2016年北京理科数学高考试题及答案(共9页).docx
精选优质文档-倾情为你奉上2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合A=xx<2，B=-1，0，1，2，3，则AB=（A）0, 1 （B）0, 1, 2（C）-1, 0, 1（D）-1, 0, 1, 2 （2）若x, y满足2x-y0,x+y3,x0, 则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（4）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知x, yR,且x>y>0，则（A）1x-1y>0 （B）sinx-siny>0（C）(12)x-(12)y<0 （D）lnx+lny>0（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为1111正（主）视图侧（左）视图俯视图（A）16 （B）13（C）12（D）1（7）将函数y=sin(2x3)图象上的点P(4, t )向左平移s（s0） 个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin2x的图象上，则（A）t=12 ，s的最小值为6 （B）t=32 ，s的最小值为6 （C）t=12 ，s的最小值为3 （D）t=32 ，s的最小值为3 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）设aR，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_.（10）在(1-2x)6的展开式中，x2的系数为_.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线cos-3sin-1=0与圆=2cos交于A, B两点， 则 AB=_.（12）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6 ，a3+a5=0，则S6=_.（13）双曲线 x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点. 若正方形OABC的边长为2，则a=_.（14）设函数fx=x3-3x， xa,-2x， x>a. 若a=0，则f(x)的最大值为_； 若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_.三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在ABC中，a3+c3=b3+2ac.（）求B的大小;（）求2cosA+cosC的最大值.（16）（本小题13分）A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（）试估计C班的学生人数；（）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从A, B, C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1 ，表格中数据的平均数记为 0 ，试判断 0和1的大小.（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD, ABAD, AB=1, AD=2, AC=CD=5.（）求证：PD平面PAB; （）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.（18）（本小题13分）设函数fx=xea-x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.（）求a,b的值；（）求f(x)的单调区间.（19）（本小题14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，Aa,0,B0,b,O(0,0)，OAB的面积为1.（）求椭圆C的方程；（）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.（20）（本小题13分） 设数列A：a1,a2,aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ak<an，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素；（）证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A);（）证明：若数列A满足an-an-11（n=2,3, ,N）,则G(A)的元素个数不小于aN-a1.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D（5）C （6）A （7）A （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11) （12）（13） （14） 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由余弦定理及题设得.又因为，所以.（）由（）知.,因为，所以当时，取得最大值.（16）（共13分）解：（）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为.（）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，事件为“乙是现有样本中班的第个人”，由题意可知，；，.,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，因此（）.（17）（共14分）解：（）因为平面平面，所以平面.所以.又因为，所以平面.（）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.（18）（共13分）解：（）因为，所以.依题设，即解得.（）由（）知.由即知，与同号.令，则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，故的单调递增区间为.（19）（共14分）解：（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，所以.综上，为定值.（20）（共13分）解：（）的元素为和.（）因为存在使得，所以.记，则，且对任意正整数.因此，从而.（）当时，结论成立.以下设.由（）知.设，记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数不小于.专心-专注-专业
