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2022经济计量学精要(第4版)_(美)古扎拉蒂经济计量学精要(第 4 版)/(美)古扎拉蒂 大佬点个赞支持一下呗(´)(´)(´) 经济计量学精要(第 4 版)/(美)古扎拉蒂 综述第 1 章 经济计量学的特征及探讨范围 1.1 什么是经济计量学 1.2 为什么要学习经济计量学 1.3 经济计量学方法论 经济计量分析步骤： (1)建立一个理论假说 (2)收集数据 (3)设定数学模型 线性回来模型为例 线性回来模型中，等式左边的变量称为应变量， 等式右边的变量称为自变量或说明变量。线性回来分析的主要目标就是说明一个变量(应变量)与其他一个或多个变量(说明变量)之间的行为关系。 简洁数学模型 (4)设立统计或经济计量模型 误差项 u u 代表随机误差项，简称误差项。u包括了 X 以外其他全部影响 Y，但并未在模型中详细体现的因素以及纯随机影响。 (5)估计经济计量模型参数 线性回来模型常用最小二乘法估计模型中的参数 读做帽，表示某的估计值 (6)核查模型的适用性：模型设定检验 (7)检验源自模型的假设：假设检验 (8)利用模型进行预料 数据类型 时间序列数据：按时间跨度收集得到的 截面数据：一个或多个变量在某一时间点上的数据集合 合并数据：既包括时间序列数据又包括截面数据 面板数据：也称纵向数据、围观面板数据，即同一个横截面单位的跨期调查数据 模型因果关系 统计关系无论有多强，有多紧密，也决不能建立起因果关系，假如两变量存在因果关系，则肯定建立在某个统计学之外的经济理论基础之上。 第一部分线性回来模型第 2 章线性回来的基本思想:双变量模型 2.1回来的含义 回来分析的主要目的：依据样本回来函数 SRF 估计总体回来函数 PRF 2.2总体回来函数(PRF)：假想一例 总体回来线给出了对应于自变量的每个取值相应的应变量的 均值。（总体回来线表明白 Y的均值与每个 X 的变动关系）PRL E(Y|xi)表示与给定 x值相对应的 Y的均值。下标 i代表第 i个子总体。 B1、B2 称为参数，也称为回来系数。B1 称为截距，B2 称为斜率。斜率系数度量了 X每变动一单位，Y( 条件)均值的改变率。 2.3总体回来函数的统计或随机设定 随机或统计回来总体函数 PRF ui随机误差项，其值无法先验确定，通常用概率分布描述随机变量。 2.4 随机误差项的性质 误差项代表了未纳入模型变量的影响； 即使模型中包括了确定数学分数的全部变量，其内在随机性也不行避开；人类行为并不是完全可预料的或完全理性的。因而，u 反映了人类行为的这种内在随机性。 u 还代表了度量误差，如数据的四舍五入； 奥卡姆剃刀原则：描述应当尽量简洁，只要不遗漏重要的信息。即使知道其他变量可能会对 Y有影响，但这些变量的综合影响是有限的、非确定性的，可以把这些次要因素归人随机项 u。 2.5样本回来函数 样本回来函数 SRF 估计量或样本统计量是总体参数的估计公式，估计量的某一取值称为估计值。 随机样本回来函数 SRF ei残差，可作为 ui的估计量，表示 Y的实际值与样本回来得到的估计值的差。 回来分析的主要目的：依据样本回来函数 SRF 估计总体回来函数 PRF 真实 = 估计+残差 由于抽样的差异性，高估和低估是不行避开的 2.6线性回来的特别含义 变量线性 线性的第一种 ，也是最本质的含义是，应变量的条件均值是自变量的线性函数。 对于说明变量线性的回来模型，说明变量的单位变动引起的应变量的改变率为一常数，也就是说，斜率保持不变。 参数线性 应变量的条件均值是参数 B的线性函数，而变量之间并不肯定是线性的。 与变量线性函数类似，假如参数 B，仅以一次方的形式出现，则称函数为参数线性的。 2.7从双变量回来到多元线性回来 多元线性回来 总体回来函数 PRF ui随机误差项，其值无法先验确定，通常用概率分布描述随机变量。 上两式都是 参数线性的，因此它们都是 线性回来模型。而进人模型的说明变量不须要是线性的。但本例的说明变量都是线性的。 2.8参数估计：一般最小二乘法（估计线性 PRF） 一般最小二乘法 OLS 双变量 PRF 随机样本回来函数 SRF 估计 PRF最好的方法是，选择 B1、B2的估计量 b1、b2，使得残差 ei尽可能小。 一般最小二乘法就是要选择参数 b1、b2, 使得残差平方和∑ei2(RSS)最小。 一旦给出 Y和 X 的样本值，RSS就是估计量 b1、 b2 的函数。不同的 b1、b2，就能够得到不同的残差 e，进而得到不同的 RSS值。 通过求解下而的两个联立方程得到使 RSS最小化的 b1、b2值。 OLS 估计量：参数 b 是未知的，变量 Y 和 X 的和、平方和、交叉乘积和是已知的。求解联立方程，求得 b1、b2。 其中 一般最小二乘估计量的一些重要性质。 (1)用 OLS 法得出的样本回来线经过祥本均值点。即： (2)残差的均值∑ei/n 总为 0。可以利用这条性质检验计算是否精确。 (3)对残差与说明变量的积求和，其值为零；即这两个变量不相关。这特性质也可用来检查最小二乘法计算结果。 (4)对残差与 Yi(估计的 Yi)的积求和，其值为 0；即： 2.9小结 统计关系无论有多强，有多紧密，也决不能建立起因果关系，假如两变量存在因果关系，则肯定建立在某个统计学之外的经济理论基础之上。 线性回来指的是参数线性，而不考虑变量是否线性。 下一步工作是如何判定利用 OLS法得到的样本回来函数的优度。第 3 章双变量模型: 假设检验 3.1古典线性回来模型假定 CLRM： 假定 1：回来模型是参数线性的，但不肯定是变量线性的。回来模型形式如下： 假定 2：说明变量 X与扰动误差项 u 不相关。 假如 X是非随机的(即为固定值)，则该假定自动满意。即使 x 值是随机的，假如样本容量足够大，也不会对分析产生严峻影响。 假定 3：给定 Xi，扰动项 u的期望或均值为零。 假定 4：ui的方差为常数，或同方差。异方差指路第 9 章。 假定 5：无自相关假定，即两个误差项之间不相关，误差 ui是随机的。误差自相关指路第10 章。 假定 6：回来模型是正确设定的。 实证分析的模型不存在设定偏差或设定误差，模型中包括了全部影响变量。 3.2一般最小二乘估计量的方差与标准误 方差 σ 标准误 se σ2是扰动项 ui的方差。依据同方差假定，每一个 ui具有相同的方差 σ2。 图为 σ2估计值计算公式。 (n-k)称为自由度，可以简洁地看做是独立视察值的个数。本例中 k=2。 σ的估计称为回来标准误，即 Y 值偏离估计回来线的标准差。值越小，Y 的实际值越接近依据回来模型得到的估计值。 3.3为什么运用 OLS？OLS 估计量的性质 高斯-马尔柯夫定理：OLS 估计是最优线性无偏估计量( BLUE) (1)b1和 b2是线性估计量； 即它们是随机变量 Y的线性函数。 (2)b1和 b2是无偏估计量； 即 E(b1)=B1， E(b2)=B2。因此，平均而言，b1和 b2 与其真实值 B1 和 B2 一样。 (3)误差方差的 OLS估计量是无偏的； 平均而言，误差方差的估计值收敛于其真实值。 (4)b1和 b2是有效估计量。 即 var(b1)小于 B1 的随意一个线性无偏估计量的方差，var(b2)小于 B2 的随意一个线性无偏估计量的方差。 蒙特卡洛试验 假定已知真实的截距和斜率系数分别为 1.5和 2.0，随机误差听从均值为 0，方差为 4 的正态分布。现假定 X有 10个给定值：110。 利用统计软件，从 N(0, 4)正态分布中生或 10 个 ui值。依据给定的 B1 和 B2，以及 10个 X 值和生成的 10 个 ui 值，利用上面的方程可以得到 10 个 Y 值，记为试验或样本 1。再依据正态分布表，生成另外 10 个 ui值,得到另外 10个 Y 值记为样本 2。 按此方式，得到 21 个样本。对每个样本进行回来，得到 21 个不同的 b1、b2和 σ2估计值。计算出平均的 b1、b2 和 σ2估计值分别为 1.4526.1. 9665和 4.4743，而相应的真实值分别为 1.5、2.0和 4。 从这个试验可以得出假如反复运用最小二乘法，则平均地看，估计值将等于(总体参数)真实值。即 OLS估计量是无偏的。 3.4 一般最小二乘法(OLS) 估计量的抽样分布或概率分布 为了推导 OLS估计量 b,和 b,的抽样分布，须要在 CLMR基本假定上再增加一条假定。 假定 7：在总体回来函数 Yi=B1 +B2Xi+ui中，误差项 ui听从均值为 0，方差为 σ2的正态分布。即 这个假定的理论基础是中心极限定理：随着变量个数的无限增加，独立问分布随机变量近似听从正态分布。 正态变量的线性函数仍听从正态分布。假如证明白 b1和 b2 是正态变量的线性函数，那么b1和 b2 就听从正态分布。 3.5假设检验 建立原假设 H0、备择假设 H1 可选择两种方法对 B2和 B1 的参数进行假设检验 置信区间和显著性检验方法的区分在于： 置信区间检验不知道真实的 B2 值，因此建立一个区间。 而显著性检检方法中，假设一个真实的 B2 假，检验 b2 是否接近假设值 B2。 置信区间法 (1)建立原假设 H0、备择假设 H1 H0：B2=0 零假设（稻草人假设），为了确认 Y是否与 X 有关 H1：B2≠0 (2)设定显著水平 α，常见设定 5%。 (3)推断单边检验/双边检验。 (4)t值查表。 自由度=n-k，k 为变量个数(包括 Y)。 (5)计算 se(b2)、se(b1) 计算 ei 计算 2 计算 se (6)计算置信区间常因不知真实 而以其估计值代替运用其次个 t分布检验 双侧 单侧 (7)如置信区间包含原假设值，则不能拒绝原假设；如置信区间不包含原假设值，则拒绝原假设，选择备择假设。 显著性检验法 核心思想：依据从样本数据求得的检验统计量的值确定接受或拒绝原假设。 (1)建立原假设 H0、备择假设 H1 H0：B2=B2* B2*是 B2 的某个给定数值（如 B2*=0） H1：B2≠0 (2)计算出 t值 (3)t值显著范围（拒绝域）查表 α一般取 1%、5%或 10% 自由度=n-k，k 为变量个数(包括 Y)。 双侧 单侧 (4)如 t值落在任何一个拒绝域内，则拒绝原假设，选择备择假设；否则不能拒绝原假设。 p 值 p 值定义为拒绝原假设最低的显著水平。 P 值就是当原假设为真时，比所得到的样本视察结果更极端的结果出现的概率。 P值越小，表明结果越显著，越能拒绝原假设。 反查 t值表得 P 值：P（tgt;(2)中已求 t值）≈P值 3.6拟合回来直线的优度：判定系数 r2 估计回来线拟合真实 Y 值的优劣程度 TSS = ESS + RSS 总平方和 TSS：真实 Y 值围绕其均值 Y 的总变异。 说明平方和 ESS：估计的 Y 值围绕其均值的变异。也称为回来平方和。 残差平方和 RSS：即 Y 变异未被说明的部分。 假如选择的 SRF很好地拟合了样本数据，则 ESS远大于 RSS。 定义 r方 两个重要性质 非负性 0 ≤ r2 ≤ 1 ：若=1，表示完全拟合；=0，表示 Y与 X之间无任何关系 计算公式 (1-r2)表示了未被 X说明的 Y 的变异比例，称之为余相关系数。 样本相关系数 r 度量了两个变量 X与 Y 之间的线性相关程度。 一般而言，r与斜率同号。 一般而言，估计的 Y值越接近真实 Y值，r值就越高。 3.9正态性检验 残差直方图 PDF 正态概率图 NPP 雅克贝拉检验 建立在 OLS残差基础上的一种渐近(或大样本)检验方法。 首先计算出随机变量(例如 OLS 残差)的偏度系数 S(PDF对称性的度量)和峰度系数K(PDF胖瘦的度量)。对于正态分布变量：偏度为 0，峰度为 3。 雅克和贝拉建立了如下检验统计量： n 为样本容量，S为偏度，K 为峰度。 假如变量听从正态分布，则 S为 0, (K-3)为 0，因而 JB统计量为零。但是假如变量不听从正态分布，则 JB统计量为一个渐渐增大值。 在正态性假设下，上式给出的 JB统计量渐近听从自由度为 2的卡方分布 asy表示渐近地。 依据卡方分布表计算出 JB统计量的值。假如在选定的显著水平下，计算的卡方值超过临界的卡方值，则拒绝正态分布的零(原)假设；否则不能拒绝零(原)假设。假如能够计算出 x值的 p值，则可以得知获此卡方值的精确概率。第 4 章多元回来:估计与假设检验(1 )如何估计多元回来模型?多元回来模型的估计过程与双变量模型有何不同? (2)多元回来模型的假设检验与双变量模型有何不同? (3)多元回来模型有没有一-些在双变量模型中未曾遇到的特性? (4)既然一个多元回来模型能够包括随意多个说明变量，那么如何确定说明变量的个数? 4.1三变量线性回来模型 三变量总体回来函数 PRF 随机三变量总体回来函数 PRF Y应变量；X2、X3说明变量；u随机扰动项；i第 i个视察值。 模型是参数线性的，变量之间可能是线性的，也可能不是。 B1 是截距，表示了当 X2、X3为零时得 Y 的平均值。 B2、B3 称为偏回来系数。 B2 度量了在 X4 保持不变的状况下，X2 单位变动引起 Y 均值 E(Y)的改变量。 B3 度量了在 X2 保持不变的状况下，X3 单位变动引起 Y 均值 E(Y)的改变量。 多元回来模型的随机形式表明，任何一个 Y 值可以表示成为两部分之和: (1)系统成分或确定性成分(B1 +B2X2i + B3X3i)，也就是 Y 的均值 E(Yi)。 (2)非系统成分或随机成分 ui，由除 X2、X3 以外其他因素确定。 4.2多元线性回来模型的若干假定 假定 1：回来模型是参数线性的。 是参数线性的，但不肯定是变量线性的。 假定 2：X2、X3 与扰动项 u 不相关。 假如 X2、X3是非随机的（即 X2、X3在重复抽样中取简定值），则这个假定将自动满意。 假如变量 X是随机的，那么它们必需独立分布于误差项 u，否则无法得到回来系数的无偏估计值。 假定 3：误差项均值为零： 假定 4：同方差假定，即 u的方差为一常量： 假定 3、4：随机误差 u 听从均值为零， (同)方差为 σ2的正态分布，即： 假定 5：误差 ui是随机的，误差项 ui和 uj 无自相关： 假定 6：回来模型是正确设定的。 实证分析的模型不存在设定偏差或设定误差，模型中包括了全部影响变量。 假定 7：说明变量 X2和 X3 之间不存在完全共线性。 即两个说明变量之间无严格的线性关系。无完全共线性通俗的说明是，变量 X2不能表示为另一变量 X3 的线性函数。（违反指路第 8 章） 4.3多元回来参数的估计 一般最小二乘 OLS 估计量 随机三变量样本回来函数 SRF 三变量样本回来函数 SRF OLS 原则是选择未知参数值使得残差平方和(RSS)∑ei2尽可能小。 最小化过程须要用到偏微分技术。 求和符号表示是从第 1 个样本到第 n 个样本。 三个方程求解三个未知数。 小写字母表示与其样本均值的离差： OLS 估计量的方差与标准误 须要标准误主要有两个目的： 建立真实参数的置信区间 检验统计假设 计算公式 σ2表示总体误差项 ui的(同)方差，这个未知方差的 OLS估计量是： 自由度=n-k（k=变量数） 残差 ei的两个计算公式 多元回来 OLS 估计量的性质 在古典线性回来模型的基本假定下，双变量模型的 OIS估计量是最优线性无偏估计量。这特性质对于多元回来同样成立。因此，依据 OLS 估计的每一个回来系数都是线性的和无偏的一一平均而言，它与真实值一样。 在全部线性无偏估计量中，0LS 估计量具有最小方差性，所以，OLS估计量比其他线性无偏估计量更精确地估计了真实的参数值。简言之，OLS估计量是有效的。 4.4估计多元回来的拟合优度：多元判定系数 R2 多元判定系数 R2 R2 的正平方根 R称为多元相关系数，度量了 Y与全部说明变量的线性相关程度。虽然r可正可负，但 R总取正值。 4.6 多元回来的假设检验 虽然 R2 度量了估计回来直线的拟合优度，但是 R2本身却不能判定估计的回来系数是否统计显著，即是否显著不为零。 b1、b2 和 b3均听从均值分别为 B1、B2和 B3 的正态分布。 自由度=n-k=n-3 4.7对偏回来系数进行假设检验 置信区间和显著性检验方法的区分在于： 置信区间检验不知道真实的 B2 值，因此建立一个区间。 而显著性检检方法中，假设一个真实的 B2 假，检验 b2 是否接近假设值 B2。 置信区间检验法 (1)建立原假设 H0、备择假设 H1 H0：B2=0 零假设（稻草人假设），为了确认 Y是否与 X 有关 H1：B2≠0 (2)设定显著水平 α，常见设定 5%。 (3)推断单边检验/双边检验。 (4)t值查表。 自由度=n-k，k 为变量个数(包括 Y)。 (5)计算 se(b2)、se(b1) 计算 ei 计算 2 计算 se (6)计算置信区间 常因不知真实 而以其估计值代替运用其次个 t分布检验 双侧 单侧 (7)如置信区间包含原假设值，则不能拒绝原假设；如置信区间不包含原假设值，则拒绝原假设，选择备择假设。 显著性检验法 核心思想：依据从样本数据求得的检验统计量的值确定接受或拒绝原假设。 (1)建立原假设 H0、备择假设 H1 H0：B2=B2* B2*是 B2 的某个给定数值（如 B2*=0） H1：B2≠0 (2)计算出 t值 (3)t值显著范围（拒绝域）查表 α一般取 1%、5%或 10% 自由度=n-k，k 为变量个数(包括 Y)。 双侧 单侧 (4)如 t值落在任何一个拒绝域内，则拒绝原假设，选择备择假设；否则不能拒绝原假设。 p 值 p 值定义为拒绝原假设最低的显著水平。 P值就是当原假设为真时，比所得到的样本视察结果更极端的结果出现的概率。 P值越小，表明结果越显著，越能拒绝原假设。 反查 t值表得 P值：P（tgt;(2)中已求 t值）≈ P值 4.8 多元回来的总体显著性检验 联合假设：即 B2、B2 联合或同时为零。 假设两个说明变量联合对应变量 Y无影响。 称为多元回来的总体显著性检验，即 Y是否与 X2和 X3 线性相关。 t检验明显对于检验单个回来系数的统计显著性是有效的，但对于联合假设却无效。 方差分析 自由度 三变量回来模型的方差分析表 方差分析表 假如满意 CLRM基本假定(以及假定 4.7)，在零假设下: H0: B2=B3 =0，可以证明变量： 听从分子自由度为 2，分母自由度为(n-3)的 F分布。一般地，假如回来模型有 k 个说明变量(包括截距)，则 F值的分子自由度为(k-1)，分母自由度为(n-k)。 假如分子比分母大，即假如 Y 由回来说明的部分(即由 X2和 X3 说明部分)比未被回来说明的部分大，则 F值将大于 1。 随着说明变量对应变量 Y变异的说明比例渐渐增大，F值也将渐渐增大。 F 值越大，财拒绝零假设的理由越充分：两个(或多个)说明变量对应变量 Y 无影响。 计算出 F值，并在所选显著水平下(犯第一类错误的概率)将其与临界 F值(分子自由度为 2,分母自由度为 n -3)做比较。假如计算的 P值超过临界 F值,则拒绝零假设：全部的说明变量同时为零。假如 F值不超过临界 F值，则不能拒绝零假设：说明变量对应变量无任何影响。 F与 R2 之间的重要关系 n 为视察值的个数，k为包括截距在内的说明变量的个数。 这两个统计量同方向变动。当 R2 =0(即 Y 与说明变量 X 不相关)时，F为 0。R2 值越大，F值也越大。当 R0取其极限值 1 时，F值趋于无穷大。 因此，F检验(用于度量总体回来直线的显著性)也可用于检验 R2的显著性一一 R2是否显著不为零。换句话说，检验零假设式与检验零假设(总体的)R2为零是等价的。 R2 形式的方差分析表 4.9从多元回来模型到双变量模型：设定误差 回来模型遗漏关键变量，会导致(模型的)设定偏差或设定误差。 一旦建立起模型，就不要随意地从模型中删除某个说明变量。 4.10 比较两个 R2 值:校正的判定系数 因为在 R2的定义中(R2= ESS/TSS)并没有考虑到自由度，因此须要这样一个拟合优度的度量指标，它能依据模型中说明变量的个数进行调整。 校正的判定系数 R2 有如下性质: (1)假如 kgt;1，则 R-2≤R2。即随着模型中说明变量个数的增加，校正判定系数 R-2 越来越小于未校正判定系数 R2。 (2)虽然未校正判定系数 R2总为正，但校正判定系数 R-2 可能为负。 4. 11什么时候增加新的说明变量 在实践中，为了说明某个现象，往往而临着在若干说明变量间进行取舍的问题。通常的做法是：只要校正判定系数 R-2 值增加(即使 R-2 值小于 R2 的值)，就可以增加新的说明变量。 可以证明：假如增加变量系数的|t|值大于 1, R-2 就会增加，这里的 t值是在零假设真实系数为零下计算得到的。 自由度为 k的 t统计量的平方等于分子自由度为 1，分母自由度为 k的 F统计量。 4.12 受限最小二乘 受限模型用 OLS估计参数时，称为受限最小二乘法 RLS。非受限模型用 OLS估计参数时，称为非受限最小二乘法 URLS。 假设待估模型是正确设定的，模型已经包括了全部相关变量，就是非受限模型。 Rr2表示从受限模型得到的 R2，Rur2 表示从非受限模型得到的 R2。假定误差项 ui听从正态分布。听从分子自由度为 m，分母自由度为(n-k)的 F分布： m =受限回来的限制个数，n=样本视察值的个数，k=非受限模型待估参数的个数(包括截距项)。 检验的零假设为：受限模型的约東是有效的。假如估计的 F值大于所选显著水平下的临界 F值，则拒绝受限回来。在这种情形下，受限模型的约束是无效的。第 5 章回来模型的函数形式 5.1如何度量弹性：双对数模型 双对数模型的参数估计：为了进行估计，可写为： 模型称为 双对数模型或 双对数线性模型。 这是一一个线性模型，因为参数 B1和 B2 是以线性形式进入模型的。这个模型还是对数形式变量的线性模型（原始模型式中变量 X 是非线性的）。 这样一个非线性模型是如何通过对数变换成为线性(参数线性)模型的。 它不仅是参数线性的，而且 Y*与 X*之间也是变量线性的。 假如改变后的模型满意古典线性回来模型的基本假定，则很简单用一般最小二乘法估计模型式，而且得到的估计量具有最优线性无偏估计量的性质。 斜率 B2 度量了 Y对 X 的弹性，即 X的一个(微小)变动引起 Y变动的百分比。弹性的定义： 假如 Y代表了商品的需求量，X 代表了单位价格，则 E就是需求的价格弹性。 图 b 直线的斜率就是价格弹性B2 的估计值。由于回来线是一条直线（Y和 x都是对数形式），所以它的斜率-B2 为一常数。由于这个模型的斜率等于其弹性，所以弹性为一常数与 X 的取值无关。 由于这个特别的性质，双对数模型(或双对数线性模型)又称为不变弹性模型 双对数模型的假设检验： 与线性模型类似，随机误差项听从正态分布(均值为 0，方差为 σ2)的值设下，估计的回来系数听从正态分布。或者，假如用其无偏估计量 σ2 代替 σ2，则每个估计量听从自由度为(n-k)的 t分布，其中 h为包括截距在内的参数个数。 5.2比较线性和双对数回来 要比较两个模型的 r2 值，应变量的形式必需是相同的。 线性模型的斜率度量了应变量的肯定改变率，而双对数模型的斜率度量了 Y对 X的弹性。 线性模型的弹性系数通常是通过 X与 Y的样本均值得到平均弹性： 线性模型的弹性系数随着不同点而改变，而双对数模型在任何一点上的弹性系数都相同。 5.3 多元对数线性回来模型 三变量对数线性模型 模型中的偏斜率系数 B2、B3 又称为偏弹性系数。B2度量了 X3不变条件下，Y对 X2的弹性，即在 X3 为常量时，X2 每变动 1%，Y 改变的百分比。 5.4 半对数模型（对数-线性模型或增长模型） 瞬时增长率和复合增长率 瞬时增长率 B2 仅有一个变量以对数形式出现。对数-线性模型。 与其他线性回来模型一样，参数 B1和 B2 是线性的。唯一的差别是应变量 Y 是对数形式，说明变量是时间，取值 1,2,3等。 斜率 B2 度量了说明变量（时间 t）的肯定改变引起 Y 的相对变动。（瞬时增长率） 能够用 OLS法估计模型式。通常截距没有特别意义。 回来结果说明如下：斜率 B2 表示平均回言，logY 的年增长率为 B2，即 Y 以每年100*B2的速率增长。在半对数模型中，斜率（B2）度量了说明变量（时间 t）的肯定改变引起 Y 的比例变动或相对变动。把这个相对变更量乘以 100就得到增长率。 复合增长率 r 虽然复合增长率很简单计算，但在实际中通常列出的是瞬时增长率。 线性趋势模型 即 Y 对时间 t的回来，t按时间依次度量。这类模型称为线性趋势模型，时间 t称为趋势变量。若上式中的斜率为正，则称 Y 有向上的越势，若斜率为负，则称 Y有向下的趋势。 双对数线性模型的斜率度量了 Y 对说明变量的弹性系数。对于增长模型和线性趋势模型，也可以度量弹性系数。事实上，一旦确定了回来模型的函数形式，就能够依据弹性定义计算弹性系数。 假定了 ut的均值为零，方差为一常数 σ2 5.5 线性对数模型：说明变量是对数形式 线性-对数模型常用于探讨说明变量每百分比变动引起应变量的肯定改变量。模型可以引入多个对数形式的说明变量。每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，变量X 每变动 1%引起应变量的肯定变更量。 Y 的肯定改变量( Y)等于 B2 乘以 X的相对改变量。若将后者栗以 100，则 X每百分比变动引起的 Y的肯定改变量。因而，若 X/X 每改变 0.01 个单位(或 1%)，则 Y 的肯定改变量为 0.01*B2。若求得实际的 B2=674，则 Y 肯定改变量为 0.01*674=6.74。因此，在用 OLS方法估计出回来方程后，将估计的斜率系数 B2 乘以 0.01，或除以 100。 能够用 OLS法估计模型式。 5.6 倒数模型 参数线性模型：模型中的参数是线性的。 倒数模型的一个显著特征是，随着 x 的无限增大，(1/Xi)趋于零，Y 接近渐近值或极限值 B1。因此，当变量 X 无限增大时，回来模型将渐渐靠近其渐近线或极值。 图 5-4a中，若 Y 表示生产的平均固定或本( AFC)，即总固定成本除以产出，X代表产出，则极据经济理论，隨着产出的不断增加，AFC将渐渐降低(总固定成本不变)，最终接近 B产出轴。 图 5-4b 的一个重要应用就是 恩格尔消费曲线。该曲线表明白消费者在某一商品上的支出与其总收人或总消费支出的关系。 图 5-4c的一个重要应用就是 菲利普斯曲线。菲利普斯极据英国货币工资改变的百分比(Y)与失业率(X)的数据，得到了形如图 5-4c的一条曲线。21 从图中可以看出，工资随失业水平的改变是不对称的：当失业率低于 U*时，工资随失业率单位改变而上升比失业率高于 U*时工资随失业率单位改变而下降得更快，经济学家称 U*为自然失业率。 5.7多项式回来模型 称为立方函数，更一般地，称为变量 X的三次多项式函数变量 X 的最高次幂代表了多项式函数的次(这里的最高次为 3)。在这类多项式函数中，等式右边只有一个说明变量，但却以不同的次幂出现，因而可看做多元回来模型。 虽然模型是变量非线性的，但却是参数线性的，因而是一个线性回来模型。可以用 OLS估计形模型，并且不会导致任何特别的估计问题。 5.8过原点的回来 模型中截距为零，因此称为过原点的回来。 无截距模型运用了原始的平方和以及交叉乘积，而有截距模型则运用了均值调整后的平方和以及交叉乘积。 现在计算 σ2的自由度是(n-1)，而不是(n-2)，因为式中只有一个未知参数。 r2 计算公式通常假定了模型中存在截距项。因此，无截距模型不能运用这个公式，假如运用了这个公式，则得到的结果可能没有意义，因为计算的 r2可能是负数。 有截距模型的残差平方和总为零，但无截距模型不肯定为零。 5.9 关于度量比例和单位的说明 r2 是一个纯数值，无须考虑应变量( Y)和说明变量(X)的度量单位。 变量不同的模型不能比较 r2。 回来系数的说明可能因度量单位不同而不同。 5.10 标准化变量的回来 变量标准化就是用变量与其均值的差除以变量的标准差。 标准化变量有一个重要性质：均值为 0，方差为 1。 标准化变量的回来方程中，截距总为 0。 标准化说明变量的回来系数 B*称之为 beta系数。beta 系数表示，标准化回来元每增加一个标准差，被说明标准化变量的均值将增加 B*倍的标准差。因此，与传统的双变量回来模型不同，这里度量的不是说明变量原给单位改变引起的被说明变量的变更量.而是与原始单位无关的标准化后的改变量。 假如说明变量不只一个，那么可以把每个变量都转化成标准化形式。 5.11函数形式小结 本章探讨了几种回来模型，都是参数线性的，但却不肯定是变量线性的。第 6 章虚拟变量回来模型 6.1虚拟变量的性质 到目前为止，在所考虑的线性回来模型中,说明变量都是数值变量或定量变量。但说明变量可能是定性变量，这类定性变量称为虚拟变量。把这些定性因素定量化的一个方法是建立人工变量，并赋值 0 和 1。 通常用符号 D 表示虚拟变量。 仅包含定性变量或虚拟变量的回来模型称为方差分析模型 ANOVA 变量取值为 0和 1，因此称 B2 为斜率是不合适的，这里没有(连续的)回来线。B2 称为差别截距系数， 它表示了两类截距值的差异。 若无差异则 B2 =0，用 OLS法依据 t检验判定 b2是否是统计显著的。 假如模型有共而的截距项 B1，且定性变量有 m种分类，则需引人(m-1)个虚拟变量。假如不符合这条原则，则会陷入虚拟变量陷阱，即完全共线性或多重共线性。 在经济探讨中，回来模型往往既包括定量说明变量，又包括定性说明变量。我们把这种回来模型称为协方差分析模型 ANCOVA。ANCOVA模型是 ANOVA 模型的扩展，在一个包括定性和定量说明变量的模型中，ANCOVA 模型能够反映定量说明变量(称为限制变量或协变量)的限制效果。假如从模型中去掉了协变量，则很可能导致模型设定误差。 6.2 ANCOVA 模型:包含一个定量变量、一个两分定性变量的回来 6.3包含一个定量变量、一个多分定性变量的回来 6.4包含一个定量变量和多个定性变量的回来 虚拟变量 D2i、D3i即两个虚拟变量的乘积，称为交互作用虚拟变量， 表示两个定性变量的联合或联立影响。 6.5比较两个回来 正如 B2 称为差别截距系数-样， B4 称为差别斜率系数，它表示了不同性别或两种分类下收人变量系数的差异。正如(B1+B2)给出了当 X=0 时，赋值为 1 的那类变量对应的 Y 的均值，(B3+ B4)给出了赋值为 1 的那类变量的斜率系数。 依据差别截距系数 B2 和差别斜率系数 B4 的统计显著性，可以辨别出模型函数是截距不同还是斜率不同，或是都不同。这里有四种可能性： a，回来的截距和斜率没有差异，即两类回来是相等的。称为一样回来。 b，两类回来的斜率系数相同，但截距不同。称为平行回来。 c，两类回来的截距相同，但斜率不同。称为并行回来。 d，两类回来的截距和斜率不同。称为相异回来。 6.7 应变量也是虚拟变量的情形:线性概率模型(LPM) Y 只能取两个值：0或 1 时，不能把斜率系数 B2 说明为单位 X 变动所引起的 Y 的变动率，此时的模型称为线性概率模型 LPM 。 当 Y 是二分变量时，用 OLS估计存在一些问题： 虽然 Y取值