2x3+2 x2+2 x2+3=2x(x2+x)+ 2 x2+3=2x+2 x2+3=2(x2+x)+3=5 这里在代入的方法上，一个是干脆代入字母的数值，另一个是不求出x的值，而是求出x的代数式的值，这是互逆的两种思维方法。例11、(1) 二次函数y=x2+bx+c的图像向左平移三个单位，再向上平移2个单位，得二次函数y=x2-2x+1的图像，求b、c的值。(2)将抛物线y= -(x-1)2+6先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的解析式。分析：这两个题在题设和结论上是互逆的，解题的关键是抓住抛物线的顶点坐标，(1)是从平移后的抛物线的顶点坐标(1、0)，依据平移关系求出原来的抛物线的顶点坐标为(4、-2)，再写出它的顶点式，改写成标准解析式，则便知道b、c的值。(2)是从平移前的抛物线顶点坐标(1、6)，依据平移关系求出平移后的抛物线的顶点坐标为(-3、5)，再写出顶点式 改写成标准解析式即可。从解题思维方法来讲，它们恰好是互逆的，体现了逆向思维。类似的问题在函数中还有许多，如已知函数解析式去找图像特征;知道图像特征去求函数解析式等;像这样在解题中体现互逆的思维方法的问题比比皆是，教学中还可以编制题组对比训练，在学生练习后刚好点拨总结归纳，让学生知其然而知其所以然。综上所述，逆向思维在数学解题中有着广泛的应用，敏捷地应用它，不但可以化简解题过程，降低解题难度，巧获解题结果，而且对于熬炼学生的思维品质，提高学生的解题实力，是大有裨益的，因此在平常的数学教学过程中，我们必需有意识、有安排地渗透和强化逆向思维的训练，培育学生的逆向思维实力，提高学生的思维水平。 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 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