2022年《现代控制理论》第3版课后习题答案 .pdf

现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。11KsKKpsKsKp1sJ11sKn22sJKb-+-+-)(s)(sU图1-27 系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(sU)(s-+图 1-30 双输入 -双输出系统模拟结构图1KpKK1pKK1+pKnK11J2JKb-1x2x3x4x5x6x系统的状态方程如下：uKKxKKxKKxXKxKxxxxJKxJxJKxJKxxJKxxxppppnpb1611166131534615141313322211令ys)(，则1xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为654321165432111111112654321000001000000000000000010010000000000010 xxxxxxyuKKxxxxxxKKKKKKJKJJKJKJKxxxxxxppppnpb1-2 有电路如图1-28 所示。以电压)(tu为输入量， 求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R上的电压作为输出量的输出方程。R1L1R2L2CU-Uc-i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,xuxixic，输出量22xRy有电路原理可知：3213222231111xCxxxxRxLuxxLxR既得22213322222131111111111xRyxCxCxxLxLRxuLxLxLRx写成矢量矩阵形式为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 32121321222111321000010111010 xxxRyuLxxxCCLLRLLRxxx。其中， c1,c2表示位移， y1,y2 表示速度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 1-4 两输入1u，2u，两输出1y，2y的系统，其模拟结构图如图1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。11a3a4a2b1b1u2u1y2y+-+5a6a2a图1-30双输入 -双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示：11221621335432441234010000001001000010000010 xxxaaaxbuxxaaabxxxxyxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 2165430100010010aaaAaaa12000000bBb10000010C2165431000()1010sasaasIAsaasa211345612100000001010001)()(bbaaasaasasBAsIsWux121611543210000001000( )()00101010000uysasaabW sCsIABsaasab1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 36 页 - - - - - - - - - - uuuyyyy23375)2(.列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令.3.21yxyxyx，则有321321321132100573100010 xxxyuxxxxxx。相应的模拟结构图如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 573uy+-31x2x3x211-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(sssssW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：sssssssssW31233310)3(4)3)(2() 1(6)(22432143214321313310411100000020000300013xxxxyuxxxxxxxx1-7 给定下列状态空间表达式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 321321321100210311032010 xxxyuxxxxxx（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）31103201)()(sssAsIsW) 1)(2)(3()3(2)3(2ssssssAsI)2)(1(150)3()3(2033) 1)(2)(3(1)(21ssssssssssssAsI)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)()(21ssssssssssssssssssssBAsIsWux) 1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1sssssssssssBAsICsWuy1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）6712203010A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 解：A 的特征方程061166712230123AI解之得：3,2, 1321当11时，3121113121116712203010pppppp解得：113121ppp令111p得1113121111pppP（或令111p，得1113121111pppP）当21时，32221232221226712203010pppppp解得：1232122221,2pppp令212p得1423222122pppP（或令112p，得21213222122pppP）当31时，33231333231336712203010pppppp解得：133313233,3pppp令113p得3313323133pppP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）32121321321110021357213311201214xxxyyuxxxxxx解：A 的特征方程0)3)(1(311212142AI1, 332, 1当31时，3121113121113311201214pppppp解之得113121ppp令111p得1113121111pppP当32时，1113311201214312111312111pppppp解之得32222212, 1pppp令112p得0013222122pppP当13时，332313332313311201214pppppp解之得3323132,0ppp令133p得1203323133pppP101201011T1102112101T精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 4325183572131102112101BT302413101201011110021CT约旦标准型xyuxx3024134325181000300131-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和 W2(s) 2102111)(1sssssW0114131)(2ssssW试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解： （1）串联联结)2)(1(1)1(1)4)(3)(2(75)3)(1(121021110114131)()()(2212ssssssssssssssssssWsWsW（2）并联联结01141312102111)()()(11ssssssssWsWsW1-11 （第 3 版教材）已知如图1-22 所示的系统，其中子系统1、2 的传递函数阵分别为210111)(1ssssW10012)s(W求系统的闭环传递函数解：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 2101111001210111)()(211sssssssWsW2301121001210111)()(1ssssssssIsWsWI320)3(12112012331)()(121sssssssssssssssWsWI310)3(1211101)1)(2(3312111112012331)()()()(1121ssssssssssssssssssssssssWsWsWIsW1-11（第 2版教材）已知如图1-22 所示的系统，其中子系统1、2 的传递函数阵分别为2121111sss)s(W10012)s(W求系统的闭环传递函数解：212111100121211111ssssss)s(W)s(W232112100121211111ssssssss)s(W)s(WI1221232512111sssssss)s( s)s(W)s(WI精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 252)25)(2(66251)25()2()83() 1(1121)2(222)2(1)2(32) 2(325) 1(2112112212325) 1()()()()(222322222221111ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssWsWsWIsW1-12 已知差分方程为)(3) 1(2)(2)1(3)2(kukukykyky试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数 b(即控制列阵 )为（1）11b解法 1：21112332)(2zzzzzzW)(11)(2001) 1(kukxkx)(11)(kxky解法 2：)(2)(3)()(3)(2) 1()() 1(2121221kxkxkyukxkxkxkxkx)(23)()(10)(3210) 1(kxkykukxkx求 T,使得111BT得10111T所以1011T15041011321010111ATT13101123CT所以，状态空间表达式为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 36 页 - - - - - - - - - - )(13)()(11)(1504)1(kzkykukzkz第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate。（2） A=1141解：第一种方法：令0IA则11041，即2140。求解得到13，21当13时，特征矢量11121ppp由111App，得1111212131134 1pppp即112111112121343pppppp，可令112p当21时，特征矢量12222ppp由222App，得121222221141pppp即1222121222224pppppp，可令212p则1122T，111241124T3333311111111024224422111102422tttttAtttttteeeeeeeeeee第二种方法，即拉氏反变换法：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 1141ssIAs11114131ssIAsss113131413131ssssssssss1111112314311111131231ssssssss331133111122441122ttttAttttteeeeeLsIAeeee第三种方法，即凯莱哈密顿定理由第一种方法可知13，21313303113131344441111114444tttttttteeeeeeee3333331111101113132244014111444422ttttAttttttttteeeeeeeeeeeee2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。（3）22222222tttttttteeeeteeee（4）3333112412tttttttteeeeteeee解： （3）因为10001I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2222000222421324tttttttttteeeeAteeee（4）因为10001I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 33033013131122441341322tttttttttteeeeAteeee2-6 求下列状态空间表达式的解：010001xxu1,0yx初始状态101x，输入u t时单位阶跃函数。解：0100A10ssIAs2121111010ssssIAsss11101AttteLsIA因为01B，u tI t00tx tt xtBud01110011011tttd0111tttd21121ttt21121ttt211012yxtt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 2-9 有系统如图2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s 和 1s，而1u和2u为分段常数。K/(s+1)211/su1XXx1u2+-+x2y图 2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图K21u1XXx1u2-+x2y-X列出状态方程111xkux212xxu212yxx121001001ukxxu122 1xyx则离散时间状态空间表达式为1x kG T x kH T u ky kcx kDu k由AtG Te和0TAtH Te dtB得：1010A001kB21TC111100111TAtTseeLsIALse00100001001011111TtTTTAtTTTkekkeeHe dtdteTeTk TeT精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 当 T=1 时11111001111keex kx ku keke121y kx k当 T=0.1 时0.10.10.10.11001110.90.1keex kx ku kek e121y kx k第三章习题3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图 3.16所示：abcd+-+-yu1x2x3x4x图3.16 系统模拟结构图解：由图可得：343432112332211xydxxxcxxxxxcxxbxxuaxx状态空间表达式为：xyuxxxxdcbaxxxx0100000110001100000043214321精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 由于2x、3x、4x与 u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：xdcyubaxxxxxx00000012200010011321321解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有0, 0 ba。要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0 dc。3-2 时不变系统XyuXX111111113113试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：2-2-112-2-11ABBM1111,1111,3113CBA系统不能控。,21rankM44221111CACN系统能观。, 2rankN方法二：将系统化为约旦标准形。420133113AI212，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 1-1PPPA11PPPA2222211111则状态矢量：1-111T，21212121T1-4-002-1-1113-113-21212121ATT1-0011111121212121BT1-20021-1111-111CTBT-1中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为 0 的列，系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数ii和11,11,01) 1(21CbA解：构造能控阵：21111AbbM要使系统完全能控，则211，即0121构造能观阵：21111CACN要使系统完全能观，则121，即01213-4 设系统的传递函数是182710)()(23sssassusy（1）当 a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（2）当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当 a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 解：(1) 方法 1 ：)6)(3)(1()()()(sssassusysW系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或 a=3或 a=6时，系统为不能控或不能观。方法 2：6s156-a3631s101-a)6)(3)(1()()(sasssassusy631321，XaaayuXX15663101111600030001系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为 0 的列。因此当 a=1,或 a=3或 a=6时，系统为不能控或不能观。（2）当 a=1, a=3或 a=6 时，系统可化为能控标准I 型 x01ayu100 x102718100010 x（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或 a=4时，系统的能观标准II 型为 x 100yu01ax101027011800 x3-6 已知系统的微分方程为：uyyyy66116.试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：63611603210baaaa，系统的状态空间表达式为 x006yu100 x6116100010 x传递函数为6116610061161001006A)-C(sI)(2311-ssssssBsW精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 其对偶系统的状态空间表达式为： x100yu006x6101101600 x传递函数为61166)(23ssssW3-9 已知系统的传递函数为348622ssss)s(W试求其能控标准型和能观标准型。解：345213486)(222ssssssssW系统的能控标准 I 型为u x25yu10 x4-3-10 x能观标准 II 型为u x10yu25x4-13-0 x3-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 x100yu210 x311032010 x解：100210311032010CbA，11527213102bAAbbM。不能变换为能控标准型，系统为不能控系统，32rankM9713111002CACACN以变换为能观标准型。，系统为能观系统，可3rankN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 3-11试将下列系统按能控性进行分解（1）111,100,340010121CbA解：9310004102bAAbbMrankM=23，系统不是完全能控的。构造奇异变换阵cR ：010301100321RAbRbR，其中3R 是任意的，只要满足cR 满秩。即031100010cR得0100011031cR1002412301ccARRA0011bRbc121ccRc3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解（1）111,100,340010121CbA解： 由已知得111,100,340010121CbA则有4742321112CACACNrank N=23，该系统不能观构造非奇异变换矩阵10R ，有10111232001R则0311210001R11000010123027321xRAR xR buxu精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 0100ycR xx3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解（1）211,221,102322001CbA解：由已知得211121226202MAAbAbrank M=3，则系统能控21121257411cNcAcArank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取211121226202cT，则1217344173215344cT则002105014A，12100cBTb，271323cccT3-14 求下列传递函数阵的最小实现。（1）1 111 11w ss解：01，01 11 1B，1001cA1001cB，1 11 1cC，0000cD系统能控不能观取101101R，则01101R所以10010?01AR AR，1011?01cBR B010?10cCC R，00?00D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 所以最小实现为?1mA，?11mB，1?1mC，00?00mD验证：1111?111mmmCsIABw ss3-15 设1和2是两个能控且能观的系统1121210431022221111CbACbA，：，：（1）试分析由1和2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由1和2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1）1和2串联当1的输出1y 是2的输入2u 时，331222xxxx010034012120 xxu，001yx20141413014MbAbA b则 rank M=23，所以系统不完全能控。1271)4)(3)(2(2)()(21ssssssBAsICsW当2得输出2y 是1的输入1u 时011034100021xxu，210yx因为2001016124MbAbA brank M=3 则系统能控因为2210321654cNcAcArank N=20)。解：因为1001cNcA满秩，系统能观，可构造观测器。系统特征多项式为21detdet0IA，所以有10010,0,10aaL1011001100110TLN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 34 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 0110T于是11001100 xTATxT buxu0,1ycTxx引入反馈阵12gGg，使得观测器特征多项式：12221detdet1fIAGcgggg根据期望极点得期望特征式：*22232frrrr比较 f与*f各项系数得：2213 ,2gr gr即223rGr，反变换到 x 状态下2201321023rrGTGrr观测器方程为：22?3103?2012xAGc xbuGyrrxuyrr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 35 页，共 36 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 36 页，共 36 页 - - - - - - - - - -