初中数学阿氏圆最值模型归纳.pdf

几何模型：阿氏圆最值模型几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k1 ），则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.PABO【模型建立】【模型建立】如图 1 所示，O 的半径为 R，点 A、B 都在O 外 ，P 为O 上一动点，已知 R=连接 PA、PB，则当“PA+2OB，52PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？5解决办法：解决办法：如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=故本题求 “PA+22R，则可说明 BPO 与 PCO 相似，则有PB=PC。552PB” 的最小值可以转化为 “PA+PC” 的最小值， 其中与 A 与 C 为定点， P 为动点， 故当 A、5P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】【技巧总结】计算计算PAk PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点问题：在圆上找一点 P P 使得使得PAk PB的值最小，解决步骤具体如下：的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为 1 的线段两端点与圆心相连即OP，OBOP kOBOCPC3. 在 OB 上取一点 C，使得 k，即构造 POMBOP，则 k，PC k PBOPPB2. 计算出这两条线段的长度比4. 则PAk PB=PA PC AC，当 A、P、C 三点共线时可得最小值典题探究典题探究启迪思维启迪思维探究重点探究重点例题例题 1. 1. 如图，在RtABC 中，C=90，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交AC、BC1于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则PA PB的最小值为_2AADPDPMCEBCB1【分析】这个问题最大的难点在于转化PA，此处 P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为 2，CA=4，2连接 CP，构造包含线段 AP 的CPA，在 CA 边上取点 M 使得 CM=2CM=2，1连接 PM，可得CPACMP，故 PA：PM=2:1，即 PM=PA2问题转化为 PM+PBBM 最小值，故当 B，P，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13变式练习变式练习1如图 1，在 RTABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，圆 C 的半径为 2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP，求AP 11BP，2AP BP，AP BP，AP 3BP的最小值.23 答案答案 ：= =37，=2=237，= =2 37，= =2 37. .3OB例题例题2. 2.如图， 点C坐标为(2,5)， 点A的坐标为(7,0)， C的半径为10,点B在C上一动点，的最小值为_.5AB5 答案答案 ：5. 5.变式练习变式练习2如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以 M 为圆心，2 2为半径画圆，O 为原点，P 是M 上一动点，则 PO+2PA的最小值为_. 答案答案 ：10.10.例题例题 3.3. 如图， 半圆的半径为 1， AB 为直径， AC、 BD 为切线， AC1， BD2， P 为的最小值上一动点， 求PC+PD【解答】解：如图当 A、P、D 共线时，PC+PD 最小理由：连接 PB、CO，AD 与 CO 交于点 M，ABBD4，BD 是切线，ABD90，BADD45，AB 是直径，APB90，PABPBA45，PAPB，POAB，ACPO2，ACPO，四边形 AOPC 是平行四边形，OAOP，AOP90，四边形 AOPC 是正方形，PMPC，PC+PDPM+PDDM，PC+DP 最小ADAM2DMCO，此时变式练习变式练习3如图，四边形ABCD 为边长为 4 的正方形，B 的半径为 2，P 是B 上一动点，则PD+PC 的最小值为5；PD+4PC 的最小值为10【解答】解：如图，连接 PB、在 BC 上取一点 E，使得 BE1PB24，BEBC4，PB2BEBC，PBECBE，PBECBE，PD+PCPD+PE，5，PE+PDDE，在 RtDCE 中，DEPD+PC 的最小值为 5连接 DB，PB，在 BD 上取一点 E，使得 BEPB24，BEBD4，连接 EC，作 EFBC 于 F4，BP2BEBD，PBEPBD，PBEDBP，PEPD，PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），PE+PCEC，在 Rt EFC 中，EF，FC，ECPD+4PC 的最小值为 10故答案为 5，101例题例题 4.4. 如图，已知正方ABCD 的边长为 6，圆 B 的半径为 3，点P 是圆 B 上的一个动点，则PDPC的2最大值为_ADPBC31【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=3，根据题意要求构造PC，在 BC 上取 M 使得此时 PM=，221则在点 P 运动的任意时刻， 均有 PM=PC， 从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值 连接 PD， 对于PDM，2PD-PMDM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值AAA152DADDDPPBPMCBMCBMCBMCP变式练习变式练习4 （1） 如图 1， 已知正方形 ABCD 的边长为 9， 圆 B 的半径为 6， 点 P 是圆 B 上的一个动点， 那么 PD+的最小值为，PD的最大值为（2）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为图 1图 2【解答】解：（1）如图 3 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG4，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，当 D、G、P 共线时，PD+PC 的值最小，最小值为DGPDPCPDPGDG，当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大，最大值为DG故答案为，（2）如图 4 中，在 BC 上取一点 G，使得 BG1，作 DFBC 于 F2，2，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，当 D、G、P 共线时，PD+PC 的值最小，最小值为DG，在 Rt CDF 中，DCF60，CD4，DFCDsin602，CF2，在 Rt GDF 中，DGPDPCPDPG DG，当点 P 在 DG 的延长线上时，PDPC 的值最大（如图 2 中），最大值为 DG故答案为例题例题 5.5. 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（4，4），B（0，4）两点，直线 AC：y=，1x62交 y 轴于点 C点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G（1）求抛物线 y=x2+bx+c 的表达式；（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标；在的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为E 上一动点，求1AM+CM 它的最小值2【解答】解：（1）点 A（4，4），B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上，抛物线的解析式为y=x22x+4；（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+n 过点 A，B，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，设 E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四边形 GEOB 是平行四边形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如图 1，由（2）知，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，设 E（a，2a+4），直线 AC：y=11x6，F（a，a6），设 H（0，p），22以点 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，直线 AC：y=ABAC，EF 为对角线，1x6，211111（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），22222a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如图 2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=5，AE=25，设 AE 交E 于 G，取 EG 的中点 P，PE=连接 PC 交E 于 M，连接 EM，EM=EH=，5，25ME51PE1PEME1=，=，2=，AE2 52MEAE2ME52PEME1PEM=MEA，PEMMEA，=，MEAE211PM=AM，AM+CM 的最小值=PC，设点 P（p，2p+4），22E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，55，5（p+2）2=，24535p=或 p=（由于 E（2，0），所以舍去），P（，1），222PE=C（0，6），PC=变式练习变式练习5如图 1，抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E （m， 0） （0m4） ， 过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N， 交抛物线于点 P， 过点 P 作 PMAB于点 M（1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2）设 PMN 的周长为 C1， AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值；=5 55 51，即：AM+CM=222（3）如图 2，在（2）条件下，将线段OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 （090），连接 EA、EB，求 EA+EB 的最小值【解答】解：（1）令 y0，则 ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1 或，抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），设直线 AB 解析式为 ykx+b，则直线 AB 解析式为 yx+3（2）如图 1 中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），解得，抛物线解析式为 yx2+x+3，PNm2+m+3（m+3）m2+3m，解得 m2（3）如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M使得 OM，连接 AM，在 AM上取一点 E使得 OEOEOE2，OMOB34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AE+BEAE+EMAM，此时 AE+BE最小（两点间线段最短，A、M、E共线时），最小值AM达标检测达标检测领悟提升领悟提升强化落实强化落实1. 1. 如图，在RTABC 中，B=90，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与 AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆 B 上的一动点，求AP2PC的最小值.2 答案答案 ：5. .2. 2. 如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为O，P 是O 上一动点，则2PA+PB的最小值为_. 答案答案 ：2 5. .3. 3. 如图，等边ABC 的边长为 6，内切圆记为O，P 是O 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为_. 答案答案 ：3 7. .24. 4. 如图， 在 RtABC 中， C=90， CA=3，CB=4，C的半径为 2，点 P 是的最小值为？1C上的一动点， 则APPB25. 5. 如图，在平面直角坐标系中，A2,0，B0,2，C4,0，D3,2，P 是AOB 外部第一象限内的一动点，且BPA=135，则2PD PC的最小值是多少？ 答案答案 4 26. 6. 如图，Rt ABC，ACB90，ACBC2，以 C 为顶点的正方形 CDEF（C、D、E、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且 CD（1）求证： BDCAFC；，连接 AF，BD（2）当正方形 CDEF 有顶点在线段 AB 上时，直接写出 BD+（3）直接写出正方形 CDEF 旋转过程中，BD+AD 的值；AD 的最小值【解答】（1）证明：如图 1 中，四边形 CDEF 是正方形，CFCD，DCFACB90，ACFDCB，ACCB，FCADCB（SAS）（2）解：如图 2 中，当点 D，E 在 AB 边上时，ACBC2，ACB90，AB2，CDAB，ADBD，BD+AD+1如图 3 中，当点 E，F 在边 AB 上时BDCF，AD，BD+AD+（3）如图 4 中取 AC 的中点 M连接 DM，BMCD，CM1，CA2，CD2CMCA，DCMACD，DCMACD，DMBD+AD，ADBD+DM，AD 的值最小，当 B，D，M 共线时，BD+最小值7. （1）如图1，在 ABC 中，ABAC，BD 是 AC 边上的中线，请用尺规作图做出AB 边上的中线 CE，并证明 BDCE：（2）如图 2，已知点 P 是边长为 6 的正方形 ABCD 内部一动点，PA3，求 PC+PD 的最小值；（3）如图 3，在矩形 ABCD 中，AB18，BC25，点 M 是矩形内部一动点，MA15，当 MC+MD最小时，画出点 M 的位置，并求出 MC+MD 的最小值【解答】解： （1）如图1 中，作线段AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 E，连接EC线段EC 即为所求；ABAC，AEEC，ADCD，AEAD，ABAC，AA，ADAE，BADCAE（SAS），BDCE（2）如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AEPA29，AEAD69，PA2AEAD，PAEDAP，PEPD，PAEDAP，PC+PDPC+PE，PC+PEEC，PC+PD 的最小值为 EC 的长，在 Rt CDE 中，CDE90，CD6，DE，EC，PC+PD 的最小值为（3）如图 3 中，如图 2 中，在 AD 上截取 AE，使得 AE9MA2225，AEAD925225，MA2AEAE，MAEDAM，MAEDAM，MEMD，MC+MDMC+ME，MC+MEEC，MC+MD 的最小值为 EC 的长，在 RtCDE 中，CDE90，CD18，DE16，EC2，MC+MD 的最小值为 2