2022年《导数在研究函数中的应用单调性》教学案例分析 .pdf

附件 3:学案导学基本课堂模式( 教学设计 )1.3.1导数在研究函数中的应用单调性教学案例分析高淳县永丰中学邢富根一、教材分析本小节选自普通高中课程标准数学教科书- 数学选修 2-1（苏教版）第一章函数及其应用 -单调性，主要内容是学习导数在求函数单调区间中的作用。一来可以对之前常见函数求导和运算法则进行加深巩固，其次也是导数作为工具研究函数最值等性质，还原函数图像的基础。在高考中占有举足轻重的地位。二、学生学习情况分析本节课的教学对象是普通农村中学理科班的学生，基础相对比较薄弱， 对于导数的基本运算应该掌握的不错，但是本节课所要用的函数基础知识，不等式解法等前期学习的内容遗忘的比较多，而且学生个体情况差异较大， 这都增加了本节课的难度， 教师必须要认识到这一点， 教学中要控制难度要求， 关注学生学习过程。三、设计意图本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景， 对导数在单调性中的应用首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。要结合实例，借助几何图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，熟练三角， 分式，对指等常见不等式解法用以求函数单调区间。本节课采用教师设问启发引导，学生探究学习的教学方法，通过情景创设，引导探究，师生交流，形成概念，获得方法，综合应用。本节课使用多媒体辅助教学，为学生提供直观感性材料，有助于对学生对问题的理解和认识。四、教学目标1、知识与技能：通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握如何由导数判断函数的单调区间及增减性2、过程与方法：会用导数判断函数的单调性，并用其知识解决一些实际问题3、情感态度与价值观： 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律五、教学重点与难点教学重点：利用导数判断函数单调性的方法教学难点： f ( x) 0 为 f （x）增函数的充分条件六、教学过程设计教学流程：创设情景引出课题师生活动形成理论问题解决提升应精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 用 归纳总结（一）熟悉背景、引入课题师：我们先前学习了导数的定义，学习了常见导数求导法则和运算法则，复合函数求导，而我们学习这一切为了什么呢？师：其实导数在高中部分的学习， 很大程度上都是作为工具用来研究函数的性质，比如说，函数的单调性，最值，都可以通过导数的运算辅助得出，而且又快有准。这节课我们以单调性为例来看看导数的作用。我们先来想想，函数单调性通常有哪些方法可以处理。生 1. 可以通过函数图像观察得到函数的单调区间。师：对（投影给出图像1,2 并提出问题，生也能很好的回答）问题 1：讨论函数342xxy的单调性 . 问题 2 ：讨论函数xxy1的单调性。图 1 图 2 师：还有没有其他有效地办法。生 2. 还有函数单调性的定义法。师： 很好，函数的单调性定义是先前我们完成函数单调性证明的唯一方法，谁能回顾下较完整的单调性定义？生 3. 一般地，对于给定区间上的函数f(x) ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，若)()(21xfxf，那么 f(x) 在这个区间上是增函数 . 相反如果)()(21xfxf，那么 f(x) 在这个区间上是减函数 . 师：（一是帮助学生整理定义，二是提醒学生用词的准确性，比如任取，定义域等）对，我给你们三个函数，你们帮我求出函数单调区间。问题 3：求下列函数单调性1. xxxxf232)(2.xxxfln)(3.1xeyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 生 4：又画不出图像，定义法又太繁琐，不会求。师：恩，这节课我们就来探求一下导数对函数单调性的帮助。设计意图：考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对导数对函数单调性作用的理解，不妨从学生自己的已有知识和实际问题入手”。因此，新课引入让学生充分熟悉已有概念和它的知识背景，提出问题，让学生形成强烈的求知欲。从而自然地导入课题。 （二）师生活动，构建新知 1 确定探究问题师：我们回到单调性定义，以增函数为例，观察21xx，)()(21xfxf的正负符号，如何数学表示生 5：同号，可以用0)()(2121xxxfxf表示。师：还可以用其他方法表示吗？生 5：0)()(2121xxxfxf师：对，你再细细看看你所表达的东西像什么？讨论总结一下。生：平均变化率0 xy，就是如果函数单调递增了，就是区间内任取两点的平均变化率大于零，也就是割线斜率大于0。师：你说是可以“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近。你们觉得可以得到什么。生 6：瞬时变化率，就是某点切线的斜率，应该是区间内任意一点切线的斜率都大于 0， 或者说如果函数单调递增， 函数区间内任意一点处的导数都是大于零。师：总结（数形结合）增函数有0)()(2121xxxfxff ( x) 0 师：以刚才所说的二次函数为例，我们看到图像。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2形成结论： 结论:一般地,设函数 y=f(x)在某个区间内可导 ,则函数在该区间如果 f(x)0, 则 f(x)为增函数 ; 如果 f(x)0, 得函数单增区间 ; 解不等式 f (x)0, 得函数单减区间 . 师：对，导函数的正负和原函数的单调性关系密切。设计意图： 这一个环节， 紧扣课标要求， 立足课本但高于课本， 优选课本例题，精选变式练习（涉及三角，对指，分数不等式解法）。让学生利用新学知识去解决实际问题，解题过程中注意过程的完整性，通过学生板演充分暴露易错，易发生的问题，强化记忆。充分发挥学生主体作用，适时归纳总结一般性过程 （四）提升应用，融会贯通应用导数信息确定函数大致图像例 2、已知导函数的下列信息：试画出函数图像的大致形状（如图三）图三以上学生通过独立思考很快就可以画出图像，在这里，教师适当解释A，B两个临界点的归属问题。问题升级（04 浙江理工类）设 f(x)是函数分 f(x)的导函数， y= f(x)的图像如图 4所示，则 y=f(x)的图像最有可能是（）图四设计意图：第三部分主要是通过函数解析式求解函数单调区间，本部分则从反方面由导函数大概的反应出函数的特点，能够画出函数的草图。 这部分要求学生充分渗透函数观点（数形结合）解决问题 23()0;32()0;32()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （五）归纳小结、巩固新知师：通过本节课的研究，你明确了什么？生：明确了导数正负符号与函数单调增减的联系，求函数单调性的一般步骤。师：解题时应该注意什么？生：1.原函数定义域限制。2.导函数涉及的不等式解法问题。3.能绘制一些函数的草图。（六）作业布置、课后自评课本 P34. 2,7两个大题，课课练相应部分。七、教学反思在这个班的教学过程中， 我自我感觉还是不错的， 学生的作业完成的也很好，但是时间控制上感觉不是很到位，最后的总结匆匆而过，由于编排内容比较满，有些地方甚至缩短了学生独立思考的时间，没有让学生充分的这是展示他们的一些似是而非的想法，怕时间不够。教学以学生为主体，要求教师在课堂教学中，得根据学生已有的认知状态和生活经验， 设计一系列的问题，让学生在独立思考、合作交流、 自主探索的过程中主动去发现，构建新知识， 获得对数学学习的积极体验。教学过程中要始终紧扣课标要求，充分利用教材资源， 比如，1.本课的导数与函数关系探究过程， 笔者由课本归纳结合习题1.3 的第一小题设计出的由割线斜率往切线斜率上的转换。 2.变式练习的选用上，笔者关注到P29 练习中涉及指数不等式而推广开来的。八、点评：1、课题引入自然贴切，从函数单调性定义回顾割线的斜率切线的斜率导数的符合与单调性的对应关系，逻辑关系支持清楚完整，毫无生硬的痕迹。2、使用了多媒体手段进行教学，节省了书写时间。 对有关问题的表达清楚，完备。3、例题的选择针对性强、有梯度，循序渐进，将学生不断地引向深入。4、学生主体作用发挥较好，学生能主动地跟着老师讲解、探讨问题。如：解完一组题后，学生能对这组题的解题步骤进行归纳总结：定义域、求导、判断符号、下结论。5、安排学生上黑板解答问题，这样做，便于暴露问题，分析问题，解决问题。如：解不等式的问题、定义域看不清或根本不考虑定义域等等问题，教师能及时抓住这些问题进行点评、分析、促进了学生思维水平、解决规范的再提升。点评人：谷孝义精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -