微积分无穷级数习题讲解课件.pptx
二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上单增上单增在在,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛.)1)(1(0敛域及和函数敛域及和函数收收求级数求级数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛半径为敛半径为的收的收, 111 x收敛域为收敛域为, 20 x即即则有则有设此级数的和函数为设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x的幂级数的幂级数成成的和函数展开的和函数展开将级数将级数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解设法用已知展开式来解设法用已知展开式来解的展开式，的展开式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(
