小学数学课程与教学论.docx
小学数学课程与教学论 §1.4具有某些特性的函数 §4具有某些特性的函数 .教学目的与要求 1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性.2.驾驭有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用.教学重点与难点: 重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.讲授内容 一 有界函数 定义 1设f为定义在D上的函数若存在数M(L)，使得对每一个xÎD有 f(x)£M(f(x)³L)， 则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上的一个上(下)界 依据定义，f在D上有上(下)界，意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数集又若M(L)为f在D上的上(下)界，则任何大于(小于)M(L)的数也是f在D上的上(下)界 定义2 设f为定义在D上的函数若存在正数M，使得对每一个xÎD有 f(x)£M， (1) 则称f为D上的有界函数 依据定义，f在D上有界，意味着值域f(D)是一个有界集又按定义不难验证： f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界(1)式的几何意义是：若f为D上的有界函数，则f的图象完全落在直线y=M与y=-M之间 例如，正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对每一个xÎr都有sinx£1和cosx£1. 关于函数f在数集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.的否定说法来叙述例如，设f为定义在D上的函数，若对任何M(无论M多大)，都存在xÎD，使得f(x0)>M，则称f为D上的无上界函数 §1.4具有某些特性的函数 例1 证明f(x)=1x为(0,1上的无上界函数 . 1M+1证 对任何正数M，取(0,1上一点x0= f(x0)=1x0，则有 =M+1>M. 故按上述定义，f为(0,1上的无上界函数 前面已经指出，f在其定义域D上有上界，是指值域f(D)为有上界的数集于是由确界原理，数集f(D)有上确界通常，我们把f(D)的上确界记为supf(x)，并称之为f在 xÎDD上的上确界类似地，若f在其定义域D上有下界，则f在D上的下确界记为inff(x) xÎD 例2 设f，g为D上的有界函数.证明： (i)inff(x)+infg(x)£inff(x)+g(x) ； xÎDxÎDxÎD (ii) supf(x)+g(x)£supf(x)+supg(x) xÎDxÎDxÎD 证 (i)对任何xÎD有 inff(x)£f(x),infg(x)£g(x)Þinff(x)+infg(x)£f(x)+g(x) xÎDxÎDxÎDxÎd上式表明，数inff(x)+infg(x)是函数f+g在D上的一个下界，从而 xÎDxÎDinff(x)+infg(x)£inff(x)+g(x) xÎDxÎDxÎD(ii)可类似地证明(略) 注 例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立例如，设 f(x)=x,g(x)=-x,xÎ1,1， 则有inff(x)=infg(x)=-1,supf(x)=supg(x)=1,而 |x|£1|x|£1|x|£1|x|£1inff(x)+g(x)=supf(x)+g(x)=0. |x|£1|x|£1 二 单调函数 定义3 设f为定义在D上的函数若对任何x1,x2ÎD,当x1<x2时，总 有 （i）f(x1)£f(x2),则称f为D上的增函数，特殊当成立严格不等式f(x1)<f(x2)时，称f为D上的严格增函数； §1.4具有某些特性的函数 (ii)f(x1)³f(x2)，则称f为D上的减函数，特殊当成立严格不等式f(x1)>f(x2)时，称f为D上的严格减函数； 增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数 例3 函数y=x3在R上是严格增的因为对任何，x1,x2ÎR,当x1<x2时总有 33 x2-x1=(x2-x1)(x2+x12)+234x1>0，即x1<x2. 233 例4 函数y=x在R上是增的因为对任何x1<x2ÎR，当x1<x2时,明显有x1£ x2但R上不是严格增的，若取x1=0,x2=12，则有x1=x2=0，即定义中所要求的严格不等式不成立此函数的图象如图13所示 严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反 函数 定理12 设y=f(x),xÎD为严格增(减) 函数，则f必有反函数f定义域f(D)上也是严格增(减)函数 证 设f在D上严格增对任一yÎf(D)，有 xÎD使f(x)=y下面证明这样的x只能有一个事实上，对于D内任一x1¹x，由f在D上的严格增性，当x1<x2时f(x1)<y，当x1>x时有f(x1)>y，总之f(x1)¹y这就说明，对每一个yÎf(D)， -1，且f-1在其都只存在唯一的一个xÎD，使得f(x)=y，从而函数f存在反函数x=fyÎf(D) -1(y)， 现证f-1也是严格增的任取y1,y2Îf(D)，y1<y2·设x1=f-1(y1),x2=f-1(y2)，则y1=f(x1),y2=f(x2)由y1<y2及f的严格增性，明显有x1<x2，即f-1(y1)<f-1(y2)所以反函数f2-1是严格增的 例5 函数y=x在¥，0)上是严格减的，有反函数(按习惯记法)y=-x，xÎ(0,+¥);y=x在（0，+¥)上是严格增的，有反函数y=2x,xÎ0，+¥)。但y=x在 2§1.4具有某些特性的函数 整个定义域R上不是单调的，也不存在反函数 上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数 y=ax(a>0,a¹1) 的定义域拓广到整个实数集R下面证明指数函数在R上的严格单调性 例6 证明：，y=ax当a>1时在R上严格增；当0 证 设a>1给定x1,x2ÎR,x1<x2.由有理数集的稠密性，可取到有理数r1,r2，使x1<r1<r2<x2，故有 ax1=x supar|r为有理数£ar<ar2£supar|r为有理数=ax2， 1r<x1r<x2这就证明白a当0<a<1时在R上严格递增 类似地可证.ax当0 注 由例6及定理12还可得出结论：对数函数y=log严格递增，当0 三 奇函数和偶函数 定义4 设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数若对每一个xÎD，有 f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x)， ax当a>1时在(0，+¥)上则称f为D上的奇(偶)函数 从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴对称 例如，正弦函数y=sinx和正切函数y=tanx工是奇函数，余弦函数y=cosx是偶函数，符号函数y=sgnx是奇函数(见图11)而函数f(x)= sinx+cosx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取x0=p4，则f(x0)=2，f(-x0)=0，明显既不成立f(-x0)=-f(x0)，也不成立f(-x0)=f(x0) 四 周期函数 设f为定义在数集D上的函数若存在s>0，使得对一切xÎD有f(x±s)=f(x)，则称f为周期函数，s称为f的一个周期明显，若s为f的周期，则ns(n为正整数)也是f的周期若在周期函数f的全部周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期 §1.4具有某些特性的函数 例如，sinx的周期为2p，tanx的周期为p 函数 f(x)=x-x,xÎR的周期为1(见图14) 常量函数f(x)=c 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.定义在R上的狄利克雷函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.(Dirichl)et 小学数学课程与教学论 小学数学课程与教学论 小学数学课程与教学论 小学数学课程与教学论 数学课程与教学论 数学课程与教学论 小学数学课程与教学论2 数学课程与教学论重点 数学课程与教学论答案 数学课程与教学论课程教学标准 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页
