概率论在实际中的应用(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 摘 要概率论是数学的一个重要分支，是研究随机现象统计规律性的一门学科，随着社会的不断发展，概率论的知识越来越重要,应用也越来越广泛了。它有自己独特的证明方法并且与其它学科互相渗透，它是一个有用的生活工具，缺乏概率论的知识将“一头雾水，举步维艰”。本文就概率论的思想与方法（如小概率事件、二项分布、泊松分布等）在其他数学学科、商业企业、建筑工程及生物遗传学等领域上的应用展开讨论，从中可以看出概率方法的思想在解决实际问题中的高效性、简捷性和实用性，让读者了解概率论知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，以扩大读者对概率论应用的了解，从而增加其学习概率论的兴趣，培养其逻辑推理的能力及分析问题和解决问题的能力。关键词:数学学科，商业企业，建筑工程，生物遗传学 专心-专注-专业The application of probability theory in practiceAbstract: Probability theory is an important branch of mathematics, is a science of studying the statistical regularity of random phenomena, with the continuous development of society, the knowledge of probability theory is more and more important, also more and more extensive application. It has its own unique method of proof and other disciplines, it is a useful tool life, the lack of the knowledge of probability theory will "confused, difficult". The thought and method of probability theory (such as a small probability event, two binomial distribution, Poisson distribution etc.) discusses the application in other fields of mathematics, business, engineering and biological genetics and so on, can be seen from the probability theory to practical issues in high efficiency, simple and practical in the solution, allowing readers to understand the rich background knowledge is closely associated with the human practice of probability theory, to enlarge the readers to the application of probability theory to understand, so as to increase the probability of learning interest, cultivating ability and analysis its logical reasoning and problem solving ability.Keywords: mathematics, business, engeering, biological genetics关键词:数学学科，商业企业，建筑工程，生物遗传学目 录一、引言随着科学技术的飞速发展，经济全球化的进程日益推进，我们的生活变得五彩斑斓，多姿多彩。在每天的新闻播出中，各类社会热点问题频频出现在眼前，给生活带来了诸多精彩，也带来了许多困惑，这些问题完全可以用概率论知识来解读。概率论作为数学的一个重要分支，正在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、医学、地质学、空间技术、气象与自然灾害预报等领域越来越发挥出其广泛而深远的作用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”本文简单的阐述了概率论在以下四个方面的简单应用。二、 概率论知识在其它数学学科中的应用（一）概率论知识在数学分析中的应用1 数列求极限数学分析中的数列极限问题的证明和计算有的比较烦琐,若用概率论的知识去解决,可达事半功倍的效果。例题1求.解：设服从的分布，即 ,则,所以 .由级数收敛的必要性可知：.实际上，形如 的极限求值均可构造的分布来求值，再用级数收敛的必要性去判断即可。例题2 求证。证明：设随机变量服从分布，即 .已知,符合中心极限定理的条件，则由题“分布收敛于标准正态分布”可知：.即 .可见，对于数列极限有关的证明用概率论的知识去解决确实简便易行。2级数求和级数求和是数学分析中的又一难点，如果用概率论的知识去解决,可使问题迎刃而解。例题 1 求级数.解：考虑随机试验：一个袋中装有个红球，1个白球，每取一个，若取到红球，则停止取球,若取到白球，将该球放入，再放入一个白球，直到取到红球为止。设表示取球次数，则分布列为 ； .设= 取球次数不超过，+,=取球次数超过=前次取白球，.由 ,即 ,从而 . 即 .例题2 求.解: 设随机变量服从的几何分布.即 ,则 .而另一方面 , 因此 . 对于形如 的级数都可用概率论中的几何分布求得，而且相当省事。同时还有一些其他类型的级数求和也可以应用概率论中的一些概率模型（如泊松分布、二项分布、超几何分布等）进行计算，不但加快了计算速度，而且计算过程简单易理解。3 求广义积分广义积分因原函数不能用初等函数表示, 因而不能直接进行积分运算,显得困难,而应用概率论中的标准正态分布的有关理论, 则显得简洁明快,独具匠心.由标准正态分布有 （1） 由（1） （2） 由（2）可计算被积函数为的积分。 例题 1 求. 解：（二）概率论知识在初等代数中的应用不等式的证明一直都是初等代数中的一个难点，而有些证明不等式的问题如果应用概率论知识来解决，就会给人以耳目一新的感觉,并且问题也简化易行了。例题1( 平均数不等式) 设为个正数，则有。 证明：设随机变量的概率分布为 由 得 即 令，其中为上的凸函数，又由詹森不等式的结论，得 （1） 推得 , 即 .在式（1）中若令随机变量的概率分布为 ,则有,即因此： （三）概率论知识在数学建模中的应用1、验血模型例题1有个人去验血，试比较下面两种化验方法的优劣：(1)个人分别化验；(2)把每个人的血样分成两部分，先把个人的血混在一起进行化验，如呈阳性再对这个人的血逐一化验。解：设每个人化验呈阳性的概率为，呈阴性的概率为，设第二种方法每个人所需的化验次数为，则 ， 故 因此，第二种方法所需化验总次数的期望为：当时，第二种方法更优。例如，当时，可取，此时，第二种方法比第一种方法可减少的工作量。2、零件更换模型例题设某零件的寿命的概率分布密度为，零件发生故障后更换带来的损失为，未发生故障而采取预防性更换的费用为。所谓预防性更换是指确定一个时间，当零件寿命时进行预防性更换，当时进行预防性更换。求为多少时单位时间内的平均损失最小。解：记零件每更换一次为一个周期，用表示，则 故周期的平均长度为：一个周期内的损失记忆为：故一个周期内的平均损失为：单位时间内的平均损失为：令 得：解得：3、传染病模型例题人群中有病人和健康者（易感染者)，任何两人之间的接触都是随机的，当易感染者与病人接触时是否被感染也是随机的，试分析每天平均被感染人数及其方差。解：（1）、模型假设 人群分为两类：类（易感染者）与类(病人)，人数分别为与，总人数为； 人群中任两人的接触是相互独立的,且有相同的概率,每人每天平均与人接触; 当类人与类人接触时，被感染的概率为。 （2）、模型求解 设假设中的概率为，任一类人每天接触的人数服从二项分布。由 知 设任一类人被某一指定的类人感染的概率为，则 记任一类人被感染的概率为，则，故 类人被感染的人数服从二项分布，其均值：方差： （3）、近似计算设，则故，。（4）、模型解释从求解结果可以看出与、成正比，当很小或很大时都很小，当时最大，这些都与直观相符。由此可见，生活中的一些复杂的问题通过概率论的知识构造出简单易行、清晰明了的数学模型，使问题变得更形象更具体。三 概率论分析方法在商业企业中的应用在市场经济条件下，商业企业的经营和销售情况一般不是由经营者主观愿望所决定，完全是个随机过程。它包括很多不可控的具体问题：如在某单位时间(如天)内有多少位顾客光顾该商场；在已经进入该商场的顾客中又有多少人真正实施购物行为；每位顾客在这次购物活动中总共购买多少货币的商品等问题，需要用概率论分析方法来解决。因此，概率论在商业企业中有广泛的应用。这里重点选择商业企业面临的几类典型的问题来说明其应用。（一）进货问题例如，某商场每星期四进货，以备星期五、六、日三天销售，根据多周统计，这三天的销售数量彼此独立且分布已知。则三天销售总量这个随机变量可以取的那些值可利用概率论知识来解决。同样可解决如果进货件，不够卖的概率及进货件够卖的概率。（二）销售问题例如，某公司生产某种新产品，作为一名业务员，他准备在个地点销售公司的产品，据估计大概有个地点销售不出公司的产品，假设在可以销售出产品的地点，业务员手中的产品能一次性销售完。但不知道具体哪个地点可以销售出产品。问这个业务员要销售完他的产品大概需要多长时间？分析：我们假设该业务员到个销售不出产品的地点所用的时间分别为：；设该业务员到个可以销售出产品的地点所用的时间分别为：；利用公式概率模型可以很简便地求出业务员要销售完他的产品的大概时间。（三）资源配置问题 例如，某商场一个柜台有四名售货员，每名售货员平均一小时内只用秤分钟，则该店配置几台称较为合理，可以利用随机变量服从二项分布、事件的独立性及小概率原理来解决资源配置问题。（四）资产组合问题 在金融市场上规避风险是任何投资者首要考虑的目标，而多样化投资是降低风险的一种途径，这也是资产组合理论的核心内容。我们举一个太阳镜和雨衣的例子来分析资产组合在降低风险方面的作用，所用到的概率论知识也是很简单的期望收益。这也是笔者在日常教学中一个深刻的体验，现代经济学虽然所用到的数学知识越来越深奥，但是一些简单的数学概念却能够揭露经济学深刻的内涵。假设在当前的市场上，一副太阳镜与一件雨衣的价格都元，如果未来的夏季是雨季，雨衣的价格会涨到元，太阳镜的价格会跌到元。但是，如果未来的天气是炎炎夏日，则太阳镜的价格会涨到元，而雨衣的价格会降到元。如果天气是雨季还是酷暑的概率各位，你要投资元。如果你把元全投资于雨衣(买下件雨衣，因为现价是元一件)，那么你有的概率获得元，有的概率获得元。如果你把元投资于太阳镜，结果也是一样的。最后，你的期望收入是元。但是若你在太阳镜和雨衣上各投资于一半，那么当是雨季时，你会从雨衣上获得元，在太阳镜上获得元；当是酷暑时，你会在太阳镜上获得元，在雨衣上只获得元。但不管怎么样，你一定可以得到元。多元化投资和单一投资的差别在于：在后面的多元化投资中，元是一个确定的收入，而在前面的单一投资中，只是个期望收入。对于风险厌恶者而言，多元化的投资可以降低风险，提高确定性，从而提高效用。这也是在金融市场上资产组合理论的核心内容。（五）利润问题例如，某商业企业经销某一种商品，每周进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量，且都服从区间上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润元；若需求量超过进货量，该商业企业可从其他商业企业调货供应，这时每单位商品获利元，则计算此商品经销商经销该种商品每周所获得的平均利润，就需要通过计算连续型二元随机变量的数学期望来解决。（六）库存问题例如，某商业企业根据过去的销售纪录，知道某种商品每月的销售量可以用参数为的泊松分布来描述，为了以以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该种商品？这需要利用随机变量服从泊松分布的信息，通过查表计算可得该商业企业只要在月底库货不低于件，就能以的概率保证下个月该种商品不脱销。（七）市场开拓问题例如，某公司生产某种新产品，欲在市场进行销售，目前据该公司业务人员估计有一百个市场值得去开拓，由以前的经验，大概有个市场可以开拓成功，但每开拓一个市场需要投资费用元，问预算员在估计这种产品的利润时，利润至少为多少，做出这种决策才是可行的？分析：由公式概率模型我们知道，开拓这一市场需要投资的平均费用为：（万元）也就是说，这批产品如果利润能超过元，做出开拓决策才是可行的。 再如，保险市场开拓问题：在经济学上把人分为三种人：风险喜好者、风险厌恶者和风险中立者，实际上在日常生活中大部分人是风险厌恶者，不喜欢风险是很多人的共性，因此在面对风险时如何防范风险成为很多人不得不考虑的问题，而买保险是很多人的理性选择。在日常生活中我们常听到这样的例子比如某某家房子烧了，保险公司陪了几十万，可能房主当初只出了一两万块买保险，因此很多人不解要是买保险的人都发生意外，这样保险公司不是垮了。其实，保险市场的存在就是概率论知识淋漓尽致的应用。毕竟发生意外是小概率事件，既是小概率事件，盈利自然是理所当然的事情。在课程上，笔者常举这个例子来考查概率论知识在保险市场的应用：比如一个消费者的效用函数为，设消费者初始的财富为，如果发生火灾使得消费者损失的财产，那么消费者只剩下的财产，如果发生火灾的概率为，那么消费者愿意支付多少保险格和保险公司的利润是多少？由于在这里我们假设了保险价格为，那么消费者初始的效用为，消费者在存在发生火灾概率的情况下，效用为，那么则有：，此时可以得到，而保险公司需要支付，但是这种支付的概率为，因此只需要支付，保险公司的利润为，因此看起来保险公司好支付了一个很大的值，可是由于发生意外的概率很小，支付的值要小得多，这也是日常生活中大量保险公司能够存在的原因。而且保险公司能够针对不同的风险程度设计不同的保险理赔率，这样可以达到效用最大化，虽然在整个分析过程中我们所用的概念只有期望值这一个，但是通过成本收益的分析我们可以看出保险市场存在的根本条件，而且得出的结论是符合保险市场的运作的，有必要开拓这个市场。（八）决策问题例如，某商业企业有一个由9人组成的顾问小组，每个顾问贡献正确意见的百分比为0.7，现该企业对某个促销策略可行与否分别征求各位顾问个别的意见，并按多数人的意见作出决策，同样可利用概率论知识来求出做出正确决策的概率。四 概率论知识在建筑工程方面中的简单应用 案例：矿井通道事件1、问题提出考虑一个矿井工人被困在一个矿井中，他面临着两条通道，如果他走第一条通道，经过时间后会重新返回原处；如果他走第二条通道，经时间后会顺利走出矿井。假设这个工人对这两条通道是完全无知的，且在实际问题中，这个工人一定能走出矿井，问这个工人平均需要花费多长时间才能走出这个矿井？分析假设1：假设此工人首先选择第一条通道，当他回到原处时，对以前的记忆完全无信息，由古典概型知，则他每次选择都是等可能的。易知第一次就能够走出去的概率是，第二次走出去的概率是，第三次走出去的概率是，第四次走出去的概率是，依次类推。设此工人平均需要花费时间为，若选择第一条通道，需要时间才可以走出去；若选择第二条通道，需要时间可以走出去。则平均需花费时间为：从而。 分析假设2：假设此工人对以前获取的信息完全记忆，即如果他首先选择了第一条通道，下一次就不会再选择这条通道了，易知他第一次对两条通道的选择是等可能的。若选择第一条通道，需要时间才可以走出去；若选择第二条通道，需要时间可以走出去。则平均需要花费时间为：，从而。 2问题的推广若此工人面临条通道，他选择第条通道，则他经过时间返回原处；若他选择第条通道，则他经过时间可以顺利走出通道，问此人平均需要多长时间能够走出通道？分析假设1：假设此工人选择某条通道回到原处后，对以前的记忆完全无信息，且易知对各条通道的选择是等可能的。设平均所需时间为则 所以 分析假设2：假设此工人选择某条通道回到原处后，对以前的记忆都具有完全的信息，且每次选择后，对剩余通道的选择是等可能的。则平均所需时间为： 五 概率论在医学遗传学中的应用 案例1（红绿色盲遗传）红绿色盲属于伴性遗传，而先天性聋哑属于常染色体遗传。一对表现型正常的夫妇，生了一个既患聋哑，又患色盲的男孩，则这对夫妇再生一个正常的男孩的概率是多少？ 解析：用表示先天性聋哑，用表示色盲。因为生出了一个患病的儿子，所以这对夫妇的基因型是： 所以，再生一个健康的儿子的话，首先，不患聋哑的概率是，不患色盲且是儿子的概率是。所以，生出一个健康的儿子的概率是。案例2（聋哑遗传） 已知多指是由显性基因控制的，先天性聋哑是由隐性基因控制的，一对夫妇的基因型为和，求他们的子代中只患一种病的概率。 解析方法一：只患一种病的有两种情况：只患多指和只患聋哑。先分别求出多指和聋哑的正常和患病的概率： 正常，多指 正常，聋哑只患一种病，即只患多指和只患聋哑 解析方法二： 先分析一种病都没有的概率，基因类型是,的概率是，因为决定他只能提供，所以提供的概率是，的概率是,所以的概率是 (概率论基础里面的相互独立事件)同时患两种病,前半部分是(不可能有)，概率为，后半部分不是,可能是或者是,概率为(被减数就是的概率),有根据乘法原理,同时患两种病的概率是。所以只患有一种病的概率为全概率（数值为），减去同时患有两种病的概率，再减去一种病都没患的概率：。六 结束语综上所述，本文列举了概率在实际问题中应用的四个方面，其实，我们日常生活中到处都有概率的影子，小到每天的天气预报，大到神舟七号上天，都离不开概率论。保险业、金融业的风险预测更是与概率论休戚相关。通过计算体育彩票或福利彩票的中奖概率大小，我们知道，实际上只有极少数人能中奖，则购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成赌博行为。利用概率也可以解释街头上的一些常见的赌博游戏中主持者在每局中一般都会赢。此外，医学、军事等领域中的许多问题也可以由概率论中的方差分析、回归分析加以描述和分析。概率论作为一门独立的学科，它的足迹可以说已经深入到每一个领域，在实际问题中的应用随处可见。尤其随着科技飞速发展，知识产业化的今天，许多基础学科从幕后走到台前，概率的许多其他方面也正在或将要发挥它应有的作用。我们相信，随着经济的不断发展，社会制度的不断完善以及信息产业的不断更新，概率的重要用将继续被我们发掘出来，更好的为人类服务。 参考文献1聂世谦.概率论思想在一些不等式中的应用M.太原科技大学学报，2魏宗舒.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育3王文华.经济学研究中数学模型的应用J.中州学刊，2007(4)：39-404龙永红.概率论与数理统计M. 高等教育出版社，2003年5袁荫棠. 概率论与数理统计M .中国人民大学出版社，1990年6盛骤 谢式千 潘承毅. 概率论与数理统计M. 高等教育出版社，20047华东师范大学数学系 数学分析M. 北京: 高等教育出版社，20068J B Cui ,J Ristein ,L Ley Phys.Rev.Lett.81(1998)429.9K Okano ,S Koizumi ,S R P Silva , G.A.J.A maratunga. Nature, 381(1996)140