高等数学教案.docx

高等数学教案 - xn-1 , xn， A=DA1+DA2+L+DAn， Dxi=xi-xi-1 (i=1 , 2 , L , n).在每个小区间xi-1 , xi上任取一点xi， DAi»f(xi)×Dxi， A»åf(xi)Dxi. i=1nl=maxDx1 , Dx2 , L , Dxn.A=limåf(xi)Dxi. l®0i= 1-高等数学教案 - n2.变速直线运动的路程: 设速度v=v(t)是时间间隔T1 , T2上t的连续函数， 路程记为s.把区间T1 , T2分成n个小区间: ， t0 , t1 tn-1 , tn，t1 , t2，s=Ds1+Ds2+L+Dsn， Dti=ti-ti-1 (i=1 , 2 , L , n).在每个小区间ti-1 , ti上任取一点ti， Dsi»v(ti)×Dti， -高等数学教案 - s»åv(ti)Dti.i=1nl=maxDt1 , Dt2 , L , Dtn.s=limåv(ti)Dti.l®0i=1n3.定积分定义: 设y=f(x)在a , b上有界.把区间a , b分成n个小区间: ，x1 , x2，x0 , x1 xn-1 , xn， -高等数学教案 - Dxi=xi-xi-1 (i=1 , 2 , L , n).在每个小区间xi-1 , xi上任取一点xi， åf(xi)Dxi.i=1nl=maxDx1 , Dx2 , L , Dxn. 假如 limåf(xi)Dxi l®0i=1n存在，且此极限不依靠于对区间a , b的分法和在xi-1 , xi上 -高等数学教案 - 则称此极限为f(x)xi点的取法，在a , b上的定积分，记为 f(xi)Dxi.åòaf(x)dx=liml®0bi=1n留意：定积分ò af(x)dx只与被积函数f(x)积分区间a , b有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即 bò af(x)dx=ò af(t)dt=ò af(u)du b b b.4.(必要条件).假如f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上 -高等数学教案 - 有界. 5.(充分条件): 假如f(x)在a , b上连续，则f(x)在a , b上可积.假如f(x)在a , b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a , b上可积.6.定积分的几何意义： 假如f(x)在a , b上连续，且f(x)³0，则 bò af(x)dx=s (S是曲边梯 -高等数学教案 - 形的面积).假如f(x)在a , b上连续，且f(x)£0，则 bò af(x)dx=-s (S是曲边梯形的面积). 假如f(x)在a , b上连续，且f(x)的值有正有负，则 bò af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积. 7.规定: -高等数学教案 - 当a=b时，ò af(x)dx=0. a>b 当时， baò af(x)dx=-òbf(x)dx.7.定积分的性质： òf(x)±g(x)dx=òf(x)dx±òg(x)dx. b bò akf(x)dx=kò af(x)dx. b c bò af(x)dx=ò af(x)dx+ò cf(x)dx.假如在a , b上f(x)º1，则 b bò a1dx=ò adx=b-a. b b b b a a a -高等数学教案 - 假如在a , b上f(x)³0，则 bò af(x)dx³0.假如在a , b上f(x)£g(x)，则 b bò af(x)dx£ò ag(x)dx， ò af(x)dx£ò af(x)dx. b b设m£f(x)£M，则 bm(b-a)£ò af(x)dx£M(b-.(积分中值定理) 假如f(x) -高等数学教案 - 在a , b上连续，则在a , b上至少存在一点x，使得 bò af(x)dx=f(x)×(b-a).证:由于f(x)在a , b上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得 m£f(x)£M， bm(b-a)£ò af(x)dx£M(b-a)， f(x)dxò am££M， b-a -高等数学教案 - b故在a , b上至少存在一点x，使得 bò af(x)dx=f(x) b-a即 bò af(x)dx=f(x)×(b-a). b1称为在f(x)dxf(x)ò ab-aa , b上的平均值.P23511.证: 对随意实数l，有 12ò 0l-f(x)dx³0， 1 122l-2lò 0f(x)dx+ò 0f(x)dx³0 -高等数学教案 - ， 所以 12 12D=4ò 0f(x)dx-4ò 0f(x)dx£0， 即 ò 0f(x)dx³ò 0f(x)dx.练习1.设f(x)在a , b上连续， 且f(x)>0，证明: 12 121ò af(x)dxò af(x)dx³(b-a) b b.§5.2微积分基本公式 1.积分上限的函数(变上限 -高等数学教案 - 积分): f(x)在a , b上连续，称 xF(x)=ò af(t)dt xÎa , b 为积分上限的函数. 2.假如f(x)在a , b上连续， x则F(x)=ò af(t)dt可导，且 xdF¢(x)=f(t)dt=f(x)ò adx. x例1.求F(x)=ò 0tsintdt的导数. 解: F¢(x)=xsinx . -高等数学教案 - sintdtòsinx 0例2.lim =lim2x®0x®02xx1=.2 x例3.tedtò=lim xx®+¥xe2x®+¥ x2 0t2elim-x2tedtòx x2 0t2x=limx®+¥(1+2 x=limx®+¥1+ 2-高等数学教案 - ¢ 3.ò f(x)f(t)dt =fy(x)y¢(x)-ff(x)f¢(x) y (x)1=.2. x+bd 例4.ò x+af(t)dt dx=f(x+b)-f(x+a). 例 15.(ò xedt)¢=e×-e×2x xx=1-2xe. lnx2tlnxx22 -高等数学教案 - 例6.设f(x)在a , b上连续，且单调增加，证明: x1 F(x)=f(t)dtò ax-a在(a , b内单调增加.证: 当xÎ(a , b)时， f(x)(x-a)-ò af(t)dtF¢(x)= 2(x-a)f(x)(x-a)-f(x)(x-a)=2(x-a) x f(x)-f(x)=(x-a) -高等数学教案 - (a<x<x).由于f(x)在a , b上单调增加，而a<x<x，所以 f(x)-f(x)F¢(x)=>0， (x-a)故F(x)在(a , b内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿莱布尼茨公式): 假如f(x)在a , b上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则 bò af(x)dx=F(b)-F(a)=F(. -高等数学教案 - 为F(x)、xF(x)=ò af(t)dt都是f(x)的原函数，所以F(x)=F(x)+C.由于 F(a)=F(a)+C， aF(a)=ò af(t)dt=0， 得 C=-F(a)， F(x)=F(x)-F(a)， F(b)=F(b)-F(a)， b即 F(b)=ò af(x)dx =F(b)-F(a) =F(x). ba -高等数学教案 - 证: 因 -1 1例7.ò -2dx=lnx-2 x=ln1-ln2 =-ln2. -1 例 2 1 28.ò 01-xdx=ò 0(1-x)dx+ò 1(x-1)dx 221xx=(x-)0+(-x)22 =1.例9.设 ìx , xÎ0 , 1) , f(x)=íîx , xÎ1 , 2 , -高等数学教案 - 2求F(x)=ò 0f(t)dt在0 , 2上的表达式. x解(x)=ìíò x2 0tdt , xÎ0 , 1)îò 12dt+ò x 0t 1tdt , xÎ1 ,ìx3 , =ïí3ïî13+12(x2-1) , ìx3 =ï, í3ïî1 2 -高等数学教案 6 , - : 2 xÎ0 ,xÎ1 , 2xÎ0 , xÎ1 , 2F 例10.求 x f(x)=ò0tdt 在(-¥ , +¥)上的表达式. ìò0-tdt , x<0解: f(x)=íx tdt , x³0òî02ì-x , x<0ï2 =í2xï , x³0 .î2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法 -高等数学教案 - 1.定积分的换元法: bbò af(x)dx x=f(t) òaff(t)f¢( 其中f(x)连续，f(t)有连续的导数，a=f(a)，b=f(b)，. 例1.ò 0 4x+2dx 2x+11t2+32 32t-12 x= ò 1 tdt 2t 321=ò 1 (t+3)dt 2331t=(+3t)1 2 3-高等数学教案 - 例 例 =223.2.ò 1dx 34 1-x-1 x=-(t2+2t) ò -1-(2t+2) -12 t=-2ò -112+1 - (1t)dt =-2(t+lnt)-1-12 =1-2ln2.3.2ò 111-x 2 x2dx x=sint ò pcost p24 -高等数学教案 - sin2tcostdt 2p 例 =ò2 p cottdt 4=ò p2 (csc2 pt-1)dt 4=(-cott-t)p2p 4=1-p4.ò p5 02sinx×cosxdx =-ò p5 02cosxdcosx =(-16p6cosx)20 =16. -高等数学教案 - 4. 例5.ò 0x(2-x)dx 12421=-ò 0(2-x)d(2-x)2 25111 =-(2-x)0 2531 =.102.设f(x)在-a , a上连续且为偶函数，则 a aò -af(x)dx=2ò 0f(x)dx. 证: a 0 aò -af(x)dx=ò -af(x)dx+ò 0f(x)dx. 12 4-高等数学教案 - ò -af(x)dx x=-t ò af(-t)(- 0 0 =-ò af(t)dt =ò 0f(t)dt =ò 0f(x)dx. a a 0所 以 a a aò -af(x)dx=ò 0f(x)dx+ò 0f(x)dx =2ò 0f(x)dx. a3.设f(x)在-a , a上连续且 a为奇函数，则 ò -af(x)dx=0. xsinxdx. 例6.求ò -242x+3x+1 2 -高等数学教案 - 32xsinx解: 由于f(x)=42x+3x+132是 2奇3函2数，所以 xsinxdx=0.ò -242x+3x+1例7.求 2 1sinx+(arctanx).dxò -121+x解: 原式 2 1sinx 1(arctanx).=ò -1dx+dxò22 -11+x1+xsinx由于f(x)=2是奇函数， 1+x -高等数学教案 - 以 (arctanx)是偶函数，所g(x)=21+x(arctanx)原式=0+2ò 0 dx21+x 12=2ò 0(arctanx)d(arctanx) 122 312=(arctanx)0 332p=() 3496例8.设f(x)在0 , a上连续， -高等数学教案 - p.=3证明: ò 0f(x)dx=ò 0f(a-x)dx. a a证ò 0f(x)dx 0 x=a-t ò af(a-t)(-dt) a: =-ò af(a-t)dt =ò 0f(a-t)dt =ò 0f(a-x)dx. a 0 a 例9.若f(x)在0 , 1上连续，证明: òf(sinx)dx= -高等数学教案 - p2 0òf(cosx)dx.2 0p 证: òf(sinx)dx p x=-t 2 p2 0f(cost)(-dò p2 0 =òf(cost)dt p2 0=òf(cosx)dx. p2 0 例10.若f(x)在0 , 1上连续，证明: ò 0xf(sinx)dx= pp.f(sinx)dxò 02 p -高等数学教案 - 证: ò 0xf(sinx)dx 0 x=p-t ò p(p-t)f(sint) p =ò 0(p-t)f(sint)dt =pò 0f(sint)dt-ò 0tf(sint)dt =pò 0f(sinx)dx-ò 0xf(sinx)dx. p p p p p解ò 0 p得 .f(sinx)dxò 02例11.若f(x)为连续函数， ppxf(sinx)dx= -高等数学教案 - 且òef(x-t)dt=xe，求f(x)的表达式. xt证: ò 0ef(x-t)dt xt 0x t=x-u ò xe 0x-uf(u)(-du) =-eòef(u)du x x-u=eò 0ef(u)du. -ux 0 x所以eòef(u)du=xe，得 x-uò 0ef(u)du=x.将上式两边对x求导数，得 -x ef(x)=1， x x 0-ux -高等数学教案 - 即 f(x)=e.4.定积分的分部积分法: x ò auv¢dx=(uv)-ò au¢vdx. bba b 例12.ò 1lnxdx=(xlnx)-ò 1dx 5=5ln5-x1 5515=5ln5-4. 例13.ò 0xedx=(xe)-ò 0edx x1=e-e0 1xx10 1x=1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明: -高等数学教案 - ò af(x)dx=ò 0f(x)dx 其中a为常数. a+T T证: ò a 0 a+Tf(x)dx= T a+Tò af(x)dx+ò 0f(x)dx+ò T a+Tò Tf(x)dx af(x)dx x=u+T ò 0f(u+T)du =ò 0f(u)du =ò 0f(x)dx =-ò af(x)dx. 0 a a所以 ò a a+T 0f(x)dx= T 0ò af(x)dx+ò 0f(x)dx-ò af(x)dx -高等数学教案 - =ò 0f(x)dx. T例15.设f(x)在(-¥ , +¥)上连续，证明: 1limòf(x+h)-f(x)dx=f(b)-f(a) bh®0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则 b1limòa f(x+h)-f(x)dx h®0hF(x+h)-F(x)=lim h®0hF(b+h)-F(b)=limh®0hF(a+h)-F(a) -limh®0h -高等数学教案 - ba=F¢(b)-F¢(a) =f(b)-f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: 设f(x)在a , +¥)上连续，存在，f(x)dxt>a，假如tlimò a®+¥则称反常义积分ò af(x)dx收敛，且 +¥t ò af(x)dx=tlim.f(x)dxò a®+¥ +¥t否则称反常积分ò af(x)dx发散. +¥ -高等数学教案 - 设f(x)在(-¥ , b上连续，t<b，假如limòtf(x)dx存在， t®-¥b则称反常义积分ò-¥f(x)dx收敛，且 b ò-¥f(x)dx=tlim.f(x)dxò®-¥tb b否则称反常积分ò-¥f(x)dx发散.设f(x)在(-¥ , +¥)上连 0 +¥续，假如ò -¥f(x)dx与ò 0f(x)dx都收敛，则称反常积分 +¥ò -¥f(x)dx收敛，且 b -高等数学教案 - ò -¥f(x)dx +¥=ò -¥f(x)dx+ò 0f(x)dx. 0 +¥否则称反常积分ò -¥f(x)dx发散. 2.引入记号: +¥F(+¥)=limF(x)， x®+¥F(-¥)=limF(x). x®-¥若在a , +¥)上F¢(x)=f(x)，则当F(+¥)存在时， +¥ò af(x)dx=F(+¥)-F(a) =F(x). +¥a -高等数学教案 - 若在(-¥ , b上F¢(x)=f(x)，则当F(-¥)存在时， bò-¥f(x)dx=F(b)-F(-¥) =F(x). b-¥若在上(-¥ , +¥)F¢(x)=f(x)，则当F(+¥)与F(-¥)都存在时， +¥ò-¥f(x)dx=F(+¥)-F(-¥) =F(x). +¥-¥例1.推断反常积分 +¥-xò 0xedx 2-高等数学教案 - 是否收敛，若收敛求其值. -x+¥1解: 原式=(-e)0 2-x11 =xlim(-e)+ ®+¥221 =.2 例2.推断反常积分 -1ò -¥cosxdx 22的敛散性.解: 原式=(sinx) -1-¥=sin(-1)-limsinx. x®-¥sinx不存在，由于xlim所以反®-¥ -高等数学教案 - 常积分ò -¥cosxdx发散.例3.探讨反常积分 -1ò +¥1 1xadx .解:ò +¥1 1xadx ì(lnx)+¥=ï1 , íïî(11-a+¥1-ax)1 -高等数学教案 - a=1 a¹1的敛散性 , ìï+¥ , a=1=ïí+¥ , a<1 ïïîa1-1 , a>1ò +¥1 1xadx，当aa£1时发散. 例4.推断反常积分 ò +¥1 -¥1+x2dx .解: ò +¥1 -¥1+x2dx -高等数学教案 - >1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 =(arctanx)0-¥+(arctanx)+¥0 pp=+ 22=p.ò 1 +¥ 例5.推断反常积分 1dx 2x+x +¥的敛散性. 1dx解: ò 1 2x+x +¥11=ò 1(-)dx x1+x+¥=lnx-ln(1+x)1 -高等数学教案 - +¥x=ln1 1+xx1=limln-ln x®+¥1+x2=ln2 . 3.假如f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点. 4.无界函数的反常积分(瑕积分): 设f(x)在(a , b上连续，点a为f(x)的瑕点，t>a.假如limòtf(x)dx存在，则称反常积t®a+ -高等数学教案 - b分ò af(x)dx收敛，且 b ò af(x)dx=limòtf(x)dx. b bt ®a+否则称反常积分ò af(x)dx发散.设f(x)在a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，t<b.假如 blimòaf(x)dx存在，则称反常积t®b-t分ò af(x)dx收敛，且 b ò af(x)dx=limòaf(x)dx. btt ®b-否则称反常积分ò af(x)dx发散.设f(x)在a , b上除点c (a<c<b)外连续，点c为f(x)的 b -高等数学教案 - 瑕点.假如两个反常积分 b cò af(x)dx、ò cf(x)dx都收敛，则 b称反常积分ò af(x)dx收敛，且 b c bò af(x)dx=ò af(x)dx+ò cf(x)dx. b否则称反常积分ò af(x)dx发散. 5.引入记号: 设F(x)为f(x)在(a , b上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则 bò af(x)dx=F(b)-limF(x) x®a+=F(x). ba -高等数学教案 - 设F(x)为f(x)在a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则 bò af(x)dx=limF(x)-F(a) x®b-=F(x). ba 例6.推断反常积分ò 0lnxdx的敛散性. 1解:ò 0lnxdx=(xlnx)-ò0dx 1101=0-lim(xlnx)-x x ®0+10=-1. -高等数学教案 - 1例7.探讨反常积分ò 0adxx 1的敛散性.解: ò 11 0xadx ì(lnx)10 , a=1=ïíïî(1-11-a1 ax)0 , a¹1 ìï0-limx ®0+lnx , =íï1-lim ®0+(1-1ax1-aî1-ax) -高等数学教案 - a=1 a¹1 , ì1 , a<1ï1-aï=í+¥ , a=1 ï+¥ , a>1ïî 11所以反常积分ò 0adx，当a<1x时收敛，当a³1时发散. 11 例8.推断反常积分ò -12dxx的敛散性.1解: ò -12dx x 01 11=ò -12dx+ò 02dx xx 1 -高等数学教案 - 高等数学教案 高等数学教案12 高等数学教案ch 8.48.8 高等数学教案ch 9 重积分 高等数学教案ch 11 无穷级数 高等数学教案ch 8.2 偏导数 高等数学上教案 高等数学 高等数学 高等数学 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第23页 共23页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页第 23 页 共 23 页