2020高考热点等差数列、等比数列题型归纳.pdf
等差数列、等比数列等差数列、等比数列【考情分析】【考情分析】对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前 n 项和公式建立方程组求解，属于低档题； 对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题【必备知识】【必备知识】名称名称代数定义代数定义通项公式通项公式通项推广通项推广等差数列等差数列an an1 d(n 2, n N*)等比数列等比数列an q(n 2, n N*)an1an a1qn1(q 0)an a1 (n 1)dnan am (n m)d m, n, m N*nan amqnm m, m, n N*中项公式中项公式则b叫做a与如果a, b, c成等差数列，则b叫做a与如果a, b, c成等比数列，c的等差中项.中项公式：2b a c.c的等比中项.中项公式：b2 ac.若m n p q,则性质性质aman ap aq.若m n p q,则aman ap aq.2若m n 2t，则am an 2at前前 n n 项和项和1Sn公式公式前前 n n 项和项和的性质的性质n(a1 an)2n(n 1)2Sn na1d2若m n 2t，则am an at.Sn na1(q 1)a anqa1(1 qn)Sn1(q 1)1 q1 q2设等差数列an的前 n 项和为Sn，则Sk, S2k Sk, S3k S2k,仍成等差设等比数列an的前 n 项和为Sn，则Sk, S2k Sk, S3k S2k,仍成等比数列.数列.a1、定义法：an1 an常数(n N*)1、定义法：n1=常数(n N*)an2、中项公式法：2、中项公式法：2an an1 an1(n 2, n N*)2*判定方法判定方法3、 通项公式法：an kn b(n N*)an an1 an1(n 2, n N )4、前 n 项公式法：Sn An2 Bn(n N*)3、通项公式法：an pqknb(n N*)考点一考点一 等差、等比数列基本量的计算等差、等比数列基本量的计算【典型例题】【典型例题】【例【例 1 1】 （1）在等差数列an中，a2 2, a16 14，若an的前 k 项和为 50，则 k=.（2）已知数列an为等比数列，a1 a5 求等差（比）数列基本量的解题思路：求等差（比）数列基本量的解题思路：（1）设基本量：首项a1和公差 d（公比 q）；（2）列、解方程（组）：把条件转化为关于a1和 d（或 q）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量.注：注： 等差、 等比数列基本量的运算是数列中的一类基本问题,有五个基本量:a1,d(或q)， n，an，Sn，一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.15，前四项的和S4 5，则a4=.2【类比训练】【类比训练】（1）已知等差数列an满足a2 a4 4, a3 a5 10，则它的前 10 项的和S10=()A.138（2）在递增的等比数列an中,已知a1 an 34, a3 an2 64，且前 n 项和 Sn=42,则 n 等于()A.3考点二考点二 等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质【例【例 2 2】（1）在等差数列an中,a1 a2 a3 3, a18 a19 a20 87，则此数列前 20 项的和等于()A.290B.300C.580D.600B.4C.5D.6B .135C.95D.23（2） 在等比数列an中,若a2a5 A.1B.351111则, a2 a3 a4 a5，()44a2a3a4a534C.53b7D.43（3）等差数列an与bn的前 n 项和分别为Sn和 Tn,若Sn=3n 2,则a7等于()Tn2n 1A.37B.38C.39D.4027282930应用等差、等比解题的思路：应用等差、等比解题的思路：1、解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2、 （1） 运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如： 若m n p q,则aman ap aq(m,n,p,qN*)；这一性质与求和公式Snn(a1 an)的综合应用；2(2)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m n p q,则aman ap aq(m,n,p,qN*)，可以减少运算量,提高解题速度；3、在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形，应牢固掌握等差、等比数列的性质。此外,解题时注意设而不求思想的运用.【类比训练】【类比训练】（1）在等差数列an中,若a2 2a2a8 a6a10 16，则a4a6=_.2（2）数列an的各项都是正数,且数列log3an是等差数列,若a5a6 a4a7 18,则log3a1 log3a2 log3a10()A.12B.10C.8D.2+log35（3）等比数列an中,已知a1 a2 a3 a4 20, a5 a6 a7 a8 10，则数列an的前16 项和 S16为()A.20B.7521252752C.D.-考点三考点三等差、等比数列的判断与证明等差、等比数列的判断与证明【例【例 2 2】1、数列an满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN .证明:数列*ann是等差数列.2、已知数列an的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+1(nN*).证明数列an+1是等比数列,并求数列an的通项公式.1 1、证明数列、证明数列an是等差数列的两种基本方法是等差数列的两种基本方法(1)利用定义法：证明对任意正整数 n 都有an1an等于同一个常数;(2)利用等差中项法:证明对任意正整数 n 都有2an an1an1.2 2、证明数列、证明数列an是等比数列的两种基本方法是等比数列的两种基本方法(1)利用定义法：证明an1(n N*)等于同一个不为零的常数;an2(2)利用等差中项法:证明对任意正整数 n 都有an an1an1且数列an各项均不为 0.【类比训练】【类比训练】1、已知数列an的首项 a1=3,通项 an与前 n 项和 Sn之间满足 2an=SnSn-1(n2).(1)求证:数列1Sn是等差数列,并求公差.(2)求数列an的通项公式.2、设等差数列an的前 n 项和为 Sn,a5+a6=24,S11=143,数列bn的前 n 项和为 Tn,满足2an1Tna1(nN*).(1)求数列an的通项公式及数列1anan+1的前 n 项和.(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由.总结总结: :判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题（1）判断一个数列是等差（等比）数列，还有通项公式法、前 n 项和公式法，但不作为证明方法；（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列，只需判断存在连续三项不成等差（等比）数列即可；（3 3）an2 an1an1(n 2,nN*)是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为.高考真题高考真题1、（2019 全国 III 卷T5） 已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15， 且a5 3a34a1，则a3（）A. 16B. 8C. 4D. 22、 (2018全国卷 I 高考理科T4)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=()A.-12B.-10C.10D.123、 (2017全国乙卷理科T4)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.84、(2017全国丙卷理科T9)等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和为()A.-24B.-3C.3D.85、(2017全国甲卷理科T3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯()A.1 盏121、 （2019 全国 I 卷T14） 记 Sn为等比数列an的前 n 项和 若a1,a4 a6， 则 S5=.3S10.a10，a2 3a1，2、（2019 全国 III 卷T14） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和，则S5B.3 盏C.5 盏D.9 盏3、(2018北京高考理科T9)设an是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.4、(2018全国卷 I 高考理科T14)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6=.5、(2017全国甲卷理科T15)等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则k1n1S=.K6、(2017全国丙卷理科T14)设等比数列an满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4=.7、 （2019 全国 II 卷T19）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，4an1 3anbn4，4bn1 3bnan4.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.8、(2018全国高考理科T17) 等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式.(2)记 Sn为an的前 n 项和.若 Sm=63,求 m.
