第五节 奈魁斯特稳定判据.ppt
2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,1,第五节 奈魁斯特稳定判据,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,2,主要内容幅角定理奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据在、 型系统中的应用在波德图上判别系统稳定性,奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,3,一、幅角定理：,设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为： ，如下图所示：,令,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,4,显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：,由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,5,F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。,同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。,例辅助方程为： ，则s平面上 点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：,即:S平面上的点,将按(d)式映射到F(S)平面上的相应点；零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,6,同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图：,曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。,再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。,这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,7,柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,8,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,9,二、奈魁斯特稳定判据：,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：,如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,10,这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？,它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ；部分是负虚轴， 。,第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径（轨线）。如下图：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,11,F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。,得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。,第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ， 为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,12,F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。,奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。,F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。,由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时， ，即F(s)=1。（对应于映射曲线第部分）,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,13,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,14,根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈魁斯特稳定判据。,奈魁斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为： 。若 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。,奈魁斯特稳定判据的另一种描述：设开环系统传递函数 在右半 s平面上的极点数为 ，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线及其映射当 从 变化到 时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点 圈。对于开环系统稳定的情况， ，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为： 。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,15,例5-8开环传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,16,例5-9设开环系统传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。,解： 开环极点为-2， -1 j2，都在s左半平面，所以 。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,17,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,18,解：开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。,由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1，而 ，则 闭环系统是稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,19,当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。,当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0， ，所以 ，闭环系统不稳定。,本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而导致闭环系统不稳定。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,20,上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于、型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,21,三、奈魁斯特稳定判据在、型系统中的应用：,具有开环0极点系统，其开环传递函数为：,可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， 不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,22,部分：正虚轴， ，部分为半径为无穷大的右半圆 ；部分负虚轴， ，部分为半径为无穷小的右半圆，,下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射 ：,1、第和第部分：常规的奈氏图 ，关于实轴对称；2、第部分： ， 。假设 的分母阶数比分子阶数高；3、第部分： (a)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,23,(b)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：,所以这一段的映射为：半径为 角度从 变到 的整个圆（顺时针）。,所以这一段的映射为：半径为 角度从 变到 的右半圆。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,24,结论用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于、型系统。,例5-11设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。,从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而 ，故 ，闭环系统是稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,25,例5-12某型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：,从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因 ，所以 ，闭环系统是不稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,26,【例5-13】 设开环传递函数为： ，试通过绘制Nyquist图分析 和 的相对大小对系统稳定的影响（条件稳定系统）。,解：根据频率特性的极坐标图绘制规则，因为有两个积分环节，所以 ，终点 ，所以画出概略极坐标图如下：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,27,1、当 时， 的轨迹不包围 ，所以系统稳定；2、当 时， 的轨迹通过点 这表明极点位于虚轴上，因此系统是临界稳定的。3、当 时， 的轨迹顺时针方向包围点 两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,28,解：根据题目给定的开还传递函数，我们可知：,因此得到题目的nyquist的图如下：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,30,【例5-15】 设一个闭环系统具有下列开环传递函数： 试确定该闭环系统的稳定性。 解：,令虚部等于0，可以得到：,与实轴交点,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,31,渐近线,该系统nyquist图如图所示，从图中可以看出， 极坐标图逆时针方向包围 点一次。,又系统的开还传递函数在S的右半平面有一个极点，从而有NP，因此闭环系统稳定。,这是一个开环系统不稳定，但是加了闭环以后稳定的一个例子。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,32,特殊情况：1、若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。如下图：,以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况，由于较复杂，略。,2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,33,通常，只画出 的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为： 。式中， 为 变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,34,这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 时，频率特性曲线在实轴 段的正负穿越次数差为 。,频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当 增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的 段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的 段的正穿越（这时随着 的增加，频率特性的相角也是增加的），意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,35,在 区间，用奈氏曲线的正、负穿越的次数来确定 N ：,如果沿增加方向G(j)H(j)曲线自(-1,j0)点左边的负实轴开始向下或者向上变化，则分别称为半次正穿越或半次负穿越。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,36,【例516】 设单位反馈系统，其开环传递函数,试用奈氏判据判断系统稳定性。,解：开环幅相大致曲线如图所示,曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，N= -1 。P=0，Z= P-2N =2 。闭环系统不稳定。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,37,四、在对数坐标图上判断系统的稳定性：,对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据的依据是一样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相频图）上如何确定 N 。考察以下开环幅相曲线与Bode图的对应情况：,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,38,开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。,奈氏图频率特性曲线在 上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上 的范围内，当 增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,39,对照图如下：,对数坐标图上奈氏稳定判据如下：,设开环频率特性 在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性 的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为： ，式中 为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,40,当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画 这一段频率变化范围的相角变化曲线。,例如,系统闭环不稳定。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,41,五、最小相位系统的奈氏判据：,开环频率特性 在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。,2019/9/29,奈魁斯特稳定判据,42,小结,柯西幅角定理。满足该定理的条件。N=z-p 辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。 奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；、型系统的奈氏路径及其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。 对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。,
