2022年《电磁场与电磁波》课后习题解答 .pdf

第一章习题解答【习题 1.1 解】222222222222222222222222222222222222coscoscoscoscoscos1xxxyzyxyzzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz矢径r与 轴正向的夹角为，则同理，矢径 r与y轴正向的夹角为，则矢径r与z轴正向的夹角为，则可得从而得证aabbggabg=+=+=+=+=+【习题 1.2 解】924331329(243 )54(9) (243 )2 36 335xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzABeeeeeeeeeA BeeeeeeeeeA BeeeeeeA B（） （）（）(9) (243 )19124331514xyzxyzxyzxyzeeeeeeeeeeee【习题 1.3 解】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 已知,38,xyzxyzAebece Beee（1）要使AB，则须散度0A B所以从1380A Bbc可得：381bc即只要满足 3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。（2）要使AB，则须旋度0AB所以从1(83 )(8)(3)0138xyzxyzeeeABbcbc ec eb e可得 b=-3，c=-8 【习题 1.4 解】已知129xyzAeee，xyBaebe， 因为BA， 所以应有0AB即1291290 xyzxyeeeaebeab又因为1B; 所以221ab；由，解得34,55ab【习题 1.5 解】由矢量积运算规则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 123233112()()()xyzxyzxxyyzzeeeACaaaa za y ea xa z ea ya x exyzB eB eB eB=?=-+-+-=+取一线元：xyzdle dxe dye dz则有0 xyzxyzeeedlBBBdxdydzB?=则矢量线所满足的微分方程为xyzd xd yd zBBB或写成233112()dxdydzka za ya xa za ya x常数求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法kxaayaazadzaaxaayadyaazaaxad323132132231211)()()(（1）kxayazzdzzaxayydyyazaxxdx)()()(211332（2）由（1） （2）式可得)()(31211yaaxaakxad)()(21322zaaxaakyad（3）)()(32313xaayaakzad)(32xyaxzakxdx)(13yzaxyakydy（4）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - )(21xzayzakzdz对（3） （4）分别求和0)()()(321zadyadxad0)(321zayaxad0zdzydyxdx0)(222zyxd所以矢量线方程为1321kzayaxa2222kzyx【习题 1.6 解】已知矢量场222()()(2)xyzAaxzxebyxy ezzcxzxyz e若A是一个无源场，则应有 divA=0 即： divA=0yxzAAAAxyz因为2xAaxzx2yAbyxy22zAzzcxzxyz所以有 divA=az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题 1.7 解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径r到柱面的距离相等（ra）所以，2sssr dsrdsadsaah22 a h精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【习题 1.8 解】已知23 xy,223yzAx yzexy e而AAAArot)()(2222(6)3203xyzxyzeeeAxyx y ey exyzexyzx yzxy2223(6)32xyzAx yxyx y ey exyze又yxzyxexexyzeyexe236232233222630918603xyzxyzeeeAxyxx y ex y ex y zex yzxy所以222()3(6)32xyzrotAAAx yxyx y ey exyze+zyxezyxeyxeyx2332236189 =49)9(3222zyxexzeyexxyx【习题 1.9 解】已知222(2)( 2)( 22)xyzAyx zex yz exzyz e所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1 144(22 )0 xyzyyxxzzxyzxyzxyzAAAAAArotAAxyzyzzxxyAAAxzxzyye eeeeeeee由于场A的旋度处处等于0，所以矢量场A为无旋场。【习题 1.10解】令 ln(222xyz)=C,222xyz=ce，ce=1+4+9=14 因此 Cln14 222xyz14 为等值面方程【习题 1.11解】求函数=233xy在点 M(2,3) 处沿曲线y=21x朝 x 增大一方的方向导数解: (2,3)|6|36Mxyx22(2,3)|33|15Mxyy在 L 取一点 (x,y) y=2x-1(2x) 沿 L 的方向的方向余弦为: 2xc222os(2)(3)xxlxy2145xx223cos(2)(3)yylxy2245xxx因为0l则(x,y) (2,3) 所以1cos174cos17精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 又因为coslxcosy=2417【习题 1.11解 2】求函数=223xy在点 M(2,3) 处沿曲线y=21x朝 x 增大一方的方向导数曲线 y 在 M 点沿所取方向的切线斜率为：42MMxy所以4tg因此，方向余弦为17111cos2tg174cos236xyx6232yxy所以所求的方向导数为1760174617136coscosMyxl【习题 1.12解】标量场r1该标量为一个以直角坐标系的O 点为球心的球面求切平面的方程该平面的法线向量为111333xyzneee根据平面的点法式方程，得平面方程为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 111111()()()0333333xyz整理，得：3xyz【习题 1.13解】22coscoscos()cos(2)cos(2)cos121(11 2)(21 1 1 2)(221 1)222130122xyzyyzxyxzzxy【习题 1.14解】矢量A的方向余旋为2222cos/)()()3yzyzxzxy（2221cos/)()()3xzyzxzxy（2222cos/)()()3xyyzxzxy（满足题意方向导数：2223coscoscos6cos(33)cos( 2)cos173MulAxyzxyxy zy z精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【习题 1.15解】0222222222coscoscos954cos314(51)(41)(192)413cos314(51)(41)(192)19217cos314(95)(41)(192)431731431431441 25314xyzMlxyzllllllyzxzxyll又31712325 13143143141235,1,25,1,29 4,19314xyz即函数在点（）处沿着点（）到点（，）的方向导数为。【习题 1.16解】(23)(42)(66)xyzxyzgradeeexyzxyeyxeze所以(0,0,0)326xyzgradeee(1,1,1)63xygradee【习题 1.17解】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - (1)()()()()()()()(2):()()xyzxyzxyzxyzuuugradueeexyzvvvgradveeexyzuvuvuvgradugradveeexyzgraduvvvvgradveeexyzvvxx证：证2()()(3)()2222.xyzxyzvveveveyyzzvgradgradvuuugraduueueuexyzu gradu证：【习题 1.18解】（1）证明（A+B）= （xeX+yey+)zez)(eBeBeBeAeAeAzzyyxxzzyyXx=)()()(BABABAZzyyxxzyx=（)zyxAAAzyX+（)zyxBBBzyx=BA得证(2)()()(AzyxAeeezyX=()()()XyzAAAxyzeee精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - =)(xAxAex)(yAyAey+)(zAzAez=()()XyxzxyzyzAAAeeeAxyzxyzeee=AA得证【习题 1.19解】nnnnnnnrnzyxzyxzyxnzyxzyxzzzyxyyzyxxxr rzyxzyxzyxzyxrxxrzzryyrxxzyxzyxzzyxzyxzzrzzzyxzyxyzyxzyxyyryyzyxzyxxzyxzyxxxrxxrzzryyrxxrr)3()()()()(3)()()()()2(0)( 3)(3)(1)()(3)()()()(3)()()()(3)()(1222222222222222222222222222122222223222322233333222212222232222322233222212222232222322233222212222232222322233333同理可得：）（）证明：（【习题 1.20解】已知12222()xyzrxyzrxeyeze所以精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - z(1)()()yzxyzzyxzyx()()()yzzxxz0000 xyzxyzxyxyzreeexeyezexyzeeexeeey12222xy333322222222222222222z111222222222222(2)()r()zy-zyxz-xz()e()e()()()()xy(yzxyz()()()xyzxzxyxeyezereeexyzxyzxyzxyzxyzxyzxyeeexxyzxyzxyzz332222222-xy)e)()0 0 00zxyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - y12222z1112222222222223322222222222(3)f (r)() f(r)r()yzxf(r)yf(r)zf(r)()()()zyf(r)zyf (r)-zyyzf (r()()xyzxzxyxeyezereeexyzxyzeeexxyzxyzxyzxyzxyzxyzx222y3322222222222222z3322222222222222)exzxzf (r)-xzxzf (r)()e()()xyxyf (r)-xyxyf (r)()()()0-0+00 xyzxyzxyzxyzxyzexyzxyzxyzxyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【习题 1.21解】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - A BB【习题 1.22解】证明：令则左边 = = 又由题得= = 同理有= 故等 式 右边= = = 故左边 =右边，得证精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【习题 1.23解】2232222V2Va224032505XZX YZ2XY+YZ VZ =XYZV3ZV = (3Z3)3Z)5|adxyddaZdVaZaV由散度定理得：（）（）（） I=（） =(2 =5【习题 1.24解】222222221111111111()()()()()()()()()()HctEEctct ctctEctctHHct ctctEEEHHHHE证毕。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【习题 1.25解】由题意可知：左=2()()v=()xyzeeexxz=()xexx+()()yzeeyyzz =()=+=222即证【习题 1.26解】（1）解：22x=2sinx sinyze22y2sinx sinyze22z=2sinx sinyze222；22x22y22z（222）sinx sinyze0；满足拉普拉斯方程。（2） 解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为：22222211()()rrrrrz1()rrrr22cosnn rn2221()r22cosnn rn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 22z0；22222211()()rrrrrz0 ；满足拉普拉斯方程；【习题 1.27解】解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 【习题 1.28解】22222222222211()(sin)sinsin(, , )()()()()kRkRkRkRkRkRkRkRkRRRRRRReRRRReeRekReRkekek Ree2222222证明：在球面坐标下，拉普拉斯算子表示式为：1=R1R1R11kRRR1R1RkR【习题 1.29解】xxyzxxyzx:A,: A0;0=eA = yzezxexyee0yzezxexyeeyzyzyzAeexyzyzzxxyeexyzxyzAeexyz证明为调和场 即无源又无旋场则需满足以下条件而+xxyzxe ()()()0AA=-yzezxexyee;:yzyzxyzxyzxyeyzzxzxzyexyeexyzzyzxxyxyzxyz C所以为调和场 .+可得精品资料 - 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