2022年八年级数学下学期菱形正方形梯形教案人教版 .pdf

学习好资料欢迎下载菱形（一）一、教学目的：1掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系2理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积3通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力4根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想二、重点、难点1教学重点：菱形的性质1、22教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用3难点的突破方法：（1）课堂上演示由平行四边形改变成菱形使学生对平行四边形与菱形的关系形成深刻的印象；（2）讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：强调菱形是平行四边形；一组邻边相等另外还需指出定义既是判定又是性质（3）菱形的性质，可以让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳方法一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折(如教材 P97 的探究 )，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片；方法二：如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 就是菱形；图 1 图 2 方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形 (如图 2) （3）要让学生知道性质1 的已知：如图，菱形ABCD ，和结论： AB=BC=CD=DA性质 2 的已知： 如图， 在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O，和结论： ACBD ，AC 平分 BAD 和 BCD ；BD 平分 ABC 和 ADC 并能灵活运用（4）指出：菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直（5）让学生知道：菱形ABCD被对角线AC、BD 分成了四个全等的直角三角形，在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载计算或证明时常用这个结论（6）菱形的面积公式是abAOBDAOBDSSABD21)21(22（其中a、b是菱形的两条对角线分别的长）即：“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”还要指出：当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底高三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1 是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2 是教材 P98中的例 2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识四、课堂引入1 （复习） 什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形 矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（ 1）是平行四边形； （2）一组邻边相等让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子五、例习题分析例 1 （补充）已知：如图，四边形ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E求证： AFD= CBE 证明： 四边形 ABCD 是菱形，CB=CD ， CA 平分 BCD BCE=DCE又 CE=CE，BCE COB（SAS） CBE=CDE在菱形 ABCD 中， ABCD， AFD= FDC AFD= CBE 例 2 （教材 P98 例 2）略六、随堂练习精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为2已知菱形的两条对角线分别是6cm 和 8cm ，求菱形的周长和面积3已知菱形 ABCD 的周长为 20cm，且相邻两内角之比是12，求菱形的对角线的长和面积4已知：如图，菱形ABCD 中， E、F 分别是 CB、CD 上的点，且BE=DF 求证： AEF=AFE七、课后练习1菱形 ABCD 中， D A=3 1，菱形的周长为8cm，求菱形的高2如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长 10cm，求（ 1）对角线AC 的长度；（ 2）菱形 ABCD 的面积菱形（二）一、教学目的：1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力二、重点、难点1教学重点：菱形的两个判定方法2教学难点：判定方法的证明方法及运用3难点的突破方法：引入时，可以通过教材P99 的探究、教材P99 下面菱形的作图，及利用折纸、剪切的方法，让学生动起来，师生共同探究并归纳出菱形的几种判定方法在判定一个图形是菱形时，用它的“定义”判定是最基本、最重要的方法，另外两个判定方法都是以定义为基础推导出来的应用判定方法1 时，要注意其性质包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直为了加深印象，也可以举一些反例提问学生，如对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？同时可用图来证实，虽然对角线ACBD，但它们都不是菱形菱形常用的判定方法归纳为（让学生讨论归纳后，由教师小结并板书）：注意： （2）与（ 4）的题设也是从四边形出发，和矩形一样它们的题设条件都包含有平行四边形的判定条件如方法（4） 、根据对角线互相平分，就可以首先判定四边形是平行四精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载边形，这样，判定方法（4）就和判定方法（3）等同了三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，其中例1 是教材 P99 的例 3，例 2 是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成程度好一些的班级，可以选讲例3四、课堂引入1复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2 个条件）2 【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3【探究】（教材P99 的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形； （ 2）两条对角线互相垂直通过教材 P99 下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2四边都相等的四边形是菱形五、例习题分析例 1 （教材 P99 的例 3）略例 2 （补充）已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E、F求证：四边形AFCE 是菱形证明 ：四边形 ABCD 是平行四边形，AEFC1=2又AOE= COF，AO=CO ，AOE COFEO=FO四边形 AFCE 是平行四边形又EFAC ，AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例 3（选讲）已知：如图，ABC 中，ACB=90，BE 平分 ABC ，CDAB 与 D，EHAB 于 H，CD 交 BE 于 F求证：四边形CEHF 为菱形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载略证：易证CFEH，CE=EH，在 RtBCE 中， CBE+ CEB=90，在 RtBDF 中，DBF+ DFB=90 ， 因为 CBE= DBF， CFE=DFB， 所以 CEB= CFE， 所以 CE=CF所以， CF=CE=EH ，CFEH，所以四边形CEHF 为菱形六、随堂练习1填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是_；（3）对角线相等且互相平分的四边形是_；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形2画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm3如图， O 是矩形ABCD的对角线的交点，DEAC ，CEBD，DE 和 CE 相交于 E，求证：四边形OCED 是菱形。七、课后练习1下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分2已知： 如图，M 是等腰三角形ABC 底边 BC 上的中点， DM AB ，EFAB，MEAC ，DGAC 求证：四边形MEND 是菱形3做一做：设计一个由菱形组成的花边图案花边的长为15 cm， 宽为 4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点画出花边图形正方形一、教学目的1掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力二、重点、难点1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用3难点的突破方法：本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法重点是正方形定义正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等， 正方形的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知识在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法（1）掌握正方形定义是学好本节的关键正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形教学时要结合教科书中 P100 中的图 19.214，具体说明正方形与矩形、菱形的关系这些关系是教学的一个难点， 也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些内容时进度可稍放慢些（2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结可以将正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角还要让学生注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45 ；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质要使学生熟悉这些最基本的内容（3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定（4） 正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、 矩形的性质与判定的综合可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容还可以通过本节的教学，澄清学生存在的一些模糊概念三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1 是教材 P100 的例 4，例 2 与例 3 都是补充的题目其中例 1 与例 2 是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1） ，为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？能说 “ 四条边都相等的四边形是正方形” 吗？为什么？说 “ 四个角相等的四边形是正方形” 对吗？四、课堂引入1做一做 ：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做 正方形 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2 【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质五、例习题分析例 1（教材 P100 的例 4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形已知：四边形 ABCD 是正方形， 对角线 AC 、BD 相交于点 O（如图）求证： ABO 、BCO、CDO、DAO 是全等的等腰直角三角形证明 ：四边形 ABCD 是正方形，AC=BD ， AC BD ，AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）ABO 、BCO、CDO、DAO 都是等腰直角三角形，并且ABO BCO CDODAO 例 2 （补充）已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O，E 是 OB 上的一点， DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证： OE=OF分析：要证明OE=OF，只需证明 AEO DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE= DOF=90 ，AO=DO ，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO= FDO，根据 ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载证明：四边形 ABCD 是正方形， AOE= DOF=90 ，AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等）又DGAE， EAO+ AEO= EDG+AEO=90 EAO= FDO AEO DFOOE=OF例 3 （补充）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A、C 两点作 l1l2，作BM l1于 M，DNl1于 N，直线 MB 、DN 分别交 l2于 Q、P 点求证：四边形PQMN 是正方形分析：由已知可以证出四边形PQMN 是矩形，再证ABM DAN ，证出AM=DN ，用同样的方法证AN=DP 即可证出MN=NP 从而得出结论证明： PNl1，QMl1，PNQM， PNM=90 PQNM ，四边形 PQMN 是矩形四边形 ABCD 是正方形BAD= ADC=90 ，AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90 又3+2=90 ，1=3ABM DAN AM=DN 同理AN=DP AM+AN=DN+DP 即MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）六、随堂练习1正方形的四条边_ _，四个角 _ _，两条对角线_ _2下列说法是否正确，并说明理由对角线相等的菱形是正方形；（）对角线互相垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）四个角相等的四边形是正方形（）1 已知：如图，四边形ABCD 为正方形， E、F 分别为 CD、CB 延长线上的点，且DEBF求证： AFE AEF2如图， E 为正方形 ABCD 内一点，且 EBC 是等边三角形，求 EAD 与 ECD 的度数七、课后练习A B C D E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1已知：如图，点E 是正方形ABCD的边 CD 上一点，点F 是 CB的延长线上一点，且DE=BF 求证： EA AF2已知：如图， ABC 中， C=90 ，CD 平分 ACB ，DEBC于 E，DFAC 于 F求证：四边形CFDE 是正方形3已知：如图，正方形ABCD中， E 为 BC 上一点， AF 平分 DAE交 CD 于 F，求证： AE=BE+DF 梯形（一）一、教学目标：1 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质2 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力3 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、重点、难点1重点：等腰梯形的性质及其应用2 难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用3难点的突破方法：对于梯形的概念要注意以下几点：（1）梯形和平行四边形的共同点：都是凸四边形；（2）它们的区别：平行四边形是有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；（3）对于上、下底（这是习惯叫法，不是定义）是以长短来区分的，而不是指位置关系在研究梯形时， 常用的辅助线是平行移动梯形的一腰或一条对角线，或者从梯形上底的两个端点作梯形的高，把梯形的问题转化为关于平行四边形或三角形的问题，应用三角形或平行四边形的知识来解决梯形问题所以学好本大节内容的关键是引导学生会添加适当的辅助线， 把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，教学中要使学生熟悉本大节中常用的辅助线， 并明确这些辅助线对于问题转化的作用教学中要提醒学生，当证得新命题之后，要注意直接引用它们，不要再添加辅助线重复命题的证明过程解决梯形问题常用的方法：（1） “平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1） ；（2） “作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2） ；（3） “平移对角线” ：使两条对角线在同一个三角形中（图3） ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（4） “延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4） ；（5） “等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5） 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 综上所述： 解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决在教学时让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助要注意 的是： 本教材为了降低难度，所有需要的辅助线在题目中都给出来了，因此我们在教学中要适当地选讲有关辅助线添加的题目，没必要让学生去做一些比较复杂的题等腰梯形的性质与等腰三角形相仿，因此在推导其性质或需要添加辅助线时，可以借助等腰三角形来研究尤其是根据等腰三角形是轴对称图形，可得到等腰梯形是轴对称图形这条性质，在总结等腰梯形的性质时，不要漏掉教学中要注意引导学生证明等腰梯形的性质，尤其在证明 “等腰梯形同一底上的两个角相等”这条性质时，“平移腰”和“作高”这两种常见的辅助线，在教学中头一次出现，可以借此机会，给学生介绍这两种辅助线的添加方法三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例 1 是教材 P107 中的例 1 它是等腰梯形性质的直接运用题目比较简单， 在教学中，最好让学生分析、 讲解、解答同时也要注意引导学生，在证明 EAD是等腰三角形时，要用到梯形的定义“上下底互相平行（AD BC）”这一点例 2 与例 3 都是补充的题目，例 2 是一道计算题， 例 3 是一道证明题， 其用意一是为了巩固其概念，二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师们在教学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识（ 但由于本教材在梯形这一部分知识中，并没有添加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难）通过题目的练习与讲解应让学生知道：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线， 把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决在教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助四、课堂引入1创设问题情境引出梯形概念【观察】（教材 P106 中的观察） 右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？2画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，【思考】（ 1）怎样画才能得到一个梯形？（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（强调：梯形与平行四边形的区别和联系；上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的）（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高（2）等腰梯形 ：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）直角梯形 ：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形3做做 探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线【问题一】图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；【问题二】这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？结论 ： 等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等五、例习题分析例 1（教材 P107 的例 1）略（延长两腰梯形辅助线添加方法三）例 2（补充）如图，梯形ABCD 中， AD BC，B=70， C=40，AD=6cm ，BC=15cm求 CD 的长分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题其方法是： 平移一腰， 过点 A 作 AEDC交 BC 于 E，因此四边形AECD 是平行四边形，由已知又可以 得 到 ABE是 等 腰 三 角 形 （ EA=EB ） ， 因 此CD=EA=EB=BC EC=BCAD=9cm 解（略）例 3 （补充） 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，D90 ，CAB ABC ， BEAC 于 E求证： BECD分析： 要证 BE=CD ，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是： 平移一腰， 过点 D 作 DFAB 交 BC 于 F，因此四边形ABFD 是平精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载行四边形，则DF=AB ，由已知可导出DFC=BAE ，因此 RtABE RtFDC （AAS），故可得出 BE=CD 证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD ，证明 ABE FDC 即可六、随堂练习1填空（1）在梯形ABCD中，已知AD BC， B=50 ， C=80， AD=a ，BC=b ，,则DC= （2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30，则这个梯形的两腰分别是和（3）等腰梯形ABCD 中， AB DC，A C 平分 DAB ， DAB=60 ，若梯形周长为8cm，则 AD= 2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD， AB CD， AD=BC ，BD平分 ABC ， A=60 ，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长（AD=DC=BC=4 ，AB=8 ）3求证：等腰梯形两腰上的高相等七、课后练习1 填空： 已知直角梯形的两腰之比是12， 那么该梯形的最大角为， 最小角为2已知等腰梯形的锐角等于60它的两底分别为15cm 和 49cm，求它的腰长和面积3已知：如图，梯形ABCD 中， CD/AB ，A40，B70求证： AD=AB DC4已知，如图，梯形ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点， DECE，求证： AD+BC=DC （延长 DE 交 CB 延长线于点F，由全等可得结论）193 梯形（二）一、教学目标：1通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明2能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力3通过添加辅助线， 把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、重点、难点1重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2难点：等腰梯形判定方法的运用3难点的突破方法：教科书通过用P107 的思考引导学生得到“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，教材虽直接给出了等腰梯形的判定方法并未将其进行证明，但是在P107 的思考中，提出了 “你能证明吗？”这个问题，因此我们应注意引导学生将其判定方法进行证明另外教学中要注意，新教材中并未提出“ 对角线相等的梯形是等腰梯形” 这个命题因此我们不能将其作为判定方法直接引用，故判定一梯形是否为等腰梯形的方法有两种（1）定义（两腰相等的梯形是等腰梯形）； （2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定方法一般是先判定一个四边形是梯形，然后再用“ 两腰相等 ” 或“ 同一底上的两个角相等” 来判定它是等腰梯形判定一个四边形是梯形时，根据梯形定义，判定另两边不平行比较困难，可以通过判定平行的两边不相等来说明梯形的画图： 一般先画出有关的三角形，在此基础上再画出有关的平行四边形，最后得到所求图形 （三角形奠基法）三、例题的意图分析本节课安排的例题与练习较多，可供老师们选用例 1 是教材 P108 的例 2，这是一道计算题，讲解时要让学生注意，已知中并没有给出等腰梯形的条件，它需要先判定梯形ABCD 为等腰梯形，然后再用其性质得出结论例 2、例 3、例 4 都是补充的题目其中例2 是一道文字题，这道题在进行证明时，可采用“平移对角线”或“作高”两种不同的方法，通过讲解例2，可以再次给学生介绍解决梯形问题时辅助线的添加方法例 3 是一道证明等腰梯形的题，它需要先证明其四边形是梯形，即先证出EGAB，此时还要由 AE ，BG 延长交于 O，说明 EG AB，才能得出四边形ABGE 是梯形然后再利用同底上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形选讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方法例 4 是一道作图题，新教材P108的练习 4 就是一道画梯形图的题，此例4 与练习 4 相同通过此题的讲解与练习，就是要加强学生对梯形概念的理解，并了解梯形作图的一般方法让学生知道梯形的画图题，也常常是通过分析，找出需要添加的辅助线，先画出三角形或四边形，再根据它们之间的联系画出所要求的梯形四、课堂引入1复习提问： （1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？（2）等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题2 【提出问题】 ：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC， B=C求证： AB=CD 分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等 ”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了证明方法 1：过点 D 作 DEAB 交 BC 于点 F，得到 DECABDE ， B=1， B=C， 1=CDEDC又 AD BC，DEAB=DC 证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE证明方法二：用常见的梯形辅助线方法：过点A 作 AEBC， 过 D 作 DFBC，垂足分别为E、F（见图一）证明方法三：延长 BA、CD 相交于点 E（见图二）图一图二通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法等腰梯形判定方法在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形几何表达式：梯形ABCD 中，若 B=C，则 AB=DC 【注意】等腰梯形的判定方法：先判定它是梯形，再用“ 两腰相等 ”“或同一底上的两个角相等 ” 来判定它是等腰梯形五、例、习题分析例 1（教材 P108 的例 2）例 2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形已知：如图，梯形ABCD 中，对角线AC=BD 求证：梯形ABCD 是等腰梯形分析： 证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形在ABC 和 DCB 中，已有两边对应相等，要能证1=2，就可通过证ABC DCB得到 AB=DC 证明：过点D 作 DEAC，交 BC 的延长线于点E，又 AD BC， 四边形 ACED 为平行四边形， DE=AC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 AC=BD ， DE=BD 1=E 2=E ， 1=2 又 AC=DB ，BC=CE ， ABCDCB AB=CD 梯形 ABCD 是等腰梯形说明：如果AC、BD 交于点 O，那么由 1=2 可得 OB=OC ，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交， 可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AEBC，DFBC，可证RtABCRtCAE ，得 1=2例 3（补充）已知：如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，CFBE 交 BD 于 G，F 是垂足求证：四边形ABGE 是等腰梯形分析： 先证明OEOG，从而说明 OEG45 ，得出EGAB ，由 AE，BG 延长交于 O，显然 EG AB得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形例 4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、 12cm，高为 3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积分析： 梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形如图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成AECD 的画图画法：画ABE，使 BE=12 4=8cm. 延长 BE 到 C 使 EC=4cm. 分别过 A、C 作 AD BC ，CDAE，AD 、CD 交于点 D四边形 ABCD 就是所求的等腰梯形解：梯形 ABCD 周长 4125226cm ）（梯形224312421cmSABCD答：梯形周长为26cm，面积为242cm六、随堂练习1下列说法中正确的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（A）等腰梯形两底角相等（B）等腰梯形的一组对边相等且平行（C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90 度（D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角2已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为 _cm3已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数4已知，如图，在四边形 ABCD 中，AB DC， 1=2，AC=BD ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形（ 略 证BCDADCBDCADC， AD=BC，CBADABACBADB， AB DC）5已知， 如图，E、F 分别是梯形ABCD 的两底 AD 、BC 的中点，且 EFBC，求证：梯形ABCD 是等腰梯形七、课后练习1等腰梯形一底角60，上、下底分别为8，18，则它的腰长为_，高为 _，面积是_2梯形两条对角线分别为15， 20， 高为 12，则此梯形面积为_3已知：如图，在四边形ABCD 中， B=C，AB 与 CD 不平行，且AB=CD 求证：四边形ABCD 是等腰梯形4如图 4.9-9，梯形 ABCD 中，AB CD，AD=BC ，CEAB 于 E，若 ACBD 于 G求证： CE=21（AB+CD ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -