整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编(共5页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编【知识盘点】若m、n均为正整数，则am·an=_，即同底数幂相乘，底数_，指数_【应用拓展】1计算：（1）64×（6）5 （2）a4（a）4（3）x5·x3·（x）4 （4）（xy）5·（xy）6·（xy）72计算：（1）（b）2·（b）3+b·（b）4 （2）a·a6+a2·a5+a3·a4（3）x3mn·x2m3n·xnm （4）（2）·（2）2·（2）3··（2）1007已知ax=2，ay=3，求ax+y的值8已知4·2a·2a+1=29，且2a+b=8，求ab的值积的乘方【知识盘点】积的乘方法则用字母表示就是：当n为正整数时，（ab）n=_ 1计算： （1）（2×103）3 （2）（x2）n·xmn （3）a2·（a）2·（2a2）3 （4）（2a4）3+a6·a6 （5）（2xy2）2（3xy2）22先完成以下填空： （1）26×56=（ ）6=10( ) （2）410×2510=（ ）10=10( ) 你能借鉴以上方法计算下列各题吗？（3）（8）10×0.12510 （4）0.×42006（5）（9）5·（）5·（）53已知xn=2，yn=3，求（x2y）2n的值4一个立方体棱长为2×103厘米，求它的表面积（结果用科学记数法表示）10观察下列等式： 13=12； 13+23=32； 13+23+33=62； 13+23+33+43=102； （1）请你写出第5个式子：_ （2）请你写出第10个式子：_ （3）你能用字母表示所发现的规律吗？试一试!【知识盘点】若m、n均为正整数，则（am）n=_，即幂的乘方，底数_，指数_1计算：（1）（y2a+1）2 （2）（5）3 4（54）3 （3）（ab）（ab）2 52计算：（1）（a2）5·aa11 （2）（x6）2+x10·x2+2（x）3 48用幂的形式表示结果： （1）（23）2=_； （22）3=_； （2）（35）7=_； （37）5=_； （3）（53）4=_； （54）3=_你发现了什么规律？用式子表示出来同底数幂的除法知识点：1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减： 底数a可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式。强调a0的必要性2、a0=1(a0)练习：一、填空题1.计算：= ，= .2.在横线上填入适当的代数式：，.3.计算： = ， = 4.计算：= .5.计算：_二、解答题1.计算：1、； 2、；3、； 4、.2.计算：1、； 2、； 3、 ； 4、. 3.地球上的所有植物每年能提供人类大约大卡的能量，若每人每年要消耗大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？4.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，则89的个位数字是（ ）A.2 ； B4； C8； D6.5.如果，则= .6. 解方程：（1）； （2）.7. 已知,求的值.8.已知,求(1)；(2).零指数幂与负整数指数幂知识点：1、零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义！”50=1，100=1，a0=1（a0）:2.负整数指数幂任何不等于零的数的n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.例题（1）3-2（2）计算：（1）（-0.1）0；（2）；（3）2-2；（4）.知识点：科学记数法科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1 a 10，n为正整数。）将一个数用科学计数法表示的时候，10的指数比原数的整数位数少1，例如原数有6位，则10的指数为5。确定a值的时候，一定要注意a的范围1 a 10。将一个用科学计数法表示的数写出原数的时候，10n=1000（共有n个0）即a×10n= a×1000（共有n个0）1、3.65×10175是 位数，0.12×1010是 位数；2、把用科学记数法表示为 ，把用科学记数法表示为 ；3、用科学记数法记出的数5.16×104的原数是 ，2.236×108的原数是 ；4、比较大小：3.01×104 9.5×103；3.01×104 3.10×104；5、地球的赤道半径是6371千米， 用科学记数法记为 千米22、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求 的值.（4分）23、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求的值.（4分） 24、若， 求的值. （4分）单项式的乘法知识点一、单项式与单项式相乘单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。基础巩固1. (2a4b2)(3a)2的结果是( ) A.18a6b2 B.18a6b2 C.6a5b2D.6a5b2 2.若(am+1bn+2)·(a2n1b2m)=a5b3,则m+n等于( ) A.1B.2 C.3D.3 3.式子( )·(3a2b)=12a5b2c成立时，括号内应填上( ) A.4a3bcB.36a3bc C.4a3bcD.36a3bc 4.下面的计算正确的是( )Aa2·a4a8 B(2a2)36a6 C(an1)2a2n1 Dan·a·an1a2n5. 3x3y·2x2y2 am1·a2m 6. 3x3y(5x3y2)=_ (a2b3c)·(ab)=_ 5×108·(3×102)=_ 3xy(2x)3·(y2)2=_ ym1·3y2m1=_ 4m(m2+3n+1)=_;(y22y5)·(2y)=_ 5x3(x2+2x1)=_;7. 计算：(1)(2xy2)·(xy); (2)(2a2b3)·(3a);(3)(4×105)·(5×104); (4)(3a2b3)2·(a3b2)5;(5)(a2bc3)·(c5)·(ab2c)8. 计算：(1)2ab(5ab2+3a2b) (2)(ab22ab)·ab (3)6x(x3y) (4)2a2(ab+b2).能力拓展9. 2x2y·(3xy+y3)的计算结果是( )A.2x2y46x3y2+x2y B.x2y+2x2y4C.2x2y4+x2y6x3y2 D.6x3y2+2x2y410下列计算中正确的是( )A.3b2·2b3=6b6 B.(2×104)×(6×102)=1.2×106C.5x2y·(2xy2)2=20x4y5 D.(am+1)2·(a)2m=a4m+2(m为正整数)11计算4m(m2+3n+1)=_;(y22y5)·(2y)=_;5x3(x2+2x1)=_.12式子( )·(3a2b)=12a5b2c成立时，括号内应填上的代数式是 。13. (教材课内练习第3题变式)计算：（1）(a2b3c)2(2a3b2c4) （2）(ab22ab+b)(ab)（3）(a2n+1bn1)(2.25an2bn+1) 14. (一题多解)已知ab2=6,求ab(a2b5ab3b)的值.25、（4分）（1）据统计，全球每分钟约有 t污水排入江河湖海，这个排污量用科学记数法表示应为多少？（2）自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米长为0. m，用科学记数法表示此数为多少米？多项式乘多项式知识点：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。练习一、选择题1. 计算(2a3b)(2a3b)的正确结果是( )A4a29b2B4a29b2C4a212ab9b2 D4a212ab9b22. 若(xa)(xb)x2kxab，则k的值为( ) AabBabCabDba3. 计算(2x3y)(4x26xy9y2)的正确结果是( )A(2x3y)2B(2x3y)2C8x327y3D8x327y34. (x2px3)(xq)的乘积中不含x2项，则( )ApqBp±qCpqD无法确定5. 若0x1，那么代数式(1x)(2x)的值是( )A一定为正B一定为负C一定为非负数D不能确定6. 计算(a22)(a42a24)(a22)(a42a24)的正确结果是( )A2(a22)B2(a22)C2a3D2a67. 方程(x4)(x5)x220的解是( )Ax0Bx4Cx5Dx408. 若2x25x1a(x1)2b(x1)c，那么a，b，c应为( )Aa2，b2，c1Ba2，b2，c1Ca2，b1，c2Da2，b1，c29. 若6x219x15(axb)(cxd)，则acbd等于( )A36B15C19D2110. (x1)(x1)与(x4x21)的积是( )Ax61Bx62x31Cx61Dx62x31二、填空题1. (3x1)(4x5)_2. (4xy)(5x2y)_3. (x3)(x4)(x1)(x2)_4. (y1)(y2)(y3)_5. (x33x24x1)(x22x3)的展开式中，x4的系数是_6. 若(xa)(x2)x25xb，则a_，b_7. 若a2a12，则(5a)(6a)_8. 当k_时，多项式x1与2kx的乘积不含一次项9. 若(x2ax8)(x23xb)的乘积中不含x2和x3项，则a_，b_10. 如果三角形的底边为(3a2b)，高为(9a26ab4b2)，则面积_三、解答题1、计算下列各式(1)(2x3y)(3x2y) (2)(x2)(x3)(x6)(x1)(3)(3x22x1)(2x23x1) (4)(3x2y)(2x3y)(x3y)(3x4y)2、求(ab)2(ab)24ab的值，其中a2009，b20103、求值：2(2x1)(2x1)5x(x3y)4x(4x2y)，其中x1，y24、解方程组四、探究创新乐园1、若(x2axb)(2x23x1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为6，求a，b2、根据(xa)(xb)x2(ab)xab，直接计算下列题(1)(x4)(x9) (2)(xy8a)(xy2a).五、数学生活实践一块长acm，宽bcm的玻璃，长、宽各裁掉1 cm后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?六、思考题：请你来计算：若1xx2x30，求xx2x3x2012的值乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1已知，求的值。例2已知，求的值。例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？例7运用公式简便计算（1）1032 （2）1982例8计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)例9解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。例10四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？。例11计算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2二、乘法公式的用法(一)、套用:例1. 计算： (二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2. 计算：例3. 计算：三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例4. 计算：四、变用: 题目变形后运用公式解题。例5. 计算：五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6. 已知，求的值。例7. 计算：例8. 已知实数x、y、z满足，那么（ ）三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)例2 计算(-a2+4b)2（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍例6 计算(2x+y-3)2下列各题，难不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2±abb2)=a3±b3第一层次正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用例1计算 (2)(2xy)(2xy)第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用例2计算(1)199821998·399419972； 第三层次活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式例3化简：(21)(221)(241)(281)1例4计算：(2x3y1)(2x3y5)第四层次变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，则求解十分简单、明快例5已知ab=9，ab=14，求2a22b2和a3b3的值第五层次综合后用 ：将(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2综合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷 例6计算：(2xyz5)(2xyz5)因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的形状是（ ）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：例4、分解因式： 练习：分解因式3、 4、综合练习：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 >0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）五、换元法。例13、分解因式（1） （2）练习13、分解因式（1）（2） （3）本章练习一、逆用幂的运算性质1 .2( )2002×(1.5)2003÷(1)2004_。3若，则 .4已知：，求、的值。5已知：，则=_。二、式子变形求值1若，则 .2已知，求的值.3已知，求的值。4已知：，则= .5的结果为 .6如果（2a2b1）(2a2b1)=63，那么ab的值为_。7已知：，求的值。8若则9已知：，则_，_。10已知，则代数式的值是_。专心-专注-专业