8.3 简单几何体的表面积与体积（精讲）（解析版）.docx

8.3 简单几何体的表面积与体积（精讲）思维导图常见考法考法一 多面体表面积【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为（ ）ABCD（2）（2021·江苏南京市）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）.ABCD【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.（2）由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形等腰梯形的高为：等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：本题正确选项：【一隅三反】1（2020·湖南怀化市）已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )ABCD【答案】A【解析】由题意侧棱长为所以表面积为：故选：A.2（2020·张家界市民族中学高一月考）棱长为的正四面体的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知：正四面体的表面积为，故选：A3（2020·长春市第二实验中学高一期末）正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.考法二 多面体台体积【例2】（2020·江苏南京市）底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）AB1CD【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A【一隅三反】1（2020·河北秦皇岛市）如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】三棱锥的体积为：故选：C2（2020·广东惠州市·高一期末）正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）ABCD8【答案】C【解析】正四棱锥的底面边长和高都等于2，该四棱锥的体积.故选：C.3（2020·六盘山高级中学高一月考）已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积.【答案】【解析】如图所示：连接AC，BD交于点O，连接SO，因为四棱锥的棱长均为4，所以平面ABCD，即SO为四棱锥的高，所以,所以，所以.4（2020·北京高一期末）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥的表面积；（2）求正三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中点D，连接，在中，可得.正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，正三棱锥的侧面积是.正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，.则正三棱锥的表面积为；（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.正三棱锥的体积为.考法三 旋转体的表面积【例3】（2020·山东德州市·高一期末）若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，,所以，所以圆锥的侧面积为.故选：C.【一隅三反】1（2021·浙江高一期末）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选：2（2020·全国高一）把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A10BCD【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，所以底面圆的半径为r=10，所以圆锥的高为.故选：B3（2020·全国高一课时练习）一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，因此，内接圆柱的高；圆柱的侧面积为，令，当时，；所以当时，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.故选：D.考法四 旋转体的体积【例4】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学）已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为底面周长为，所以，解得，又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B【一隅三反】1（2020·浙江杭州市·高一期末）将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，圆锥底面半径，圆锥的高，圆锥的体积.故选：.2（2020·威海市教育教学研究中心高一期末）古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（ ）A立方丈B立方丈C立方丈D立方丈【答案】B【解析】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），所以它的体积为所以(立方丈).故选：B.3（2020·贵州毕节市·高一期末）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A3BC9D【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆柱的侧面积为，故表面积为，得，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得，联立得：，.故该圆锥的体积为.故选：B.考法五 球【例5】（1）（2020·长春市第二实验中学高一期末）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）ABCD（2）（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理）已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（ ）ABCD【答案】（1）B（2）C【解析】（1）设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，球的表面积为，正方体的表面积为，.故选：B（2）设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，该球的表面积为.故选：C.【一隅三反】1（2020·浙江高一期末）若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为，故选：D.2（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，所以球的表面积为：.故选：C3（2021·宁夏长庆高级中学高一期末）已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选：C.4.（2020·山东济宁市·高一期末）将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，所以球的体积：.故选：B考法六 组合体的体积表面积【例6】（2020·全国高一课时练习）如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（ ）A54BCD【答案】C【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积故选：C【一隅三反】1（2020·山东菏泽市·菏泽一中高一月考）某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，则该组合体的表面积为（ ）A20BC16D【答案】A【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A2（2020·河北沧州市一中高一期末）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.3（2021·周至县第二中学高一期末）如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_【答案】8【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积所以故答案为：8 14 / 14