2022年函数模型及其应用 .pdf

学习好资料欢迎下载第 10 课时函数模型及其应用1抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；2建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例 1.如图所示，在矩形ABCD 中，已知 AB=a ，BC=b（ba）, 在 AB ，AD ，CD ，CB上分别截取AE ，AH ，CG ，CF都等于 x，当 x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解：设四边形 EFGH 的面积为 S，则 SAEH=S CFG=x2, SBEF=SDGH=（a-x ） （b-x ） ，S=ab-22+（a-x ） （b-x ） =-2x2+（a+b）x=-2 （x-2+由图形知函数的定义域为x|0 xb.又 0ba, 0b,若b, 即 a3b 时，则当 x=时， S有最大值;若b, 即 a3b 时，S（x）在（ 0,b 上是增函数，此时当 x=b 时， S有最大值为-2(b-)2+=ab-b2,综上可知，当a3b 时， x=时，四边形面积Smax=,2121x2121)4ba,8)(2ba2ba4ba4ba8)(2ba4ba4ba8)(2ba4ba8)(2ba典型例题基础过关实际问题函数模型抽象概括实际问题的函数模型的还 原 说运用函数的性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当 a3b 时， x=b 时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练 1：某商人将进货单价为8 元的某种商品按10 元一个销售时，每天可卖出100 个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值. 解： 设每个提价为x 元（ x0） ，利润为y 元，每天销售总额为（10+x） （ 100-10 x ）元，进货总额为8（ 100-10 x ）元，显然 100-10 x 0, 即 x10,则 y=（10+x） （ 100-10 x ）-8(100-10 x)=(2+x)(100-10 x)=-10(x-4)2+360 (0 x10).当 x=4 时， y 取得最大值，此时销售单价应为14 元，最大利润为360 元 .例 2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间 t （h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点 T（t ，0）作横轴的垂线 l ，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为t （h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当 t=4 时，求 s 的值；（2）将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若 N城位于 M地正南方向，且距M地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N城？如果不会，请说明理由.解： （1）由图象可知：当 t=4 时， v=34=12,s=412=24.（2）当 0t 10 时， s=t 3t=t2，当 10t 20 时， s=1030+30（t-10 ）=30t-150 ；当 20t 35 时，s=1030+1030+(t-20)30-(t-20)2(t-20)=-t2+70t-550. 综上可知 s=(3) t 0，10时， smax=102=150650.t （ 10，20时， smax=3020-150=450 650.当 t （20， 35时，令 -t2+70t-550=650.解得 t1=30,t2=40, 20t 35,t=30 ，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N城.变式训练 2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5 万元，但每生产100 台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25 万元 . 市场对此产品的年需求量为500 台，销售的收入函数为 R（x）=5x-（万元） (0 x5)，其中 x 是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？212123212121.35,20,55070,20,10,15030,10, 0,2322ttttttt2322x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解： （1）当 x5时，产品能售出x 百台；当 x5 时，只能售出5 百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）= (2)当 0 x5时， L（x）=4.75x-0.5 ，当 x=4.75 时， L(x)max=10.781 25万元 .当 x5 时， L（x）=12-0.25x为减函数，此时 L（x） 10.75( 万元） . 生产 475 台时利润最大 .（3）由得 x4.75-=0.1( 百台）或 x48( 百台 ).产品年产量在10 台至 4 800 台时，工厂不亏本.例 3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4 吨时，每吨为1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨3.00 元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x 吨.（1）求 y 关于 x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解： （1）当甲的用水量不超过4 吨时，即 5x4，乙的用水量也不超过4 吨，y=（5x+3x） 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4 吨，乙的用水量不超过4即 3x4 且 5x4,y=41.8+3x 1.8+3 (5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4即 3x4,y=8 1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以 y=(2) 由于 y=f(x)当 x 0，时 ,y f （）26.4;当 x（，时， yf （） 26.4;当 x（,+ ）时，令24x-9.6=26.4,解得 x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5).5(25.012),50(5. 0275.4)5()25.05.0()2555() 50()25.05. 0()25(222xxxxxxxxxxx22x.025.0125,05 .0275.4,502x，xxxx或5562.21)34(6 .924).3454(8.44.20)540(4 .14xxxxxx545454343434精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载付费 S1=41.8+3.5 3=17.70 （元 );乙户用水量为3x=4.5付费 S2=41.8+0.5 3=8.70 （元). 变式训练3：1999 年 10 月 12 日“世界60 亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40 年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998 年底达到12.48 亿，若将人口平均增长率控制在1% 以内，我国人口在2008 年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数 N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数 lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数 N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数 lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解： （1）设每年人口平均增长率为x，n 年前的人口数为y，则 y(1+x)n=60，则当 n=40 时， y=30，即 30(1+x)40=60，(1+x)40=2，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则 lg （1+x） =0.007 525 ，1+x1.017 ，得 x=1.7%. （2）依题意， y12.48 （1+1% ）10得 lgy lg12.48+10 lg1.01=1.139 2,y13.78 ，故人口至多有13.78 亿. 答每年人口平均增长率为1.7%，2008 年人口至多有13.78 亿. 解决函数应用问题应着重注意以下几点：1阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小 )值等，注意发挥函数图象的作用. 4还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.402lg小结归纳精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -