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高中数学说题 中学数学说题 “老师说题”是近年来新兴的一项教研活动。概括地说：“说题”是指执教者在细心做题的基础上，阐述对题目解答时所采纳的思维方式、解题策略及依据，进而总结出阅历性解题规律。说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将老师的“教”、学生的“学”与探讨“考试命题”三者结合。开展说题活动能促进老师加强对试题的探讨，从而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。 “说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，干脆进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。 一、“说题”要注意“题”的选择 美国数学家哈尔斯说：“问题是数学的心脏”。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。老师教的“有效”要通过“好题”的深化浅出，落实学生学的“有效”。说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“专心用题去教”。因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应当是“一只产金蛋的母鸡”。 二、“说题”之“五说” 老师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学观点上看说题”。我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。即一说“题目立意”、二说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。 说 题 稿 东北育才学校 王成栋 问题出处：2022年高考数学辽宁理科第21题 已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x （I）探讨f(x)的单调性； 111时，f(+x)>f(-x)； aaa（III）若函数y=f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明： （II）设a>0，证明：当0<x<f'(x0)<0 说题目立意 （1）考查求导公式（包括形如f(ax+b)的复合函数求导）及导数运算法则； （2）考查对数的运算性质； （3）导数法推断函数的单调性； （4）考查用构造函数的方法证明不等式； （5）考查分类探讨、数形结合、转化划归思想。 说解法 （）解：f(x)的定义域为(0,+¥)， （解决函数问题，定义域优先的原则） f¢(x)=1(2x+1)(ax-1) -2ax+(2-a)=-.（常见函数的导数公式及导数的四则运算）xx（）若a£0,则f(x)>0，所以f(x)在(0,+¥)单调递增； '1， a11''当xÎ(0,)时，f(x)>0，当xÎ(,+¥)时，f(x)<0（导数法探讨函数单调性，涉aa（）若a>0,则由f(x)=0得x='及分类探讨的思想） 11f(x)在(0,)单调递增，在(,+¥)单调递减.aa综上，当a£0时，f(x)在(0,+¥)单调递增； 1 1当a>0时，f(x)在(0,)单调递增，在(,+¥)单调递减. aa归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽视函数的定义域，易错点二是分类探讨的分类标准的选取。 （II）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造 11的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“f(+x)>f(-x)”的不等式叫二元的不等 aa式，二元不等式的证明主要采纳“主元法”。 解析：方法一：构建以x为主元的函数 11+x)-f(-x), （构造函数体现划归的思想） aa则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，（这是本题的难点，许多学生不知要吧g(x)朝何方设函数g(x)=f(象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有 利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需驾驭f(ax+b)型。） aa2a3x2g(x)=+-2a= （f(ax+b)型的复合函数求导） 221+ax1-ax1-ax1当0<x<时,g¢(x)>0,而g(0)=0,所以g(x)>0.a111故当0<x<时，f(+x)>f(-x).aaa方法二：构建以a为主元的函数 11设函数g(a)=f(+x)-f(-x)，则 aag(a)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax 'xx2x3a2g(a)=+-2x= 221+ax1-ax1-ax11由0<x<，解得0<a< ax1'当0<a<时，g(a)>0，而g(0)=0，所以g(a)>0 x111故当0<a<，f(+x)>f(-x). xaa'归纳小结：无论是方法一还是方法二都采纳了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。 x1+x21与的大小2a22关系，又可等效成推断-x1与x2的大小关系，依据（）中不等式可确定f(-x1)与 aaf(x2)的大小关系，结合（）中f(x)单调性，问题迎刃而解。 解：由（I）可得，当a£0时,函数y=f(x)的图像与x轴至多有一个交点， 11故a>0，从而f(x)的最大值为f(),且f()>0. aa1不妨设A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则0<x1<<x2. （结合图象分析更便利） a211由（II）得f(-x1)=f(+-x1)>f(x1)=f(x2) （留意前后两问的连接） aaa1又f(x)在(,+¥)单调递减 ax+x212所以x2>-x1,于是x0=1 >. （利用函数性质脱掉函数符号）a2a由（I）知，f¢(x0)<0. （）分析：推断f(x0)的正负，由（）中单调性，可知，即确定'归纳小结：本小问解决主要是建立在第（）（II）问的基础之上的，分析问题中留意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生原委用了什么方法，须要学生要对所学过的学问、方法要做到完全融会贯穿，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合实力的体现。 说数学思想方法 数学思想：（1）分类探讨思想 （2）转化划归思想 （3）数形结合思想 数学方法 ：（1）导数法确定函数单调性 （2）构造函数法证明不等式 说试题背景来源 我认为，2022年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处：一方面来源于0 9、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与0 9、10年辽宁理科21题对比分析： 20092022年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。 首先从题干上分析： 12x-ax+(a-1)lnx,a>1 2210年辽宁省理科21题题干： f(x)=(a+1)lnx+ax+1 09年辽宁省理科21题题干：f(x)=11年辽宁省理科21题题干：f(x)=lnx-ax2+(2-a)x 这三年都以f(x)=g(x)+h(x)型出现，其中g(x)为对数lnx的形式，h(x)为二次函数型。略有不同的的是参数a出现的位置稍有不同。 另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的探讨，应当说，这是课改后辽宁高考数学在这类试题上命题思路上的持续与继承。 从这三年的最终一问来看， f(x1)-f(x2)>-1 x1-x210年（II）设a<-1.假如对随意x1,x2Î(0,+¥)，|f(x1)-f(x2)³4|x1-x2|，求a的09年（II）证明：若a<5，则对于随意x1,x2Î(0,+¥),x1¹x2,有取值范围.11年（II）若函数y=f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证 明：f(x0)<0 09年与10年问题本质相同，都是割线斜率或斜率的肯定值大于或大于等于某一常数(就是函数在某点处的导数)，稍有不等同的只是问题形式，09年是不等式证明题，10年为不等式恒成立问题。11年在09年、10年基础之上有所创新与发展，将割线斜率变成了导数小于0，其实f(x0)<0中的“0”在本题中仍为割线斜率，即曲线的割线AB的斜率为0，由此我们不难看出，出题人的命题思想与意图。 另外，我们再来探讨10年天津高考数学理科21题 已知函数f(x)=xe(xÎR) () 求函数f(x)的单调区间和极值； ()已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称证明当x>1时，f(x)>g(x)； ()假如x1¹x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2 与辽宁试题相比较，不同之处在函数种类不同，问题的实质及解法完全相同。 一般来说，高考试题来源可能有四个方面：一教材试题，二经典试题的改编，三往年高考试题的改编，四竞赛或高等数学试题的下放。通过以上两个方面对试题来源的分析，我们有充分的利由认为11年辽宁省试题来源于往年高考试题的改编。 题目的几何背景： 任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景 -x'' 无论是函数f(x)=xe-x还是f(x)=lnx-ax+(a-2)x(a>0)其实都是先减后增 2的单峰函数，利用图象的对称平移改变，就能出现在x的指定的某一范围下，f(x)、g(x)两函数图象的端点处的函数值相同，图象有凹凸，也就产生了我们的试题中的第（II）问。由于f(x)为单峰函数，图像关于直线x=x0（x0为函数的极值点）不对称，导致直线y=m（或x轴）与曲线相交时，交点A、B到直线x=x0的距离不等，进而出现AB重点M在x=x0的右侧，也就出现试题中的第(III)问。 说问题变式与拓展 对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。 问题变式一：已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x （III）若函数y=f(x)的图像与直线y=m交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明： f'(x0)<0 编题意图：将特别直线y=0（或x轴）变成一般的直线y=m，体现从特别到一般。 问题变式二：已知函数f(x)=lnx-ax-bx(a¹0)， （III）若函数y=f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明： 2f'(x0)<0 编题意图：要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，变更试题的难度。 问题变式三：已知函数f(x)=（1）求f(x)的单调区间； （2）求证：0<x<e,f(e+x)>f(e-x) （3）设图象与直线y=m的两交点分别为A(x1,f(x1)、B(x2,f(x2)，AB中点横坐标为 lnx xx0,证明：f'(x0)<0 编题意图：跳出所给函数，尝试在新函数下改编问题。 问题变式四：已知函数f(x)=2lnx-x-ax，若函数的图象与x轴交于两点A(x1,0)、 2B(x2,0)，且0<x1<x2.若正常数p,q满意p+q=1,q³p.求证：.f'(px1+qx2)<0 编题意图：将中点变成随意分点，来改编试题。 中学数学说题 中学数学说课稿 中学数学说课稿) 中学数学说课稿 中学数学说课 中学数学说课稿 中学数学说课稿 优秀中学数学说课稿 中学数学说课稿1 中学数学说课稿(共) 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页