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中考二次函数压轴题 2022年中考二次函数压轴题汇编 2如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 （3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S 求S关于t的函数表达式； 求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标 3如图，抛物线y=a（x1）（x3）（a0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 第1页（共107页） 4如图，抛物线y=ax2+bx（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上设A（t，0），当t=2时，AD=4 （1）求抛物线的函数表达式 （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 5如图，点P为抛物线y=x2上一动点 （1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）21通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，1），过点P作PMl于M 问题探究：如图一，在对称轴上是否存在肯定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由 问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值 第2页（共107页） 6已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点动身，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A动身，向点B以每秒速运动，连接MN，设运动时间为t秒 （1）求抛物线解析式； （2）当t为何值时，AMN为直角三角形； （3）过N作NHy轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MHAB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由 个单位的速度匀 7如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点（1）求抛物线解析式； （2）连接OA，过点A作ACOA交抛物线于C，连接OC，求AOC的面积； （3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MNOM交x轴于点N问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的AOC相像，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 第3页（共107页） 8如图，已知二次函数y=ax2+1（a0，a为实数）的图象过点A（2，2），一次函数y=kx+b（k0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2） （1）求a值并写出二次函数表达式； （2）求b值； （3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC； （4）在（3）的条件下，请推断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由 9如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 （1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，恳求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上随意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 第4页（共107页） 10已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 11如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P从A点动身，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点动身，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积； （3）在（2）的条件下，当PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使BMC的面积是PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由 第5页（共107页） 12综合与探究 如图，抛物线y= x4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F （1）求A，B，C三点的坐标； （2）摸索究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请干脆写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值 13已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2） （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b满意的关系式； （2）若该抛物线上随意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满意：当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且ABC有一个内角为60° 第6页（共107页） 求抛物线的解析式； 若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分MPN 14如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0t5） （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当t=0时，求SOBN的值； （3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0t5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 15如图，已知抛物线经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ （3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相像？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 第7页（共107页） 16如图，抛物线y=ax25ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BDx轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）当CMN是直角三角形时，求点M的坐标； （3）试求出AM+AN的最小值 17如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ （1）若点P的横坐标为，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标； （）直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由 第8页（共107页） 18在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=1 （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）知F（x0，y0）为平面内肯定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标 19在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）已知抛物线y=x2+mx2m（m是常数），顶点为P （）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标； （）若点P在x轴下方，当AOP=45°时，求抛物线的解析式； （）无论m取何值，该抛物线都经过定点H当AHP=45°时，求抛物线的解析式 20如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C， 第9页（共107页） D（点D位于点C的左侧） （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAMN，使AMN的面积为ABC面积的？若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理由 21如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0），B（1，0），C（0，3） （1）求该抛物线的解析式； （2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标； （3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 第10页（共107页） 22已知顶点为A抛物线（1）求抛物线的解析式； 经过点，点 （2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若OPM=MAF，求POE的面积； （3）如图2，点Q是折线ABC上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到QEN1，若点N1落在x轴上，请干脆写出Q点的坐标 23已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上随意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满意：当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，ABC有一个内角为60° （1）求抛物线的解析式； （2）若MN与直线y=2决以下问题： 求证：BC平分MBN； 求MBC外心的纵坐标的取值范围 24如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3 （1）求该二次函数的解析式； （2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标； 第11页（共107页） x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1y2，解 （3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相像时，求P点的坐标 25如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点 （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点： 当x1，y0时，求BDF的面积的最大值； 当AEF=DBE时，求点F的坐标 26如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（1，0） 第12页（共107页） （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PEy轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当BQE+DEQ=90°时，求此时点P的坐标 27已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0） （1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y= x+m（m0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在其次象限），求y2y1的值（用含m的式子表示）； （3）在（2）中，若m=，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2 推断AAB的形态，并说明理由； 平面内是否存在点P，使得以点A、B、A、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 28已知：如图，一次函数y=kx1的图象经过点A（ 3，m）（m0），与y轴交于点B点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D若AC=CD 第13页（共107页） （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（函数表达式 ，0），求这条抛物线的 29如图，已知抛物线y=ax2+bx（a0）过点A（点A作直线ACx轴，交y轴于点C （1）求抛物线的解析式； ，3）和点B（3，0）过（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相像，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得SAOC=SAOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 30如图1，抛物线C1：y=ax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G 第14页（共107页） （1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标； （2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C 1、C2于P、Q两点，摸索究在直线y=1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，干脆写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由 31在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，2）点E是直线y=x+2与二次函数图象在第一象限内的交点 （1）求二次函数的解析式及点E的坐标 （2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标 （3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标 32如图，已知顶点为C（0，3）的抛物线y=ax2+b（a0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B （1）求m的值； （2）求函数y=ax2+b（a0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 第15页（共107页） 33如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）摸索究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，恳求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 34已知抛物线y=a（x1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且BDC=90°，求点C的坐标； （3）如图，直线y=kx+4k与抛物线交于P、Q两点 求证：PDQ=90°； 求PDQ面积的最小值 第16页（共107页） 35抛物线y=x2+x1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t（t ）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象 （1）点A，B，D的坐标分别为 ， ， ； （2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围； （3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 36如图，抛物线y=ax2+4x+c（a0）经过点A（1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB （1）求该抛物线的解析式； （2）将ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F 当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和ABF的面积； 当点F到直线AE的距离为请干脆写出交点的坐标 第17页（共107页） 时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交， 37如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（xa）（x3）（0a3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC （1）求点A、B、D的坐标； （2）若AOD与BPC相像，求a的值； （3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由 38如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=2 （1）求抛物线的解析式； （2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x（，当2x1x2）时，求k的值； （3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当SPOQ：SBOQ=1：2时，求出点P的坐标 （坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN= ） 第18页（共107页） 39如图，在平面直角坐标系中，ACB=90°，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE 求点P的坐标； 在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的全部点M的坐标；若不存在，请说明理由 40如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a0）与x轴相交于另一点A（3，0）直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C 第19页（共107页） （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相像，求满意条件的点P的坐标； （3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l，l与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NEx轴于点E把MEN沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l的解析式； （4）在（3）问的条件下（图3），直线l与y轴相交于点K，把MOK绕点O顺时针旋转90°得到MOK，点F为直线l上的动点当M'FK为等腰三角形时，求满意条件的点F的坐标 第20页（共107页） 2022年07月10日139*3005的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一选择题（共1小题） 1如图，点A，B在双曲线y=（x0）上，点C在双曲线y=（x0）上，若ACy轴，BCx轴，且AC=BC，则AB等于（ ） A B2 C4 D 3【解答】解：点C在双曲线y=上，ACy轴，BCx轴， 设C（a，），则B（3a，），A（a，）， AC=BC， =3aa， 解得a=1，（负值已舍去） C（1，1），B（3，1），A（1，3）， AC=BC=2， RtABC中，AB=2故选：B 二解答题（共39小题） 2如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使 第21页（共107页） ， 得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 （3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S 求S关于t的函数表达式； 求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标 【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c， ，解得： ， 抛物线的表达式为y=x2+2x+3 （2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E， 抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点， 抛物线的对称轴为直线x=1 当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形 抛物线的表达式为y=x2+2x+3， 点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， 点M的坐标为（1，6）； 当t2时，不存在，理由如下： 若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， 点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， 点P的横坐标t=1×20=2 又t2， 第22页（共107页） 不存在 （3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F 设直线BC的解析式为y=mx+n（m0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n， ，解得： ， 直线BC的解析式为y=x+3 点P的坐标为（t，t2+2t+3）， 点F的坐标为（t，t+3）， PF=t2+2t+3（t+3）=t2+3t， S=PFOB=t2+t=（t）2+0， 当t=时，S取最大值，最大值为 点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， 线段BC= = 3， P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，） 第23页（共107页） 3如图，抛物线y=a（x1）（x3）（a0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x1）（x3）=0， 解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0）， OA=1，OB=3 OCAOBC， OC：OB=OA：OC， 第24页（共107页） OC2=OAOB=3， 则OC=； （2）C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线， OC=BC， 点C的横坐标为， 又OC=，点C在x轴下方， ）， C（，设直线BM的解析式为y=kx+b， 把点B（3，0），C（，解得：b=y=x，k=， ）在抛物线上，代入抛物线解析式， ， ）代入得： ， 又点C（，解得：a=， 抛物线解析式为y=（3）点P存在， 设点P坐标为（x，则Q（x，PQ=xx）， x2 x+2； x2 x+2），过点P作PQx轴交直线BM于点Q， （ x2 x+2）= x2+ 3x3， 当BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大， SBCP=PQ（3x）+PQ（x）=PQ=当x=（， x2+ x ， =时，SBCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为） 第25页（共107页） 4如图，抛物线y=ax2+bx（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上设A（t，0），当t=2时，AD=4 （1）求抛物线的函数表达式 （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x10）， 当t=2时，AD=4， 点D的坐标为（2，4）， 将点D坐标代入解析式得16a=4， 解得：a=， 抛物线的函数表达式为y=x2+x； （2）由抛物线的对称性得BE=OA=t， AB=102t， 第26页（共107页） 当x=t时，AD=t2+t， 矩形ABCD的周长=2（AB+AD） =2（102t）+（t2+t） =t2+t+20 =（t1）2+0， 当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 ， ； （3）如图， 当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， 矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）， 当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分； 当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不行能将矩形的面积平分， 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积， ABCD， 线段OD平移后得到的线段GH， 线段OD的中点Q平移后的对应点是P， 在OBD中，PQ是中位线， 第27页（共107页） PQ=OB=4， 所以抛物线向右平移的距离是4个单位 5如图，点P为抛物线y=x2上一动点 （1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）21通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，1），过点P作PMl于M 问题探究：如图一，在对称轴上是否存在肯定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由 问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值 【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）21的顶点为（2，1） 抛物线y=（x+2）21的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象 （2）存在肯定点F，使得PM=PF恒成立 如图一，过点P作PBy轴于点B 第28页（共107页） 设点P坐标为（a，a2） PM=PF=a2+1 PB=a RtPBF中 BF=OF=1 点F坐标为（0，1） 由，PM=PF QP+PF的最小值为QP+PM的最小值 当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的肯定值 QP+PF的最小值为6 6已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点动身，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A动身，向点B以每秒速运动，连接MN，设运动时间为t秒 （1）求抛物线解析式； （2）当t为何值时，AMN为直角三角形； （3）过N作NHy轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MHAB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由 个单位的速度匀 第29页（共107页） 【解答】解：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3） 将A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得： ，解得： ， 抛物线解析式为y=x2+4x+3 （2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（t，0），点N的坐标为（t3，t）， AM=3t，AN=t AMN为直角三角形，MAN=45°， AMN为等腰直角三角形（如图1） 当ANM=90°时，有AM=解得：t=1； 当AMN=90°时，有t3=t， 解得：t= 综上所述：当t为1秒或秒时，AMN为直角三角形 （3）设NH与x轴交于点E，如图2所示 当运动时间为t秒时，点M的坐标为（t，0），点N的坐标为（t3，t）， 点E的坐标为（t3，0），点H的坐标为（t3，t22t） MHAB， EMH=45°， EMH为等腰直角三角形， ME=HE，即|2t3|=|t22t|， 解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=当t= AN，即3t=2t， ，t4=（舍去） 时，点E在点M的右边，点H在x轴下方， 第30页（共107页） 此时MHAB， t=1 存在点H使MHAB，点H的坐标为（2，1） 7如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点（1）求抛物线解析式； （2）连接OA，过点A作ACOA交抛物线于C，连接OC，求AOC的面积； （3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MNOM交x轴于点N问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的AOC相像，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x）， 把A（1，1）代入得a1（1）=1，解得a=， 第31页（共107页） 抛物线解析式为y=x（x）， 即y=x2+x； （2）延长CA交y轴于D，如图1， A（1，1）， OA=，DOA=45°， AOD为等腰直角三角形， OAAC， OD=OA=2， D（0，2）， 易得直线AD的解析式为y=x+2， 解方程组SAOC=SCO