2022高一数学不等式知识点总结.docx

2022高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小依次和运算性质的干脆应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：a-b0ab;a-b0ab。其一般步骤为：作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是常常运用的变形手段;推断：依据已知条件与上述变形结果，推断不等式两边差的正负号，最终确定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般运用差值比较法。(2)商值比较法的理论依据是：若a，bR+，a/b1ab;a/b1ab。其一般步骤为：作商：将左右两端作商;变形：化简商式到最简形式;推断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般运用商值比较法。2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最终推出所要证明的不等式，其特点和思路是由因导果，从已知看需知，逐步推出结论。其逻辑关系为：AB1B2 B3 BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。3.分析法分析法是指从需证的不等式动身，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是执果索因，即从未知看需知，逐步靠拢已知。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有，这只需证明B2为真，从而又有，这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告知我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清晰，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设AB，由题设及其它性质，推出冲突，从而确定AB。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有至多、至少、不存在、不行能等词语时，可以考虑用反证法。5.换元法换元法是对一些结构比较困难，变量较多，变量之间的关系不甚明白的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较困难，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法假如运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题转化为三角问题依据详细问题，实施的三角代换方法有：若x2+y2=1，可设x=cos，y=sin;若x2+y21，可设x=rcos，y=rsin(0r1);对于含有的不等式，由于|x|1，可设x=cos;若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=。(2)增量换元法：在对称式(随意交换两个字母，代数式不变)和给定字母依次(如abc等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。6.放缩法放缩法是要证明不等式A二、难点突破1.在用商值比较法证明不等式时，要留意分母的正、负号，以确定不等号的方向。2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思索，因为它方向明确，思路自然，易于驾驭;后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清楚，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，假如把只需证明等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探究的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法经常是不能分别的。假如运用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探究证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、相互渗透、相互转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。3.分析法证明过程中的每一步不肯定步步可逆，也没有必要要求步步可逆，因为这时仅需找寻充分条件，而不是充要条件。假如非要步步可逆，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能运用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，肯定要恰当地用好要证、只需证、即证、也即证等词语。4.反证法证明不等式时，必需要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出冲突。5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有肯定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要留意整体思想的应用。6.运用放缩法证明不等式时要把握好放缩的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要依据不等式的结构特点驾驭清晰。高一数学不等式公式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：(1) 对称性：abb(2) 传递性：若ab，bc，则ac;(3) 可加性：aba+cb+c;(4) 可乘性：ab，当c0时，acbc;当c0时，ac不等式运算性质：(1) 同向相加：若ab，cd，则a+cb+d;(2) 异向相减：，.(3) 正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。(4) 乘方法则：若ab0，nN+，则;(5) 开方法则：若ab0，nN+，则;(6) 倒数法则：若ab0，ab，则。2、基本不等式定理：假如，那么(当且仅当a=b时取=号)推论：假如，那么(当且仅当a=b时取=号)算术平均数;几何平均数;推广：若，则当且仅当a=b时取=号;3、肯定值不等式|x|0)的解集为：x|-a|x|a(a0)的解集为：x|xa或x-a。中学数学几何复习资料棱柱：(1)概念：假如一个多面体有两个面相互平行，而其余每相邻两个面的交线相互平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个相互平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。(2)分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，棱锥：(1)概念：假如一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点究竟面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。(2)分类：根据棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥(3)正棱锥的概念：假如一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。圆柱的概念：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。圆锥的概念：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体;圆台的概念：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分; 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页