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    初中数学最值系列之阿氏圆问题.pdf

    • 资源ID:11539967       资源大小:293.51KB        全文页数:6页
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    初中数学最值系列之阿氏圆问题.pdf

    最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中 P 点轨迹是直线,而当 P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆如下图,已知A、B 两点,点P 满足 PA:PB=k(k1) ,则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆PABO下给出证明法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图,在ABC 中,AD 是BAC 的角平分线,则ABDBACDCAEFBDC证明:(2)外角平分线定理:如图,在 ABC 中,外角CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点D,则SSABDACDSBD,CDSABDACDABDEABABDB,即AC DFACACDCABDBACDCEABCD1证明:在BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC,连接BD,则 ACDAED(SAS) ,CD=ED 且 AD 平分BDE,则接下来开始证明步骤:DBABABDB,即DEAEACDCPAMBON如图, PA: PB=k, 作APB 的角平分线交 AB 于 M 点, 根据角平分线定理,故 M 点为定点,即APB 的角平分线交 AB 于定点;作APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点,根据外角平分线定理,定点,即APB 外角平分线交直线 AB 于定点;又MPN=90,定边对定角,故P 点轨迹是以 MN 为直径的圆PMAPA k,MBPBNAPA k,故 N 点为NBPBAMBON法二:建系不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称,设A(-m,0) ,则 B(m,0) ,设 P(x,y) ,PA=kPB,即:x m y2 kx m y222x m y2 k2x m k2y222k221x2 y22m 2k2mx k21m2 022m 2k2mx y x m2 02k 1解析式满足圆的一般方程,故P 点所构成的图形是圆,且圆心与AB 共线2那么这个玩意和最值有什么关系呢?且来先看个例子:如图,在 RtABC 中,C=90,AC=4,BC=3,以点 C 为圆心,2 为半径作圆 C,分别交1AC、BC 于 D、E 两点,点 P 是圆 C 上一个动点,则PAPB的最小值为_2ADPCEB1【分析】这个问题最大的难点在于转化PA,此处 P 点轨迹是圆,故转化方法与之前有所2不同,如下,提供两种思路法一:构造相似三角形注意到圆 C 半径为 2,CA=4,连接 CP,构造包含线段 AP 的CPA,在 CA 边上取点 M 使1得 CM=2,连接 PM,可得CPACMP,故 PA:PM=2:1,即 PM=PA2ADPMBC问题转化为 PM+PB 最小值,直接连 BM 即可【问题剖析】1(1)这里为什么是PA?211答:因为圆 C 半径为 2,CA=4,比值是 1:2,所以构造的是PA,也只能构造PA223(2)如果问题设计为PA+kPB最小值,k 应为多少?答:根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3,k 应为【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决法二:阿氏圆模型对比一下这个题目的条件,P 点轨迹是圆,A 是定点,我们需要找出另一个定点 M 使得PM:PA=1:2,这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛!PP23ABOABO已知PA、PB之比确定圆已知PA、圆确定PB而且这种问题里,给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等,往往都是搭配好的!P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上, 故所求 M 点在 AC 边上, 考虑到 PM: PA=1:2,1不妨让 P 点与 D 点重合,此时 DM=DA=1,即可确定 M 点位置2AA2D (P)1MCBMBDC亦满足 PM:PA=1:2P如果对这个结果不是很放心, 不妨再取个特殊的位置检验一下, 如下图, 此时 PM=3, PA=6,【小结】法二其实是开了上帝视角,在已知其是阿氏圆的前提下,通过特殊点找出所求 M点位置,虽不够严谨,却很实用4【练习 1】如图,在ABC中,ACB=90,BC=12,AC=9,以点C 为圆心,6 为半径的圆上有一个动点 D连接 AD、BD、CD,则 2AD+3BD 的最小值是CDAB2 2【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3AD BD,故求AD BD最小值即可332考虑到 D 点轨迹是圆,A 是定点,且要求构造AD,条件已经足够明显3当 D 点运动到 AC 边时,DA=3,此时在线段 CD 上取点 M 使得 DM=2,则在点 D 运动过程中,始终存在DM 2DA3CCMDABAMDB问题转化为 DM+DB 的最小值,直接连接BM,BM 长度的 3 倍即为本题答案CMDAB5【练习 2】 如图, 已知正方 ABCD 的边长为 4, 圆 B 的半径为 2, 点 P 是圆 B 上的一个动点,1则PDPC的最大值为_2ADPBC1【分析】当 P 点运动到 BC 边上时,此时 PC=2,根据题意要求构造PC,在 BC 上取 M21使得此时 PM=1,则在点P 运动的任意时刻,均有PM=PC,从而将问题转化为求PD-PM2的最大值ADADPBPMCBMC连接 PD,对于 PDM,PD-PMDM,故当 D、M、P 共线时,PD-PM=DM 为最大值ADADPBMCBMCP6

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