高中数学：关于三角形的“四心”与平面向量的结合教案 苏教版必修5.docx
高中数学：关于三角形的“四心”与平面向量的结合教案 苏教版必修5 关于三角形的“四心”与平面对量的结合 关键字中学|数学|平面对量|内心|外心|重心|垂心 内容摘要每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三学问，就中学新课标向量的相关学问进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关学问进行复习.特殊体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者指责指正. 一、基础学问复习 1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.留意点:三角形的“四心”与平面对量学问的结合. 二、典型例题分析 例已知点G是VABC内随意一点,点 M是VABC所在平面内一点.试依据下列条件推断G点可能通过VABC的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).提出问题 uuuruuuuruuurAB(1)若存在常数l,满意MG=MA+l(uuur+ABVABCuuurACuuur)(l¹0)AC,则点G可能通过的_.D是VABC(2)若点的底边 uuuruuuruuuruuurBC上的中点,满意GDVGB=GDVGC,则点 G可能通过VABC的_. uuuruuuruuuuruuurABAC(3)若存在常数l,满意MG=MA+l(uuur+uuur)(l¹0)ABVsinBACVsinC,则点 G可能通过VABC的_. uuuruuuruuuuruuurABAC(4)若存在常数l,满意MG=MA+l(uuur+uuur)(l¹0),则点 ABVcosBACVcosCG可能通过VABC的_.思路分析以上四个问题的解决要求不同,除了熟识三角形的“四心”的性质,同时更要熟识平面对量的性质,对于平面对量与三角函数的结合也要相当熟识.解答过程(1)记uuuruuururuurABACuuur=e1,uuur=e2ABACuuururuur,则AG=l(e1+e2).由平面对量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简洁的变形后发觉点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.uuuruuuruuuruuur(3)QABVsinB=ACVsinC,记ABVsinB=ACVsinC=huuuruuuruuurl'则AG=l(AB+AC)(l'=)h, .由平面对量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发觉,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面对量的数 量 积 的, 充 分 利 用 .由uuuruuuruuuuruuurABACMG=MA+l(uuu+uuur)(l¹0)rABVcosBACVcosCuuuruuuruuurABAC得AG=l(uuur+uuur)(l¹0), ABVcosBACVcosCuuuruuuruuuruuuruuurABAC(关键点) AGVBC=l(uuur+uuur)VBC(l¹0) ABVcosBACVcosCuuuruuuruuuruuuruuuruuurABVBCACVBCAGVBC=l(uuu+uuur)(l¹0)rABVcosBACVcosC于是.uuuruuuruuuruuur=l（BCVcos(p-B)+BCVcosB）=l(-BC+BC)=0uuuruuur从而AGBC,点G是高线上的点,故应填垂心.老师点评以上四个问题处理的方法各不相同,留意到平面对量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特殊留意第四问两边同乘以某个表达式的技巧. 三、综合运用 提出问题若O点是VABC的外心, H点是VABC的垂心, uuuruuuruuuruuur且OH=m(OA+OB+OC),求实数 m的值.思路分析很多学生在解答此类题时，只能用特别值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础学问及相关性质解题.uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解答过程由OH=m(OA+OB+OC),得OH-OA=m(OA+OB+OC)-OAuuuruuuruuuruuur于是HA=(m-1)VOA+m(OB+OC), , (关键点) HAVBCuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=(m-1)OAVBC+m(OB+OC)VBC uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur即HAVBC=(m-1)OAVBC+m(OB+OC)V(OC-OB), uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur由题意,知HAVBC=0,及(OB+OC)V(OC-OB)=0,从而(m-1)OAVBC=0, uuuruuur其中OAVBC¹0,因此m-1=0,即m=1.老师点评请读者特殊留意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应娴熟驾驭.举一反三通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为VABC内随意一点，若P点满意: uuuruuuruuurìABACAP=l(+uuuruuur),l>0ïABACïïÞP为VABC的内心1íuuuruuuruuurBABCïBP=t(uuur+uuur)，t>0ïBABCïî 2.D、E两点分别是VABC的边BC、CA上的中点,且 uuuruuuruuuruuurìïDPVPB=DPVPCruuuruuuruuurÞP为VABC的外心íuuuïîEPVPC=EPVPA; r1uuuruuurìuuuAP=(AB+AC),ïï33.íuuuÞP为VABC的重心r1uuuruuurïBP=(BA+BC)，ï3îuuuruuurìïAPVBC=0ÞP为VABC的垂心4.íuuuruuurïîBPVAC=0; . 中学数学：关于三角形的“四心”与平面对量的结合教案 苏教版必修5 讲义平面对量与三角形四心的交汇 平面对量中的三角形四心问题（定稿） 中学数学必修五解三角形教案 中学数学三角形面积公式 三角形四心的向量表示 向量与三角形的重心 向量中的三角形心的问题 三角形的四心的向量表示举荐 届中学数学竞赛教案讲义(7)解三角形 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页
