平面向量与解析几何、三角形综合问题整理归纳.pdf

平面向量与解析几何、三角形等相结合问题平面向量与解析几何、三角形等相结合问题近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理 .平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.考向 1平面向量与解三角形【例 1】 （2018 春定州市校级期中）O为ABC的外心，AB BC sinC(cos A3) cosCsin A 0若AO xAB yAC(x, yR)则2 3AC，3x ()yA1B1C3D 3解：设三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB BC 2 32 3sinC(cos A3) cosCsin A 0， 得c a sinCcos A cosCsin A 3sin C，AC，b，33即为sin(C A) 3sinC，即有sin B 3sin C，可得b 3c，a c，c2 a2b2c2c23c21，可得B 120，A C 30，cosB 2ac2c22213若AO xAB yAC，可得AO AB xAB yAC AB，即有c2 xc2y223c2，233化为2x3y 1，又可得AO AC yAC xAC AB，即有c2xc2 y 3c2，化为x 2y 1，22x解得x 1，y 1，则 1，故选：By【例 2】 （2019白银模拟）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B 满足sin AsinC 2sin B，则该三角形的外接圆的半径R为1解：因为AB BC accos( B) ac 2，所以ac 423，AB BC 2，且由余弦定理得：b2 a2c22accosB又因为sin AsinC 2sin B，所以a c 2b所以所以(a c) (a c)23ac，243(a c)212，所以(a c) 16，所以a c 4，所以b 2，24所以2R b24 32 32 3，所以R 故答案为：0sinBsin60333【变式训练】 （2019 秋浦东新区期末）已知ABC满足3ABAC13(AB AC)，则BAC为| AB| AC | AB AC |解：如图，设3ABAC AB, AC，则| AD |13，在ACD中，| AB| AC |由余弦定理有，cosACD 19131 ，故ACD 120，BAC BAC 60故答案为：602132考向 2平面向量与三角形“四心”【例 3】 （2020淮南一模）在ABC中，AB4，AC 6，点O为ABC的外心，则AO BC的值为()A26B13C523D10解 ： 过O作OS AB，OT AC垂 足 分 别 为S，T则S，T分 别 是AB，AC的 中 点 ，64AO BC AO (AC AB) AO AC AO AB | AC | AT | | AB | AS | 6410故选：D22【例 4】已知ABC的垂心为H，且AB 3，AC 5，M是BC的中点，则HM BC ()A5B6C7D8解：ABC的垂心为H，且AB 3，AC 5，M是BC的中点，35不妨取特殊三角形如图：A、H重合，B(3,0)，C(0,5)，M(，)，BC (3,5)，2235925则HM BC (，) (3，5) 8故选：D2222【变式训练】 （2019怀化一模）已知点G是ABC的重心，AG AB AC(,R)，若A 120，AB AC 2，则| AG |的最小值是()A33B22C23D34解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，AG 21AD (AB AC)33A 120，AB AC 2，则根据向量的数量积的定义可得，AB AC | AB | AC |cos120 2设| AB| x,| AC | y| AB| AC | 4即xy 42211112| AG| AB AC |(AB AC)2AB AC 2AB AC x y243333x2 y22xy 8（当且仅当x y取等号）| AG |22即| AG |的最小值为故选：C33考向 3平面向量与平面解析几何【例 5】 （2020苏州模拟） 在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C :(x a)2(y 2)2 4上两个动点，且AB 2 3若直线l : y x上存在点P，使得PA PB OC，则实数a的取值范围为解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(y y2x1 x2，1)，22圆C :(x a)2(y 2)2 4的圆心C(a,2)，半径r 2，圆心C(a,2)到AB的距离|CM |4( 3)21，直线l : y x上存在点P，使得PA PB OC，设P(x,x)，则(x1 x，y1 x) (x2 x，y2 x) (a，2)，ax1 x2 x x1 x2 2x aaa2，得2，即M(x ，x 1)，|CM |(x )2 (x 1)21，22y1 y2 2x 2y1 y2 x 12a2整理，得2x (2a)x 0，42直线l : y x上存在点P，使得PA PB OC，a2 (2a) 80，解得22 2 a2 2 2故答案为：22 2 a2 2 242【例 6】 （2020衡阳一模）设抛物线y2 4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，1若点M(2,t)满足OM (OAoB)，则| AB|2解：抛物线y2 4x的焦点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB过焦点F(1,0)，| AB | x1 x2 2，又1| AB | x1 x2 2 6，故答案为：6OM (OA oB)，则M(2,t)是AB的中点，x1 x2 4，21 （ 2020 兴 宁 区 校 级 模 拟 ） 已 知O是 三 角 形ABC所 在 平 面 内 一 定 点 ， 动 点P满 足OP OA(| AB| AB| AC | AC)，R则P点的轨迹一定通过三角形ABC的()sinCsinBA内心解：由正弦定理可知：B外心C重心D垂心| AB| AC | 2R，R为三角形的外接圆的半径，sinCsinB| AB| AB| AC | AC) OAR(AB AC)因为AB AC是以AB，AC为邻sinCsinB所以动点P满足OP OA(边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心故选：C2 （2020茂名一模）在ABC中，B C 60，AB2，且点M满足BM 2CM，则AM BC ()A3解：如图，B6C8D12三角形ABC为等边三角形，且边长为2，由BM 2CM，得BC CM，AM BC (AC CM) BC AC BC BC 22cos6046故选：B23 （2020淮南一模） 在ABC中，AB 3，AC 5， 点N满足BN 2NC， 点O为ABC的外心， 则AN AO的值为()A17B10C172D596解：过O作OS AB，OT AC垂足分别为S，T则S，T分别是AB，AC的中点112AN AC CN AC (AB AC) AB AC，333121212所以AO AN AO (AB AC) AB AO AC AO | AB| AS | AC | AT |，333333591325故选：D35，632324 （2019 秋东莞市期末）已知圆O的半径是2 2，点P是圆O内部一点（不包括边界） ，点A是圆O圆周上一点，且OA OP 2，则(OAOP)2的最小值为()A232B12C252D13解：如图，OA 2 2，OA OP 2 2 |OP |cosO 2，|OP|(OAOP)2OA 2OA OP OP 8 4(OAOP)2的最小值为2212cosO，0cosO 1，12cos2O25，当cosO 1时取等号，225故选：C2x2y25 （2020赤峰模拟）已知椭圆C:21，F1，F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都a 9a2有PF1PF2 0恒成立，则实数a的取值范围为()A(3，0)(0，3)B3，0)(0，3C(，3)(3，)D(，33，)解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中F1PF2最大时点P为短轴上的顶点，要使PF1PF2 0恒成立，则F1PF2为锐角，即F1PO 45，即tanF1PO c1，所以c2 b2，b而c2 a2b2 a29a2 9所以9 a2，解得：a 3或a 3，故选：C6 （2020江苏二模）在ABC中，BC为定长，| AB 2AC | 3| BC |，若ABC的面积的最大值为 2，则边BC的长为2212解：取BC边上靠近C的三等分点D，则AD AB BD AB BC AB (AC AB) AB AC，333312又| AB 2AC | 3| BC |，|AB AC | BC |，即| AD | BC |，33SABC111| BC | h| BC | | AD| BC |2，其中h为BC边上的高，2221依题意，| BC |2 2，即| BC | 2故答案为：227（2019 秋常州期末） 在ABC中，A恒成立，则cosABC 解：根据题意，在ABC中，点D满足AD 2AC，设AD 2t，则AC 3t，3| AD AB |恒成立，必有BD AC，即ADB 3， 点D满足AD 2| xAC AB |且对任意xR，AC，3| AD AB |又由AD AB BD，若对任意xR，| xAC AB |又由A 2；3，则AB 2AD 4t，BD 3AD 2 3t，则BC BD2 DC213t，AB2 BC2 AC25 135 13；故答案为：ABC中，AB 4t，AC 3t，BC 13t，则cosABC 2 ABBC26268 （2019 春湖州期中） 如图， 在ABC中，M为边BC上一点，BC 4BM，AMC 的面积为4 3，则|CM |；cosBAC 3，AM 2，ABC解：BC 4BM，ABC的面积为4 3，所以| MC |:| BC | 3: 4，故AMC的面积为3 3，13由AMC的面积为| AM | MC |sin| MC |3 3，故| MC | 6，| BC |8，| BM | 2，232所以| AC |2 2262226cos| AB|2 22 22 222cos3 28，故| AC | 2 7，28 4 12，故| AB | 2 3，3AB2 AC2 BC212 28642121 所以cosBAC ，故答案为：6；2AB AC772 2 3 2 79 （2019 秋南京期中）在ABC中，已知(4AB AC) CB，则sin A的最大值等于解：在ABC中，(4AB AC) CB，(4AB AC) CB 0；(4AB AC) (AB AC) 0；如图所示，4AB 5AB AC AC 0，即5AB AC 4AB AC；4AB ACcos A 5| AB| AC |22222222| AB| AC |4，当且仅当2| AB | AC |时，“”成立；55| AB| AC |33此时sin A的最大值为1cos2A 故答案为：5510 （2019 春内江期末）如图，O在ABC的内部，且OA OB 3OC 0，则ABC的面积与AOC的面积的比值为解：取AB的中点D，连接OD，可得OA OB 2OD，由OAOB 3OC 0，即为2OD 3CO，1可得SACDSACB，222 11SACOSACDSACBSACB，55 25则ABC的面积与AOC的面积的比值为5:1故答案为：5:111（2019河南模拟） 在ABC中，点D满足AD 3DC， 且AB BD 2， 则边BC的长为ABC 60，解：设AB c，BC a，AC b，由AD 3DC，可得：AD 3b，4223b2) 4c AD BD3b4，AB BD 2，在ABD中，由余弦定理可得：cosA 3b2c AD1622424(b2c2a23bb24a2在ABC中，由余弦定理cosA，可得：，可得：b2 4a216 0，2bc162b21a2c2b2a2 4b2在ABC中，ABC 60，可得：，可得：b2 2a a24 0，22ac2a2可得：3a2 2a 20 0，解得：a 611611，负值舍去，即BC的值为33故答案为：611312 （2019亭湖区校级模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c 2 5，且2asinCcosB asin AbsinB 53bsinC，点O满足OA OB OC 0，cosCAO ，则ABC的面积28为解：如图：OA OB OC 0，所以O为三角形ABC的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使AE EF，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，3BF AC 4，cosAFB cosCAE cosCAO ，8设AE x，则AF 2x，BF2 AF2 AB2在三角形ABF中由余弦定理得cosAFB ，2 BF AF342(2x)2(2 5)2即，解得x 2，即AE 2824 2x又sinCAE 1cos2CAE 1955，648155SABC 2SAEC 2 AE AC sinCAE 2455故答案为：552813 （2020运城一模）已知抛物线C: y2 4x的焦点F与准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且FA 3FB，则| AB|解：已知抛物线C: y2 4x，所以DF 2，如图，因为FA 3FB，所以AF :FB 3:1，又DF :BC AF : AB，所以2: BC 3: 4，得BC 83232 BF，所以AB 4BF ，故答案为：33314 （2020衡阳一模）已知抛物线y2 4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若1第一象限的点M(t,2)，满足OM (OAOB)（其中O为坐标原点） ，则| AB|2解：由条件得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为：x my 1，mR，x my 1联立2，则y24my4 0，且y1 y2 4m，y1y2 4，y 4x由条件可知y1 y2 4m 4，解得m 1，t 故答案为：8x1 x2m(y1 y2) 2 3，所以| AB| 2(31)8，22x2y215 （2020毕节市模拟）过双曲线221(a 0,b 0)的右焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l与yab轴交于点P，若FM MP，且双曲线的离心率为3，则的值为解：设F(c,0)，则c a b垂线FM的斜率为222x2y2b双曲线C:221的渐近线方程为y x，abaaa，直线FM的方程为y (x c)，bb令x 0，得P的坐标(0,ac) ，bac y)，b设M(x, y)，| FM | PM |，(x c，y) (x，x c x且y acb 4y，即x cacb，y ，代入y x，15ba得acbc，即a2 b2，a2 c2 a2，(1)ba1(1)a2 c2，1a c，e 3， 2，故答案为：2