第7章 平面弯曲梁的变形与刚度计算教学课件.pptx

第7章 平面弯曲梁的变形与刚度计算梁的挠曲线近似微分方程7.1积分法求梁的变形7.2叠加法求梁的变形7.3梁的刚度计算7.4简单超静定梁的计算7.57.1 梁的挠曲线近似微分方程如图所示简支梁，在集中力作用下产生平面弯曲变形，其轴线由直线变为平面曲线。弯曲变形后的轴线仍在梁的纵向对称平面内，是一根光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。梁的变形，可以用梁中各个横截面的位移来度量。横截面形心在v方向的线位移，称为该截面的挠度，用v表示。横截面绕其中性轴转过的角度，称为该截面的转角，用表示。规定：挠度向下为正；转角以顺时针转向为正。挠度和转角可作为度量梁变形的两个基本量。7.1 梁的挠曲线近似微分方程一般情况下，梁的各横截面的挠度、转角是不相同的，挠度、转角均为x的函数：( )vv x( ) x挠曲线方程转角方程tandvvdx 小变形条件下横力弯曲梁（l 10h) 仍有1MEI1( )( )M xxEI平面曲线的曲率在数学上可写作 3/2211vxv 纯弯曲梁的曲率为7.1 梁的挠曲线近似微分方程由于梁的变形很小，挠曲线很平坦，v2可略去，挠曲线近似微分方程： M xvEI 在图示坐标系中,负弯矩对应于正值v，正弯矩对应于负值的v，故式中有一负号。1( )( )M xxEI 3/2211vxv 7.2 积分法求梁的变形 M xvEI 对等直梁，EI=常数 dEIEIvM xxC ddEIvM xxxCxD 转角方程挠度方程0,0,0 xvv0,0,0 xvxlv若梁上的荷载不连续，梁的弯矩方程需分段写。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的边界条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。1212,xavvvv a7.2 积分法求梁的变形【例7.1】如图所示的等截面悬臂梁，受均布荷载q作用，设EI为常数。求梁自由端B截面的挠度和转角。【解】：求梁的挠曲线近似微分方程求梁的转角方程和挠度方程求B截面的挠度和转角22( )(0)22qlqxM xqlxxl22( )1( )()22M xqlqxv xqlxEIEI 2231( )( )()226qlxql xqx xv xCEI 32241( )()6424qlxql xqxv xCxDEI 确定积分常数0 x (0)0v(0)0v0C 0D xl3( )6Bql lEI4( )8Bqlvv lEI7.2 积分法求梁的变形【例7.2】用积分法求如图所示简支梁C截面的挠度vC和转角C。【解】：求梁的挠曲线近似微分方程求梁的转角方程和挠度方程AC段0 xl 14qlMxx 1114MxqlvxxEIEI CB段2lxl 2242qlqMxxxl 2221142MxqlqvxxxlEIEIEI AC段CB段 21111( )8ql xvxxCEI 3111124qlvxxC xDEI 3222211( )86qlqxvxxxlCEIEI 43222112424qlqvxxxlC xDEIEI 7.2 积分法求梁的变形【例7.2】用积分法求如图所示简支梁C截面的挠度vC和转角C。【解】：求C截面的挠度和转角确定积分常数边界条件：0 x 100v2xl220vl 变形连续条件：xl 12v lvl 12v lvl代入，得312748qlCCEI120DD3321784848CqlqlqllEIEIEI 343175244848CqlqlqlvllEIEIEI xl7.3 叠加法求梁的变形从积分法计算梁的变形可知，在梁的变形微小并且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的变形与作用于梁上的荷载成线性关系。当梁上同时受到多个荷载作用时，每个荷载引起的梁的变形不受其它荷载的影响。梁的变形满足线性叠加原理，即：在多个荷载共同作用时引起的梁的变形，等于各个荷载单独作用时引起的梁的变形的代数和。在简单荷载(集中力，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的表7.1中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。7.3 叠加法求梁的变形梁的简图梁端截面转角最大挠度BMlEI22BMlvEI22BFlEI33BFlvEI36BqlEI48BqlvEI324ABqlEI 45384BqlvEI3BMlEI 2/216lMlvEI6AMlEI3/248lFlvEI216ABFlEI 7.3 叠加法求梁的变形【例7.3】简支梁如图所示。试用叠加法求跨中C截面的挠度和支座B截面的转角，设EI为常数。【解】：将梁上荷载分解为均布荷载q和集中力偶Me两种简单荷载根据叠加原理查表得45384CqqlvEI324BqqlEI 241616eeCMM lqlvEIEI333eeBMM lqlEIEI 44452938416384eCCqCMqlqlqlvvvEIEIe2233q-2438BBqBMqlMllEIEI 7.3 叠加法求梁的变形【例7.4】试用叠加法求如图所示悬臂梁C截面的挠度vC，已知EI为常数。【解】：先将梁上均布荷载延长至梁的左端，并在延长段上增加等值反向的均布荷载，再将受力分解为两种情况根据叠加原理查表得418CqlvEI442( )28128BlqqlvEIEI 332( )2648BlqqlEIEI 43422272128482384CBBlqlqllqlvvEIEIEI 444127418384384CCCqlqlqlvvvEIEIEI7.4 梁的刚度计算在梁的设计中，不仅要求梁有足够的强度，还要求梁有足够的刚度，即要把梁的变形控制在工程许可的范围内。在土木工程中，通常对梁的挠度加以限制，例如房屋或桥梁结构中的梁若挠度过大，均会影响其正常使用。梁的刚度条件为：式中：l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)。maxvfllfl7.4 梁的刚度计算【例7.5】承受均布荷载的工字钢梁如图所示。跨长l=6m，均布荷载q=10kN/m，钢材的许用应力=160MPa，弹性模量E=2105MPa， 。试选择工字钢型号。【解】：选择工字钢型号校核梁的刚度1200fl22max1110kN/m (6m)45kN m88Mql 3433max645 10 N m2.81 10 m281cm160 10 PazMW查附录型钢规格表，选用22a号工字钢3309cmzW 43400cmz 4max5384qlvEI33max568455 10KN/m (6m)11384384 2 1010 Pa3400 10 m242400vqlflEIl 所以，选用22a号工字钢可满足强度和刚度要求。7.5 简单超静定梁的计算与轴向拉（压）、扭转超静定问题相仿，在超静定梁中，同样存在多余约束。求解超静定梁时，除列出梁的平衡方程外，还要由梁的变形条件和物理关系得到补充方程，与平衡方程联立求出所有的未知力。7.5 简单超静定梁的计算【例7.6】求图示超静定梁的约束力。设EI为常数。【解】：该梁为一次超静定梁，可将B处的可动铰支座视为多余约束，FB 视为多余约束力。代入得0BBBqBFvvv变形协调条件48BqqlvEI33BBBFF lvEI 38BFql利用静力平衡条件得查表得0AxF5( )8AyFql28AqlM（ ）p 本章小结 梁的变形用横截面的挠度v和转角来衡量。挠度向下为正；转角以顺时针转向为正。在小变形条件下，转角很小，转角与挠度的关系为： 积分法是计算梁变形的基本方法，用到梁的挠曲线近似微分方程，其表达式为： 积分一次得转角方程为 积分两次，得挠曲线方程为 积分常数C、D利用梁的边界条件和变形连续条件确定。tanv( )M xvEI 1( )vM x dxCEI 1( )vM x dx dxCxDEI p 本章小结 叠加法在工程计算中有实用意义，梁的变形（挠度v和转角）在多个荷载共同作用时，等于各个荷载单独作用时引起的梁的变形（挠度v和转角 ）的代数和。 梁的刚度条件为： 在梁的设计中，一般先按强度条件选择截面，然后按刚度条件校核， 若不满足刚度条件再按刚度条件重新选择截面。 计算超静定梁时，要用静力平衡方程与补充方程联立求解，补充方程是由变形协调方程和反映力与变形之间关系的物理方程得到的。maxvfll