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2022年图形相似经典习题 相像图形经典试题 1 1 、如图, , 在等腰梯形 ABCD 中 ,AD 3 BC,AD=3 ，7 BC=7 ，∠ B=60 °，P P 为下底 BC 上一点（不与 B B 、C C 重合），连结 AP,过 过 P P 点作 E PE 交 交 C DC 于 于 E, 使得∠ APE= ∠ B. （1 1 ）求证： ABP PCE ；（2 2 ）求等腰梯形的腰 B AB 的长；（3 3 ）在底边 BC 上是否存在一点 , P, 使得 DE EC=5 3? 假如存在, , 求出 P BP 的长, , 假如不存在, , 请说明理由. . 2 2 、如图, , 已知C ABC 中，∠ ACB=90 °， AC=BC,点 点 E E 、F F 在 在 B AB 上, , ∠ ECF=45 °. . （1 1 ）求证: : ACF BEC； ； （2 2 ）设 ABC 的面积为 S S ，求证 :AF BE=2S. 3 3 、如图，在 ABCD 中, , 过点 B B 作 作 BE ⊥ CD, 垂足为 E, 连结 F AE,F 为 为 E AE 上一点, , 且∠ BFE= ∠ C. （1 1 ）求证: : ABF EAD ；（2 2 ）若 AB=4, ∠ BAE=30 °，求 AE 的长；（3 3 ）在（1 1 ）（2 2 ）的条件下, ,若 若 AD=3,求 求 F BF 的长. . 60° A E 第 1 题图 P D C B 45° A E 第 2 题图 F B C 4 4 、如图, ,在 在 Rt C ABC 中, , ∠ ACB=90 °， AD 平分∠B CAB 交于点 D, 过点 C C 作 作 CE ⊥ AD 于 于 E E,CE 的延长线交 B AB 于点, F, 过点 E E 作 作 EG BC 交 交 AB 于 于 G,AE AD=16,AB=4 5 5 . . （1 1 ）求证 :CE=EF ；（2 2 ）求 EG 的长. . 5 5 、将正方形 ABCD 折叠, , 使顶点 A A 与 与 CD 边上的点 M M 重合, , 折线交 AD 于 于 E,交 交 BC 于 于 , F,边 边 AB 折叠后与 BC 交于点, G, （1 1 ）假如 M M 为 为 CD 的中点, , 求证 :DE DM EM=3 4 4 . 5. （2 2 ）假如 M M 为 为 CD 上任一点, ,设 设 AB=2a ，问 CMG 的周长是否与点 M M 的位置有关? ? 若有关, , 请把 CMG 的周长用含 DM 的长 x x （即 DM=x ）的代数式表示；若无关, , 请说明理由. . A C E F D 第 3 题图 B A B E D F G 第 4 题图 C E M C D G 6 6 、某生活小区的居民筹集资金 0 1600 元, , 安排在一块上、下底分别为 0 10 米0 ,20 米的梯形空地上种植花木如图，（1 1 ）他们在 AMD 和 BMC 地带上种植太阳花, , 单价为 8 8 元/ / ，当 AMD 地带种满花后（图中阴影部分）共花了 160元, , 请计算种满C BMC 地带所需费用. . （2 2 ）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择, ,为 单价分别为 2 12 元/ /和 0 10 元/ / ，应选择哪种花木, , 刚好用完所筹集的资金. . （3 3 ）若梯形 ABCD 为等腰梯形, , 面积不变（如图）请你设计一种花坛图案, , 即在梯形内找到一点 , P, 使得 APB D D PC,且 且 S S APD=S BPC ，并说明你的理由. . 7 7 、如图, , 正方形 ABCD 的边长为 2,AE=EB,MN=1, 线段 MN 的两端在 BC 、 CD 上, , 若 AED 与以 M 、N N 、C C 为顶点的三角形相像, ,求 求 CM 的长. . A D C M 第 6 题图 B A D C 第 6 题图 B B C D M 第 7 题图 N E A 8 8 、如图, , 已知 ABC 中 ,AB=5,BC=3,AC=4,PQ P AB,P 点在 AC 上（与 A A 、C C 不重合），Q Q 在 在 BC 上. . （1 1 ）当 PQC 的面积与四边形 Q PABQ 的面积相等时, ,求 求 P CP 的长. . （2 2 ）当C PQC 的周长与四边形 Q PABQ 的周长相等时, ,求 求 P CP 的长. .（3 3 ）试问: :在 在 AB 上是 否存在一点 M, 使得 PQM 为等腰直角三角形, , 若不存在, , 请简要说明理由；若存在, , 恳求出 PQ的长. . 9 9 、操作: : 如图, , 在正方形 ABCD 中P ,P 为 为 CD 上一动点（与 C C 、D D 不重合），使三角尺的直角顶点与点 P P 重合, , 并且一条直角边始终经过点 B, 另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点 E, 探究: : （1 1 ）视察操作结果, , 哪一个三角形与 BPC 相像? ? 并说明你的结论. . （2 2 ）当点 P P 位于 CD 的中点时, , 你找到的三角形与P BCP 的周长比是多少? ? A P Q B 第 8 题图 C A P Q B 第 8 题图 C M A D C B 第 9 题图 10 、如图, , 在 ABC 中 ,AB=AC,AD ⊥ BC,DE ⊥ AC,M 为 为 DE 的中点 ,AM 与 与 BE 相交于 N,AD 与 与 BE 相交于 . F. 求证: : （1 1 ）DECE = =ADCD ；（2 2 ） BCE ADM ；（3 3 ） AM 与 与 BE 相互垂直. . 11 、如图, , 在矩形 ABCD 中2 ,AB=12 ，6 BC=6 , ,点 点 P P 沿 沿 B AB 边从点 A A 起先向点 B B 以 以 2 2 s /s 的速度移动；点 Q Q 沿DA 边从点 D D 起先向点 A A 以 以 1 1 s /s 的速度移动. . 假如 P P 、Q Q 同时动身, ,用 用 t t （s s ）表示移动的时间（0 0 ≤t t ≤6 6 ）, , 那么（1 1 ）当 当 t t 为何值时, , P QAP 为等腰直角三角形；（2 2 ）求四边形 QAPC 的面积, , 提出一个与计算结果有关的结论；（3 3 ）当 t t为何值时, , 以点 Q Q 、A A 、P P 为顶点的三角形与 ABC 相像? ? A D B F E N M C 第 10题图 A Q P 第 11 题图 D C B 12 、如图, , 已知点 E E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点, , 且∠ BAC= ∠ BDC= ∠. DAE. （1 1 ）求证 :BE AD=CD AE ；（2 2 ）依据图形特点, , 猜想 BCDE 可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组比即可），并证明你的结论. . 13 、如图, ,在 在 Rt C ABC 中, , ∠ ACB=90 ° ,CD ⊥ AB,M 是 是 CD 上的点 ,DH H ⊥ BM 于 于 H,DH 的延长线交 C AC 的延长线于 E.求证: : （1 1 ） AED CBM ；（2 2 ） AE CM=AC CD. A D C 第 12 题图 E B A B C E 第 13 题图 D M H K 14 、如图, , 等腰三角形 ABC 中 ,AB=AC,D 为 为 CB 延长线上一点 ,E 为 为 BC 延长线上点, , 且满意 AB2=DB CE. （1 1 ）求证: : ADB EAC ；（2 2 ）若∠ BAC=40 °，求∠ DAE 的度数. . 15 、如图P ,P 为正方形 ABCD 的边 C BC 上的点 ,BP=3PC,Q 是 是 CD 中点, , （1 1 ）求证: : ADQ QCP ；（2 2 ）在现在的条件下, , 请再写出一个正确结论. . 16 、如图, , 在 ABC 中, , ∠ BAC=90 °D D 为 为 BC 的中点 ,AE ⊥ AD,AE 交 交 CB 的延长线于点 . E. （1 1 ）求证: : EAB ECA ；（2 2 ） ABE 和 ADC 是否肯定相像? ? 假如相像, , 加以说明, , 假如不相像, , 那么增加一个怎样的条件, ABE 和 ADC肯定相像. . A B C E 第 14 题图 D A B P D Q 第15题图 C A B D E 第 16题图 C 17 、已知, , 如图, , 在C ABC 中 ,D 是 是 C BC 的中点, ,且 且 AD=AC,DE ⊥C BC 交 交 B AB 于点 C E,EC 与 与 AD 相交于点 . F. （1 1 ）求证: : ABC FCD ；（2 2 ）若 S S FCD=5,BC=10,求 求 DE 的长. . 18 、已知, , 梯形 ABCD D 中 ,AD BC,AD<BC,且 且 AD=5,AB=DC=2. （1 1 ）P P 为 为 AD 上一点, , 满意∠ BPC= ∠ A, 求证: : ABP DPC ；（2 2 ）假如点 P P 在 在 AD 边上移动（P P 与点 A A 、D D 不重合），且满意∠ BPE= ∠ A, PE 交直线 BC 于点 E, 同时交直线 DC 于点 Q, 那么, , 当点 Q Q 在线段 DC 的延长线上时, ,设 设 AP=x ， CQ=y ， 求关于的函数解析式, , 并写出函数的定义域. . 19 、已知, , 如图, , 等边三角形 ABC 中 ,AB=2,点 点 P P 是 是 AB 边上的随意一点（点 P P 与点 A A 重合, , 但不与点 B B 重合），过点 P P作 作 PE ⊥ BC 于 于 E, 过点 点 E E 作 作 EF ⊥ AC 于 于 , F, 过点 F F 作 作 FQ ⊥ AB 于点 Q,设 设 BP=x ，. AQ=y. （1 1 ）写出 y y 与 与 x x 之间的函数关A B D E 第17题图 C F B C D A P 第 18 题图 B C D A P E Q A Q 系式：（2 2 ）当 P BP 的长等于多少时, ,点 点 P P 与点 Q Q 重合；（3 3 ）当线段 PE 、 FQ 相交时, , 写出线段 PE 、 EF 、 FQ 所围成三角形的周长的取值范围. . 20 、如图, , 在 ABC 中F ,AC=BC,F 为边 AB 上的一点 ,BF AF=m n n （m m 、n n 0 0 ），取 F CF 的中点 D D ，连结 AD 并延长交 交 BC 于点 E E 。（1 1 ）求 BE EC 的值；（2 2 ）若 BE=2EC ，那么 F CF 所在的直线与边 B AB 有怎样的位置关系？证明你的结论。（3 3 ）E E 点能否 成为 BC 中点？若能，求出相应的，若不能，证明你的结论。 21 、如图, , 已知，在 ABC 中0 ,BA=BC=20 ，0 AC=30 , ,点 点 P P 从 A A 点动身, ,沿 沿 AB 以 以 4 4 s /s 的速度向点 B B 运动；同时点 点 Q Q 从 从 C C 点动身, ,沿 沿 CA 以 以 3 3 s /s 的速度向 A A 点运动, , 设运动时间为 x x ， （1 1 ）当 x x 为何值时 ,PQ BC ；（2 2 ）当 S S BCQ S S ABC=1 3 3 时, ,求 求 S S BPQ S S ABC 的值；（3 3 ） APQ 能否与A F B C D E 第 20 题图 CQB 相像, , 若能, , 求出 P AP 的长, , 若不能, , 请说明理由. . 22 、如图, , ABC 中 ,D 为 为 AC 上一点 ,CD=2DA, ∠ BAC=45 °, , ∠ BDC=60 °， CE ⊥ BD 于 于 E, 连结 . AE. （1 1 ）写出图中全部相等的线段, , 并加以说明；（2 2 ）图中有无相像三角形, , 若有, , 请写出一对, , 若没有, , 请说明理由；（3 3 ）求 BEC 与 BEA的面积之比. . B P A C Q 第 21 题图 B E A C D 第 22 题图 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页
