现代控制工程整套教学课件.ppt

现代控制工程现代控制工程1Modern Control Engineering第第1章章 绪论绪论 3第1章 绪论：现代控制工程的发展1769年瓦特（年瓦特（J.Watt）发明）发明蒸汽机，提供动力；蒸汽机，提供动力；1788年年发明离心调速器，解决调速发明离心调速器，解决调速问题，加速了第一次工业革问题，加速了第一次工业革命的步伐。命的步伐。 随之而来的问题：调速随之而来的问题：调速器的不稳定问题。器的不稳定问题。瓦特瓦特4第1章 绪论：现代控制工程的发展1868年英国的麦克斯韦尔(J. C. Maxwell)发表“论调速器”论文，被公认为自动控制理论的开端。 20世纪50年代以前的控制理论一般称为经典控制理论，主要包括以微分方程、拉普拉斯变换为主要数学工具的时域法、频率法、根轨迹法等。麦克斯韦尔（麦克斯韦尔（J.C.MaxwellJ.C.Maxwell）5第1章 绪论：现代控制工程的发展6第1章 绪论：现代控制工程的发展19561956年，苏联庞特里亚年，苏联庞特里亚提出了极大值原理，解决提出了极大值原理，解决了发射人造卫星的火箭控了发射人造卫星的火箭控制问题，揭开了最优控制制问题，揭开了最优控制理论的序幕。理论的序幕。同年，美国贝尔曼提出了同年，美国贝尔曼提出了动态规划方法，便于用数动态规划方法，便于用数字计算机实现最优控制。字计算机实现最优控制。贝尔曼贝尔曼庞特里亚金庞特里亚金719581958年，美国惠特克等研制出第一个模型参考适应控年，美国惠特克等研制出第一个模型参考适应控制系统。卡尔曼提出递推估计的自动优化控制原理，制系统。卡尔曼提出递推估计的自动优化控制原理，解决了随机噪声干扰下的系统状态的估计问题，奠定解决了随机噪声干扰下的系统状态的估计问题，奠定了自校正控制器的基础。了自校正控制器的基础。19591959年，罗马尼亚波波夫提出超稳定性理论。年，罗马尼亚波波夫提出超稳定性理论。第1章 绪论：现代控制工程的发展81960年，卡尔曼引入状态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、最佳调节器和卡尔曼滤波等重要概念，奠定了现代控制理论的基础。1963年，中外学者提出极点配置基本定理。第1章 绪论：现代控制工程的发展卡尔曼91970年，英国年，英国UMIST的罗森布罗克的罗森布罗克(H. H. Rosenbrock)提出多变量频域法，提出多变量频域法，将经典控制理论中将经典控制理论中的频域方法推广到多变量系统，的频域方法推广到多变量系统，架起了现代控制理论架起了现代控制理论与经典控制理论的桥梁。与经典控制理论的桥梁。 控制理论是基于数学模型分析与设计系统，所以，如控制理论是基于数学模型分析与设计系统，所以，如何得到系统的数学模型成为控制理论应用的瓶颈问题。何得到系统的数学模型成为控制理论应用的瓶颈问题。1967年，瑞典阿斯特勒姆（年，瑞典阿斯特勒姆（K. J. Astrom）提出最小）提出最小二乘系统辨识方法，解决了线性定常系统的参数估计二乘系统辨识方法，解决了线性定常系统的参数估计和定阶问题。和定阶问题。 第1章 绪论：现代控制工程的发展1020世纪世纪80年代以来，计算机的快速更新换代极大地年代以来，计算机的快速更新换代极大地推动了控制理论的发展。推动了控制理论的发展。世界各国工业向着大型、连续、综合化发展，其构世界各国工业向着大型、连续、综合化发展，其构成的控制系统也变得越来越复杂。成的控制系统也变得越来越复杂。实际控制系统的复杂性可归纳为：实际控制系统的复杂性可归纳为：（1）对象复杂。）对象复杂。 （2）环境复杂。）环境复杂。 （3）任务复杂。）任务复杂。 第1章 绪论：现代控制工程的发展11第1章 绪论：现代控制工程的发展12系统的不确定性（对象和环境）是最困难的问题，系统的不确定性（对象和环境）是最困难的问题，也是对传统控制方法的最大挑战，导致了智能控制也是对传统控制方法的最大挑战，导致了智能控制策略的产生。策略的产生。自动控制与人工智能的结合产生了智能控制。自动控制与人工智能的结合产生了智能控制。提出的模糊逻辑控制、神经网络和专家控制三种典提出的模糊逻辑控制、神经网络和专家控制三种典型的智能控制为大多数人接受。型的智能控制为大多数人接受。分级递阶智能控制、仿人智能控制、学习控制以及分级递阶智能控制、仿人智能控制、学习控制以及遗传算法也有研究和应用。遗传算法也有研究和应用。复合控制模式是控制策略的发展方向。复合控制模式是控制策略的发展方向。第1章 绪论：现代控制工程的发展13智能控制是一门新兴的理论和技术，具有非常广泛的应用，例如智能机器人、智能过程控制、智能调度与规划、专家控制、智能故障诊断、智能仪器、医院监控、语音控制、飞行器控制及自动制造系统控制等。第1章 绪论：现代控制工程的发展洗衣机智能控制洗衣机智能控制电冰箱智能控制电冰箱智能控制14PID ISmith S解耦 D自适应 A变结构 V鲁捧 R预测 P模糊 F专家 E 神经 N遗传 GI S D A V R P F E N GI S D A V R P F E N GFI 模糊PIDEI 专家PIDFEI 模糊专家PIDSF Smith-模糊控制DF 多变量解耦模糊控制AF 自适应模糊控制AN 自适应神经网络控制FV 模糊变结构控制NV 神经网络变结构控制NI 神经网络PIDRN 鲁捧神经网络控制FP 模糊预测控制EF 专家模糊控制EN 专家神经网络控制FN 模糊神经网络控制FNV 模糊神经网络变结构控制FNA 模糊神经网络自适应控制FNE 模糊神经网络专家控制GF 遗传算法模糊控制GN 遗传算法神经网络控制传统控制现代控制智能控制自动控制人工智能信息论运筹学计算机生物学EP 专家预测控制复合控制模式是控制策略的发展方向。第1章 绪论：现代控制工程的发展15THE ENDModern Control Engineering第第 2 章章 状态空间数学模型状态空间数学模型 第2章 状态空间数学模型o 状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。o 本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。17第2章 状态空间数学模型o 2.1 状态与状态空间的概念状态与状态空间的概念 o 2.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型o 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换线性系统的状态空间模型与线性变换o 2.4 控制系统的实现控制系统的实现o 2.5 多变量系统的传递矩阵多变量系统的传递矩阵o 2.6 控制系统的离散状态空间模型控制系统的离散状态空间模型182.1 状态与状态空间的概念 o例：图例：图2.1所示弹簧所示弹簧-阻尼器系统阻尼器系统19o在外作用力在外作用力F(t)已知的情况下，如果已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。就能确定系统未来的动态响应。o如果仅知道物体的位移或速度，就如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。不能确定系统未来的动态响应。o物体的位移、速度及加速度这三个物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。于描述系统状态是多余的。o可选择物体在某一时刻的位移及速可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧度为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状阻尼器系统在某一时刻的状态。态。20是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。o系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为。o以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为。2.1 状态与状态空间的概念：以以 为起点，随着时间的为起点，随着时间的推移，推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X 2.2 系统的状态空间模型212.2.1 建立状态空间模型的方法建立状态空间模型的方法描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为程组称为状态方程状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为系的方程称为输出方程输出方程。系统的状态方程和输出方程组成系统的系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型状态空间模型，或称为动态方程。或称为动态方程。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。出模型更深入地揭示了系统的动态特性。22选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分，即是否完全决定了系统的状态。是否充分，即是否完全决定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数 。 选择状态变量一般有三条途径选择状态变量一般有三条途径(不限于不限于)： （1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；量； （2）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量（为系统独立储能元件的个数）；（为系统独立储能元件的个数）； （3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。为状态变量。2.2.1 建立状态空间模型的方法2.2.1 建立状态空间模型的方法23 例例2.1 建立图示质量建立图示质量-弹簧弹簧-阻尼器系统的状态空间模型。阻尼器系统的状态空间模型。 )(),(21tyxtyxfkFFFdtydM22dttdyftFtKytFfk)()()()(FMxMfxMKxxx1212211xy xAxBFyCx21xxxMfMKA10MB1001C选取状态变量为选取状态变量为 根据牛顿定律得根据牛顿定律得 系统的状态方程系统的状态方程 系统的输出方程为系统的输出方程为 状态空间表达式状态空间表达式 2.2.1 建立状态空间模型的方法24ixqx21,uqCdtdiLiRidtdq1uLiLRqLCdtdiidtdq11uLxLRxLCxxx1121221uLxxLRLCxx10110212121101xxCCxCqy例例2.2 2.2 建立图示建立图示RLCRLC网络的状态空间模型。网络的状态空间模型。 选取状态变量为选取状态变量为 根据电压电流定律得根据电压电流定律得 2.2.1 建立状态空间模型的方法25从上面例题可以看出：从上面例题可以看出：（1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）；一（但在相似意义下是唯一的）；（2）状态变量的个数一定；）状态变量的个数一定；（3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。也可以是不可测的量。很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。式的数学模型。 2.2.2 由状态空间模型求微分方程26如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。例例2.4 例例2.1所示弹簧所示弹簧-阻尼器系统的状态空间模型为阻尼器系统的状态空间模型为21xx FMxMfxMKx12121xy FMxMfxMKx1111 FMyMKyMfy1 微分方程为微分方程为 2.2.2 由状态空间模型求微分方程27例例2.5 对于例对于例2.2所示的所示的RLC网络，若选状态变量为电网络，若选状态变量为电感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为uLxLxLRx12111121xCx 2xy uLyLyLRCyC11 uyyRCyLC uyyy 121微分方程为微分方程为 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换28ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111duxcxcxcynn2211 ubbbxaaaaaaaaaxnnnnnnn21212222111211duxcccyn21BuAxxduCxy状态空间模型的一般表示式（状态空间模型的一般表示式（1） 2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型线性系统的状态空间模型2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型29多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111输出方程表示为输出方程表示为rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy221122112222121222212121212111121211112.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型30简记为简记为多输入多输出线性系统的状态方程矩阵形式为多输入多输出线性系统的状态方程矩阵形式为 ubbbbbbbbbxaaaaaaaaaxnrnnrrnnnnnn212222111211212222111211udddddddddxcccccccccymrmmrrmnmmnn212222111211212222111211BuAxxDuCxy2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型31多输入多输出系统的矩阵方框图多输入多输出系统的矩阵方框图 AByCx uDx图2.4 线性系统的一般结构2.3.3 状态方程的线性变换32状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。似意义下是唯一的。可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计。的标准型，从而简化系统的分析和设计。332.3.3 状态方程的线性变换设状态变量取为设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为时，系统的状态空间模型为)()()(tButAxtx)()(tCxty取线性变换取线性变换)()(txPtx)()(1txPtx系统的状态空间模型变换为系统的状态空间模型变换为 )()()(tuBtxAtxxCy xCPyBuxAPxPxCPyBuPxAPPx11CPCBPBAPPA,1111,PCCBPBPAPAP?第第5章介绍章介绍2.3.3 状态方程的线性变换34考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。|111APPPPAPPIAI|)(|111PAIPAPPIPP|111AIAIPPAIPPPAIP经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值是系统的不变量。以，一般称特征值是系统的不变量。2.3.3 状态方程的线性变换例例2.6 已知系统的状态方程为已知系统的状态方程为35uxxxxxx1006116100010321321取线性变换为取线性变换为321321941321111xxxxxx求变换后的系统的状态方程。求变换后的系统的状态方程。2.3.3 状态方程的线性变换36 解：取解：取941321111P5 . 05 . 111435 . 05 . 231P94132111161161000105 . 05 . 111435 . 05 . 231APPA30002000127819413215 . 05 . 111435 . 05 . 235 . 015 . 01005 . 05 . 111435 . 05 . 231BPBuxx5 . 015 . 03000200012.4 控制系统的实现372.4.1 系统的实现问题系统的实现问题系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构，系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来。内部结构确定下来。根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的，根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的，有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变量，得到输出与输入的关系式就行了。量，得到输出与输入的关系式就行了。由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现38不含有输入导数项的微分方程不含有输入导数项的微分方程的一般描述为的一般描述为buyayayaynnn01)1(1)(若将状态变量选为若将状态变量选为) 1(21nnyxyxyx)(13221nnnnyxxxxxxxbuyayayaynnn) 1(110)(buxaxaxaxnnn12110系统的状态方程为系统的状态方程为 392.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现表达为矩阵形式表达为矩阵形式buxaxaxaxxxxxxxnnnnn12110132211xy ubxxxaaaaxxxnnn00010001001021121021nxxxy210012.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现o 含有输入导数项的微分方程含有输入导数项的微分方程的一般描述为的一般描述为40ubububyayayaynnnnn01)(01) 1(1)(这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。 （1）方法一）方法一: 选取系统的状态变量为选取系统的状态变量为uhuhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnnnnnnnnnn12)2(1) 1(0) 1(112)3(1)2(0)2(2212102231011201 2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现41uhhhhxaaaaxnnn1211210100001000010uhxuhxy0010010121112103211211210111110bbbbbaaaaaaaaaahhhhhnnnnnnnnn2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现例例2.8 求系统的状态空间模型。求系统的状态空间模型。42uuuyyy 489385101410197358501973001900011410198001980019000113210hhhhyuhyx01uxuhxxuxuhxx522231112uxxxxxx3851980100010321321321001xxxy2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现 （2）方法二：基于方框图变换）方法二：基于方框图变换与微分方程等效的方框图进行等效变换。与微分方程等效的方框图进行等效变换。43图2.8 传递函数的串联分解)(sU01110111asasasbsbsbsbnnnnnnn)(sY)(sU01111asasasnnn)(sZ0111bsbsbsbnnnn)(sY(a)(b)2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现44取状态变量为取状态变量为引入中间变量引入中间变量z，则微分方程可化成下面两个方程表示，则微分方程可化成下面两个方程表示uzazazaznnn01) 1(1)(zbzbzbzbynnnn01) 1(1)(zx 1zx2zx 3) 1(,nnzxuzazazazxnnnn01) 1(1)(uxaxaxann12110所以，状态方程为所以，状态方程为uxaxaxaxxxxxxxnnnnn1211013221uxaaaaxn1000100010010121002.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现o 输出方程为输出方程为45)(1211012110uxaxaxabxbxbxbynnnnnubxaaabxbbbnnnn110110这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义。这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义。例例2.9 求系统的状态空间实现。求系统的状态空间实现。uuuyyy 489uxx100980100010 xy141解解 2.5 多变量系统的传递矩阵o 2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念多变量系统传递矩阵的概念o 对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成了一个都用一个传递函数描述，这些传递函数构成了一个矩阵，称为传递矩阵。矩阵，称为传递矩阵。46)()()(sUsYsGijji由于线性系统满足叠加原理，由于线性系统满足叠加原理，所以，系统的各个输出分别为所以，系统的各个输出分别为)()()()()()()()()()()()()()(2222121212121111sUsGsUsGsUsGsYsUsGsUsGsUsGsYrrrr)()()()()()()(2211sUsGsUsGsUsGsYrmrmmm2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念表示为矩阵形式表示为矩阵形式47)()()()()()()()()()()()()()()(2121222211121121sUsUsUsGsGsGsGsGsGsGsGsGsYsYsYrmrmmrrm传递矩阵定义为传递矩阵定义为 )()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGmrmmrr)()()(sUsGsY2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵从状态空间模型求传递矩阵o 设设MIMO线性定常系统的状态空间模型为线性定常系统的状态空间模型为48BuAxxDuCxy)()()0()(sBUsAXxssX)()()(sDUsCXsY)0()()()(xsBUsXAsI)0()()()()(11xAsIsBUAsIsX)0()()()()()(11xAsICsDUsBUAsICsY)0()()()(11xAsICsUDBAsICDBAsICsG1)()(传递矩阵为传递矩阵为2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵从状态空间模型求传递矩阵32122112xxxyxxy49例例2.10 已知系统状态空间模型，求传递矩阵。已知系统状态空间模型，求传递矩阵。232132132121261162uxxxxuuxxuxx0,112011,201201,6116100010DCBA1417352564432946116120120161161001112011)(2222231sssssssssssssssG2.5.3 多变量控制系统的结构图简化50)(sG)(sR)(sC)(sH)(sE图2.23 多变量反馈系统结构图)()()()()()()(sCsHsRsEsEsGsC)()()()()(sCsHsRsGsC)()()()()()()()()()()(sRsGsCsHsGIsRsGsCsHsGsC)()()()()(1sRsGsHsGIsC)()()()(1sGsHsGIs系统的传递矩阵为系统的传递矩阵为 512.6 控制系统的离散状态空间模型设线性定常系统的差分方程描述为设线性定常系统的差分方程描述为)()() 1() 1()(0011kubkyakyankyankyn若状态变量选择为若状态变量选择为 )()(1kykx) 1()(2kykx) 1()(nkykxn)(000)()()()(100001000010) 1() 1() 1() 1(01211210121kubkxkxkxkxaaaakxkxkxkxnnnnn)()()(00121kxkxkxyn522.6 控制系统的离散状态空间模型当差分方程中含有输入量的差分项时，类似于连续状态当差分方程中含有输入量的差分项时，类似于连续状态空间模型中的方法，状态变量可以选择为空间模型中的方法，状态变量可以选择为)()()(1kubkykxn)() 1()(112kuhkxkx)() 1()(11kuhkxkxnnn)()()()()(100001000010) 1() 1() 1() 1(1211211210121kuhhhhkxkxkxkxaaaakxkxkxkxnnnnnnn)()()()(001)(21kubkxkxkxkynn2.6 控制系统的离散状态空间模型53例例2.12 已知系统的差分方程，求离散状态空间模型。已知系统的差分方程，求离散状态空间模型。)(3) 1()2(2)3()() 1(3)2(4)3(kukukukukykykyky21423221babh6) 2(4131)(123112hababh1664) 2(3113)(22113003hahababh)(1662)()()(431100010) 1() 1() 1(321321kukxkxkxkxkxkx)()()()(001321kukxkxkxy2.6 控制系统的离散状态空间模型541z)(ku)(ky-161z1z-4-3-16-2)(1kx)(2kx)(3kx图3.11 离散系统结构图552.8 本章小结状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。关系的方程称为输出方程。状态变量可以选择：系统中储能元件的输出物理量、输出变量状态变量可以选择：系统中储能元件的输出物理量、输出变量及其阶导数、使状态方程成为某种标准形式的变量。及其阶导数、使状态方程成为某种标准形式的变量。状态变量的选择不唯一，但个数一定。状态变量可以是有明显状态变量的选择不唯一，但个数一定。状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量；可以是可测物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量；可以是可测量，也可以是不可测量。状态方程不唯一，在相似意义下唯一。量，也可以是不可测量。状态方程不唯一，在相似意义下唯一。消除状态空间模型中的状态变量，可得到系统的微分方程描述。消除状态空间模型中的状态变量，可得到系统的微分方程描述。状态方程可以通过线性变换得到状态方程的其他形式。状态方程可以通过线性变换得到状态方程的其他形式。562.8 本章小结由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型，通常称为系统的实现问题。数学模型，通常称为系统的实现问题。对于不含有输入导数项的微分方程，取输出变量及其对于不含有输入导数项的微分方程，取输出变量及其n-1阶导阶导数作为状态变量可以得到状态空间模型实现。数作为状态变量可以得到状态空间模型实现。对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成的矩阵称为传递矩阵。递函数描述，这些传递函数构成的矩阵称为传递矩阵。除第除第i个输入外，设其余输入均为个输入外，设其余输入均为0，且在零初始条件下，第，且在零初始条件下，第j个个输出的拉氏变换与第输出的拉氏变换与第i个输入的拉氏变换之比，定义为第个输入的拉氏变换之比，定义为第i个输入个输入和第和第j个输出之间的传递函数，记为个输出之间的传递函数，记为从状态空间模型求传递矩阵：从状态空间模型求传递矩阵：差分方程（差分方程（2.54）的离散状态空间模型为式（）的离散状态空间模型为式（2.55）。）。)(sGji)()()()(1sGsHsGIsTHE END57Modern Control Engineering第第3章章 控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析 第3章 控制系统稳定性分析o 系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。稳定性是控制系统最基本的性质。o 本章首先介绍李雅普诺夫稳定性定义和系统稳本章首先介绍李雅普诺夫稳定性定义和系统稳定的条件，然后介绍李雅普诺夫稳定判据和非定的条件，然后介绍李雅普诺夫稳定判据和非线性系统的克拉索夫斯基稳定判据。最后简要线性系统的克拉索夫斯基稳定判据。最后简要介绍非线性系统的小偏差线性化和李雅普诺夫介绍非线性系统的小偏差线性化和李雅普诺夫第一法。动态特性。第一法。动态特性。59第3章 控制系统稳定性分析o 3.1 控制系统稳定性定义控制系统稳定性定义 o 3.2 控制系统稳定的条件控制系统稳定的条件o 3.3 李雅普诺夫稳定判据李雅普诺夫稳定判据o 3.4 线性系统的李雅普诺夫稳定判据线性系统的李雅普诺夫稳定判据603.1 控制系统稳定性定义 o当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况之一：系统的响应可能出现下列情况之一：(1)系统的自由响应是有界的；系统的自由响应是有界的；(2)系统的自由响应是无界的；系统的自由响应是无界的；(3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。o李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近稳定的。近稳定的。o如系统不稳定，则系统响应是无界的，或者进入振荡状态。因如系统不稳定，则系统响应是无界的，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。此，系统稳定是系统正常工作的首要条件。o李雅普诺夫用范数作为状态空间李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度尺度”的度量。作为预备知的度量。作为预备知识，下面首先介绍范数的概念。识，下面首先介绍范数的概念。6162o范数的定义有很多种。下面介绍常用的欧氏范数，范数的定义有很多种。下面介绍常用的欧氏范数，它是二维、三维空间中长度概念的推广。它是二维、三维空间中长度概念的推广。o1. 向量的范数向量的范数n维向量空间的范数定义为维向量空间的范数定义为o2. 矩阵的范数矩阵的范数 3.1.1 范数的概念22221nxxxxnmmnmmnaaaaaaA2111211 njmiijaA1123.1.2 平衡状态63系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到系统没有输入作用时，处于自由运动状态，当系统到达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，达某一状态，并且维持在此状态而不再发生变化时，这样的状态称为系统的平衡状态。这样的状态称为系统的平衡状态。连续系统连续系统 平衡状态是满足平衡方程平衡状态是满足平衡方程 的的系统状态。离散系统系统状态。离散系统 的平衡状态的平衡状态 ，是，是对所有的对所有的k，都满足平衡方程，都满足平衡方程 的系统状态。的系统状态。当当A非奇异时，线性系统只有一个平衡状态非奇异时，线性系统只有一个平衡状态当当A奇异时，线性系统有无穷多个平衡状态。奇异时，线性系统有无穷多个平衡状态。非线性系统可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可非线性系统可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。以由平衡方程解得。)(xfx 0)(exf)() 1(kxfkxex),(kxfxee0ex64例例3.1 求下列非线性系统的平衡状态求下列非线性系统的平衡状态3.1.2 平衡状态3221211xxxxxx解解 由平衡状态定义，平衡状态应满足由平衡状态定义，平衡状态应满足01ex03221eeexxx0322eexx0)1)(1(222eeexxx因此，该系统有三个平衡状态：因此，该系统有三个平衡状态： Tex001Tex102Tex1033.1.3 李雅普诺夫稳定性定义65 1892年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义。年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义。（1）稳定：如果对于任意给定的每个实数）稳定：如果对于任意给定的每个实数 ，都对应存在，都对应存在着另一实数着另一实数 ，使得从满足，使得从满足 的任意的任意初态出发的系统响应，在所有的时间内都满足初态出发的系统响应，在所有的时间内都满足 ，则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 是稳定的。若是稳定的。若 与与 的选取无关，则的选取无关，则称平衡状态是一致稳定的。称平衡状态是一致稳定的。00),(0t),(00txxeexxex0tS( )S( )x2x1xe x0 x李氏稳定李氏稳定系统响应有界系统响应有界663.1.3 李雅普诺夫稳定性定义（2）渐近稳定：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且）渐近稳定：若平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当当 时，时， ，即，即 ，则称平衡状态渐近稳定。，则称平衡状态渐近稳定。（3）大范围（渐近）稳定：如果对任意大的）大范围（渐近）稳定：如果对任意大的 ，系统总是稳定，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统总是渐近稳的，则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。定的，则称系统是大范围渐近稳定的。textx)(0)(limetxtxx0 x1xeS( ) S( )xx2系统响应有界且系统响应有界且收敛于平衡状态收敛于平衡状态经典控制理论中的稳定经典控制理论中的稳定等价于李氏渐近稳定等价于李氏渐近稳定673.1.3 李雅普诺夫稳定性定义（4）不稳定：如果对于某一实数）不稳定：如果对于某一实数 ，不论，不论 取多取多小，由小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定。称平衡状态为不稳定。0)(s系统响应无界系统响应无界683.1.3 李雅普诺夫稳定性定义注意：注意：1 1、大范围渐近稳定要求从状态空间中的所有大范围渐近稳定要求从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于点出发的轨迹都要收敛于x xe e，因此这类系统只能有一，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件必要条件。 2 2、当当A A为非奇异的，则线性定常系统只有唯为非奇异的，则线性定常系统只有唯一的平衡状态一的平衡状态x xe e = 0= 0。所以。所以若其是渐近稳定的，则一若其是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的