2016年山东省高考理科数学试题及答案.pdf

精心整理绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷 ) 理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1. 答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共10小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数 z 满足232i,zz其中 i 为虚数单位，则 z= （A）1+2i （B）12i （C）12i（D）12i（2）设集合2|2 ,|10,xAy yxBx xR则AB= 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理（A）( 1,1)（B）(0,1)（C）( 1,)（D）(0,)（3）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直 方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据 分组为12.根据 直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5小时的人数是（A）56 （B）60 （C）120 （D）140 （4）若变量 x，y 满足2,239,0,xyxyx +?-?锍? ?则22xy+的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（A）1233（B）1233（C ）1236（D ）216（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面， 内. 则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的（A）充分不必要条件（ B）必要不充分条件学 . 科. 网（C）充要条件（ D ）既不充分也不必要条件（7）函数 f （x）=（3sin x+cosx） （3cosxsin x）的最小正周期是（A）2（B）（ C）23（D ）2（8）已知非零向量m ，n 满足 4m =3 n，cos=13. 若 n（t m +n） ，则实数 t 的值为（A）4（B）4（C）94（D ）94（9） 已知函数 f ( x) 的定义域为 R. 当 x0时，3( )1f xx； 当11x时，()( )fxf x； 当12x时，11()()22f xf x. 则 f (6)= （A）?2（B）?1（C ）0（D ）2 （10）若函数 y=f ( x) 的图象上存在两点，学科 . 网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称 y=f (x) 具有 T性质. 下列函数中具有T 性质的是（A）y=sin x（B）y=ln x（C）y=ex（D ）y=x3第卷（共 100分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）执行右边的程序框图，若输入的a, b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为 _. (12) 若（ax2+1x）3的展开式中 x3的系数是 80，则实数 a=_. （13）已知双曲线 E1：22221xyab（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E上，AB ，CD的中点为 E的两个焦点，且 2| AB |=3| BC | ，则 E的离心率是 _. （14）在1,1-上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆22(5)9xy-+=相交”发生的概率为 . （15）已知函数2|,( )24 ,xxmf xxmxm xm其中0m，学. 科网若存在实数b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则m的取值范围是 _. 三、解答题：本答题共6 小题，共 75 分。（16） （本小题满分 12分）在ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明： a+b=2c; （）求 cosC的最小值 . 17. 在如图所示的圆台中， AC是下底面圆 O的直径， EF是上底面圆 O的直径， FB是圆台的一条母线. （I ）已知 G , H分别为 EC ，FB的中点，求证： GH 平面 ABC ；（II ）已知 EF =FB =12AC =2 3AB =BC . 求二面角FBCA的余弦值 . （18） （本小题满分 12分）已知数列na的前 n 项和 Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（）求数列nb 的通项公式；（）另1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前 n 项和 Tn. （19） （本小题满分 12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：（I ） “星队”至少猜对3 个成语的概率；（II ） “星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX (20)( 本小题满分 13 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理已知221( )ln,xf xa xxaRx. （I ）讨论( )fx的单调性；（II ）当1a时，证明3( )2f xfx对于任意的1,2x成立（21）本小题满分 14 分）平面直角坐标系xOy中，椭圆 C：222210 xyabab ?的离心率是32， 抛物线 E：22xy的焦点 F 是 C的一个顶点。（I ）求椭圆 C的方程；（II ）设 P是 E上的动点，且位于第一象限， E在点 P处的切线 l 与 C交与不同的两点A，B，线段 AB的中点为 D，学科 &网直线 OD与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. （i ）求证：点 M在定直线上 ; （ii ）直线 l 与 y 轴交于点 G ，记 PFG 的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点 P的坐标 . 2016 年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷 ) 理科数学试题参考答案一、选择题（1） 【答案】 B （2） 【答案】 C （3） 【答案】 D （4） 【答案】 C （5） 【答案】 C （6） 【答案】 A （7） 【答案】 B （8） 【答案】 B（9） 【答案】 D（10） 【答案】 A第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理（11） 【答案】 3 （12） 【答案】 -2 （13） 【答案】 2 （14） 【答案】34（15） 【答案】(3,)三、解答题（16）解析：由题意知sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB，化简得 2 sincossincossinsinABBAAB ，即2sinsinsinABAB. 因为 ABC, 所以 sinsinsinABCC . 从而 sinsin=2sinABC . 由正弦定理得2abc. ()由( )知2abc, 所以2222222cos22abababcCabab311842baab，当且仅当 ab时，等号成立 . 故cosC 的最小值为12. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式. （17）（I ）证明：设 FC的中点为I, 连接,GI HI , 在CEF, 因为 G 是 CE的中点，所以,GIF/E又,FE /OB 所以,GI /OB在CFB中，因为 H 是 FB的中点，所以/ /HIBC，又 HIGII , 所以平面/ /GHI平面 ABC，因为 GH平面 GHI，所以/ /GH平面 ABC.（II ）解法一 ：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理连接OO , 则OO平面 ABC，又,ABBC且 AC 是圆 O的直径，所以.BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意得(0, 2 3,0)B，( 2 3,0,0)C，过点F作 FMOB垂直于点M，所以223,FMFBBM可得(0,3,3)F故( 2 3,2 3,0),(0,3,3)BCBF. 设( , , )mx y z是平面 BCF 的一个法向量 . 由0,0m BCm BF可得2 32 30,330 xyyz可得平面 BCF 的一个法向量3( 1,1,),3m因为平面 ABC的一个法向量(0,0,1),n所以7cos,7|m nm nmn. 所以二面角 FBCA的余弦值为77.解法二 ：连接OO ，过点F作 FMOB于点M，则有/ /FMOO , 又OO平面 ABC ，所以 FM 平面 ABC,可得223,FMFBBM过点 M 作 MNBC垂直于点 N ，连接 FN ，可得 FNBC , 从而FNM 为二面角 FBCA的平面角 . 又 ABBC , AC 是圆 O的直径，所以6sin 45,2MNBM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理从而422FN，可得7cos.7FNM所以二面角 FBCA的余弦值为77.考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（）由题意知当2n时，561nSSannn，当1n时，1111Sa，所以56nan. 设数列nb的公差为 d，由322211bbabba，即dbdb321721111，可解得3, 41db，所以13nbn. （）由（）知11(66)3(1) 2(33)nnnnncnn，又nnccccT321，得23413 223242(1)2nnTn，345223 223242(1)2nnTn，两式作差，得所以223nnnT考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法（19）()记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B： “乙第一轮猜对”，记事件 C： “甲第二轮猜对”，记事件 D ： “乙第二轮猜对”，记事件 E： “ 星队至少猜对3 个成语” . 由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD由事件的独立性与互斥性，323212323132=24343434343432.3, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理所以“星队”至少猜对3 个成语的概率为23. ()由题意，随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得1111104343144P X, 31111211105124343434314472P X, 31313112123112122524343434343434343144P X, 32111132134343434312P X, 3231321260542=4343434314412P X, 32321643434P X. 可得随机变量 X的分布列为X 0 1 2 3 4 6 P 所以数学期望15251512301234614472144121246EX.考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20) （）)(xf的定义域为), 0(；3232/)1)(2(22)(xxaxxxxaaxf. 当0a，) 1 , 0(x时，0)(/xf，)(xf单调递增；/(1,),( )0 xfx时，)(xf单调递减 . 当0a时，/3(1)22( )()()a xfxxxxaa. （1）20a，12a，当) 1 ,0(x或x),2(a时，0)(/xf，)(xf单调递增；当x)2, 1(a时，0)(/xf，)(xf单调递减；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理（2）2a时，12a，在x),0(内，0)(/xf，)(xf单调递增；（3）2a时，120a，当)2,0(ax或x), 1(时，0)(/xf，)(xf单调递增；当x)1 ,2(a时，0)(/xf，)(xf单调递减 . 综上所述，当0a时，函数)(xf在)1 , 0(内单调递增，在), 1(内单调递减；当20a时，)(xf在)1 ,0(内单调递增，在)2, 1(a内单调递减，在),2(a内单调递增；当2a时，)(xf在), 0(内单调递增；当2a，)(xf在)2,0(a内单调递增，在)1 ,2(a内单调递减，在), 1(内单调递增 . （）由（）知，1a时，23312ln1xxxxx，2, 1x，令1213)(,ln)(32xxxxhxxxg， 2, 1x. 则)()()()(/xhxgxfxf，由01)(/xxxg可得1) 1()(gxg，当且仅当1x时取得等号 . 又24326( )xxh xx，设623)(2xxx，则)(x 在x2, 1单调递减，因为10)2(, 1) 1(，所以在2, 1上存在0 x使得), 1 (0 xx时，)2,(,0)(0 xxx时，0)(x，所以函数( )h x 在), 1(0 x上单调递增；在)2,(0 x上单调递减，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理由于21)2(, 1) 1(hh，因此21)2()(hxh，当且仅当2x取得等号，所以23)2() 1 ()()(/hgxfxf，即23)()(/xfxf对于任意的2, 1x恒成立。考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）（）由题意知2322aba，可得：ba2 . 因为抛物线E的焦点为)21,0(F，所以21, 1 ba，所以椭圆 C的方程为1422yx. （） （i ）设)0)(2,(2mmmP，由yx22可得xy/，所以直线 l 的斜率为m，因此直线 l 的方程为)(22mxmmy，即22mmxy. 设),(),(),(002211yxDyxByxA，联立方程222241mymxxy得014)14(4322mxmxm，由0，得520m且1442321mmxx，因此142223210mmxxx, 将其代入22mmxy得)14(2220mmy，因为mxy4100，所以直线 OD 方程为xmy41. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 精心整理联立方程mxxmy41，得点M的纵坐标为M14y，即点M在定直线41y上. （ii ）由（ i ）知直线 l 方程为22mmxy，令0 x得22my，所以)2,0(2mG，又21(,),(0,),22mP mFD)14( 2,142(2223mmmm，所以) 1(41|2121mmmGFS，) 14(8)12(|2122202mmmxmPMS，所以222221) 12()1)(14(2mmmSS，令122mt，则211) 1)(12(2221tttttSS，当211t，即2t时，21SS取得最大值49，此时22m，满足0，所以点P的坐标为)41,22(，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(. 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -