3.2.2 双曲线（第二课时）（精讲）（解析版）.docx

3.2.2 双曲线思维导图常见考法考点一 双曲线的离心率【例1】（2020·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）A或B或CD或10【答案】A【解析】由1，81成等比数列有：，所以，当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆，其中，故离心率；当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，其中，故离心率,故选择A.常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)【一隅三反】1（2020·江苏南京）在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为（ ）A2B4CD【答案】A【解析】双曲线C：的一条渐近线为，则，解得，.故选：A.2（2020·贵州省思南中学高二期末（理）已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意作图如下：设.由双曲线焦半径公式知，故选C.3（2020·全国）已知，为双曲线的焦点，为与双由线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知，在中，可设，则，由勾股定理得，又由得，所以.故选：C4（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线经过点，点在直线上，则该双曲线的离心率为.故选：考点二 直线与双曲线的位置关系【例2】已知双曲线x21，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点【答案】见解析【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l：x1与双曲线相切，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)1，代入双曲线方程，得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.当4k20，即k±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点当4k20时，令0，得k.综上可知，当k或k±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点【一隅三反】1（2018·福建高二期末（理）若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】把ykx2代入x2y26，得x2(kx2)26，化简得(1k2)x24kx100，由题意知即解得k1.答案：D.2（2020·天水市第一中学高二月考（理）直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】由 可得， ，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以， 解得 ，所以斜率的取值范围是，故选C. 3（2020·四川资阳）直线l：kxy2k0与双曲线x2y22仅有一个公共点，则实数k的值为A1或1B1C1D1，1，0【答案】A【解析】因为直线l：kxy2k0过定点(2,0),而直线l：kxy2k0与双曲线x2y22仅有一个公共点，所以直线l：kxy2k0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为1或1，选A.4（2020·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x2y22的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l的条数为()A1B2C3D4【答案】C【解析】设，当直线与轴垂直时，满足题意当直线与轴不垂直时，设直线：，联立直线与双曲线方程得：，整理得：，所以， ，又=，解得：，综上：满足这样的直线l的条数为3条考点三 弦长【例3】（2019·全国高三课时练习）过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由双曲线的方程得，F1(3，0)，F2(3，0)直线AB的方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x26x270.，.(2)直线AB的方程变形为.原点O到直线AB的距离为.【一隅三反】1（2020·全国）已知直线ykx1与双曲线交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值为()A±B±或±C±D±【答案】B【解析】由直线与双曲线交于两点，得，将代入得，则，即.设，则，.或.故选B.2（2018·全国高二课时练习）求双曲线被直线截得的弦长 .【答案】【解析】由，得，即 （*）设方程（*）的解为，则有，故3（2020·邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点，所以解得，所以双曲线的方程为(2)双曲线的右焦点为所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为联立得.设，则.所以.4（2020·宾县第二中学高二期末（文）已知曲线及直线（1）若与左支交于两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由消去，得与左支交于两个不同的交点且的取值范围为（2）设，由（1）得又过点，即或考点四 点差法【例4】（1）（2020·黑龙江南岗）已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD3（2）（2020·河南南阳.高二其他（文）直线经过且与双曲线交于，两点，如果点是线段的中点，那么直线的方程为（ ）ABCD不存在（3）（2019·黑龙江大庆四中高二月考（理）已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则ABCD【答案】（1）B（2）A（3）A【解析】（1）设、，则，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.（2）当斜率不存在时，显然不符合题意；当斜率存在时，设，因为点是线段的中点，所以，代入双曲线方程得，两式相减得，则，又直线过点P，所以直线方程为，联立，得到，经检验，方程有解，所以直线满足题意.故选：A（3）设直线l的方程为，代入双曲线方程得到，得到设，则则，故，故选A【一隅三反】1（2020·青海西宁）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，设，则由得则因为是弦的中点，因为直线的斜率为1即所以，则，故选：D2（2020·湖北武汉）已知分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点（点异于），则直线的斜率之比（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知得双曲线，故，设直线，且，由消去整理得，两式相比得，将代入得：上式故故选：B3（2019·会泽县第一中学校高二月考（理）点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_【答案】【解析】设弦的两端点分别为的中点是 把代入双曲线 得 ， 这条弦所在的直线方程是 故答案为 14 / 14