等差数列的前n项和公式习题(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项解 依题意，得解得a1=113，d=22 其通项公式为an=113(n1)·(22)=22n135a6=22×61353【例2】 在两个等差数列2，5，8，197与2，7，12，197中，求它们相同项的和解 由已知，第一个数列的通项为an3n1；第二个数列的通项为bN=5N3若ambN，则有3n15N3若满足n为正整数，必须有N3k1(k为非负整数)又25N3197，即1N40，所以N1，4，7，40 n=1，6，11，66 两数列相同项的和为21732197=1393【例3】 选择题：实数a，b，5a，7，3b，c组成等差数列，且ab5a73bc2500，则a，b，c的值分别为 A1，3，5B1，3，7C1，3，99D1，3，9又 145a3b， a1，b3首项为1，公差为2a50=c=1(501)·2=99 a1，b3，c99【例4】 在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数解 依题意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10个数【例5】 已知等差数列an中，S3=21，S6=24，求数列|an|的前n项和Tn解方程组得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各项为负数列an的前n项和为：当n5时，Tnn210n当n6时，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50说明 根据数列an中项的符号，运用分类讨论思想可求|an|的前n项和【例6】 在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17S20170【例7】 已知等差数列an的公差是正数，且a3·a7=12，a4a6=4，求它的前20项的和S20的值解法一 设等差数列an的公差为d，则d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20180解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3·a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增数列a36，a7=2【例8】 等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199【例9】 解答下列各题：(1)已知：等差数列an中a23，a617，求a9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求Sn的最大值分析与解答a9=a6(96)d=173×(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，当n=10或n=11时，Sn取最大值165【例10】 求证：前n项和为4n23n的数列是等差数列证 设这个数列的第n项为an，前n项和为Sn当n2时，anSnSn-1an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1当n=1时，a1=S1=43=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有an=8n1又an+1an8(n1)1(8n1)8这个数列是首项为7，公差为8的等差数列【例11】 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？解 S偶项S奇项=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27【例12】 在等差数列an中，已知a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值解法一 建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2当n=13时，Sn最大，最大值S13169解法二 因为a1=250，d20，所以数列an是递减等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17寻找相邻项的关系由题意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140S13=169最大解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的nan是等差数列可设SnAn2Bn二次函数y=Ax2Bx的图像过原点，如图321所示S9S17，取n=13时，S13169最大专心-专注-专业