2022年初中知识点总结 .pdf

数学中考知识点系统总结专题一数与式考点 1.1 、实数地概念及分类1、 实数地分类有理数：整数( 包括：正整数、0、负整数 ) 和分数 ( 包括：有限小数和无限环循小数) 都是 有理数 如： 3，0.231 ，0.737373 ，无理数 ：无限不环循小数叫做无理数 如： ， 0.1010010001 ( 两个 1之间依次多 1个0)实数： 有理数和无理数统称为实数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，它包含两层意思：一是无限 小 数 ； 二 是 不 循 环 二 者 缺 一 不可归纳起来有四类：（1）开方开不尽地数，如等；（ 2）有特定意义地数，如圆周率，或化简后含有地数，如 +8 等；（ 3）有特定结构地数，如0.1010010001等；（ 4）某些三角函数，如sin60o等注意：判断一个实数地属性( 如有理数、无理数) ，应遵循：一化简，二辨析，三判断要注意：“神似”或“形似”都不能作为判断地标准3、非负数 ：正实数与零地统称. （表为： x0）常 见 地 非 负 数有：性 质 ：若 干个 非 负数 地和 为0，则每个非负担数均为0. 4、数轴 ：规定了原点、正方向和单位长度地直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定地三要素缺一不可） . 解题时要真正掌握数形结合地思想，理解实数与数轴地点是一一对应地，并能灵活运用 . 画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右地方向为正方向，就得到数轴（“三要素”）任何一个有理数都可以用数轴上地一个点来表示. 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数地相反数，也称这两个数互为相反数. 作用： A.直观地比较实数地大小。B.明确体现绝对值意义。C.建立点与实数地一一对应关系. 5、相反数实数与它地相反数时一对数（只有符号不同地两个数叫做互为相反数，零地相反数是零），从数轴上看，互为相反数地两个数所对应地点关于原点对称，如果a与 b 互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立 .即： (1)实数地相反数是(2) 和互为相反数6、绝对值一个数地绝对值就是表示这个数地点与原点地距离，|a| 0.零地绝对值时它本身，也可看成它地相反数，若|a|=a，则 a 0；若 |a|=-a，则 a 0.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大地反而小.(1) 一个正实数地绝对值是它本身；一个负实数地绝对值是它地相反数；0 地绝对值是0即：另有两种写法(2) 实数地绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数地绝对值就是数轴上表示这个数地点到原点地距离(3) 几个非负数地和等于零则每个非负数都等于零，例如：若，则，注意： a 0, 符号“”是“非负数”地标志。数a 地绝对值只有一个。处理任何类型地题目，只要其中0 实数负数整数分数无理数有理数正数整数分数无理数有理数实数无理数 (无限不循环小数) 有理数正分数负分数正整数0 负整数(有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数a(a0)(a 为一切实数 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 有“”出现，其关键一步是去掉“”符号.7、倒数如果 a与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立 .倒数等于本身地数是1 和-1.零没有倒数 . 即(1) 实数( 0)地倒数是(2) 和互为倒数 . (3) 注意 0 没有倒数8、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零地数字起到右边精确地数位止地所有数字，都叫做这个数地有效数字.9、科学记数法把一个数写做地形式，其中，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法. （1）确定：是只有一位整数数位地数（2）确定n：当原数1时，等于原数地整数位数减1；当原数 1 时，是负整数，它地绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零地个数（含整数位上地零）.例如： 407004.07 104，0.0000434.3 105（3）. 近似值地精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位（4）按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来10、实数大小地比较知识 1、数轴规定了原点、正方向和单位长度地直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定地三要素缺一不可）. 解题时要真正掌握数形结合地思想，理解实数与数轴地点是一一对应地，并能灵活运用. 知识 2、实数大小比较地几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示地两个数，右边地数总比左边地数大. （ 2）求差比较：设a、b 是实数，（ 3）求商比较法：设a、b 是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b 是两负实数，则. （5）平方法：设a、b 是两负实数，则. 11、实数地运算（做题地基础，分值相当大）1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法地分配律6、实数地运算顺序1 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面地.2 （同级运算）从“左”到“右”（如5 5）。 ( 有括号时 ) 由“小”到“中”到“大”. 12、有理数地运算：加法：同号相加，取相同地符号，把绝对值相加.异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大地数地符号，并用较大地绝对值减去较小地绝对值.一个数与0 相加不变 .减法：减去一个数，等于加上这个数地相反数. 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.任何数与0 相乘得0.乘积为1 地两个有理数互为倒精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 数 .除法：除以一个数等于乘以一个数地倒数.0 不能作除数 . 乘方：求 N 个相同因数A 地积地运算叫做乘方，乘方地结果叫幂，A 叫底数， N 叫次数 . A*A*A*A*A=AN考点 1.2、实数与二次根式1、平方根如果一个数地平方等于a，那么这个数就叫做a地平方根（或二次方跟）. 一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零地平方根是零；负数没有平方根. 正数 a 地平方根记做“”. 2、算术平方根正数 a 地正地平方根叫做a 地算术平方根，记作“”. 正数和零地算术平方根都只有一个，零地算术平方根是零. （0）；注意地双重非负性：-（b a+cb+c ab acbc(c0) ab acbc(cb,bc ac ab,cd a+cb+d. 5、一元一次不等式、一元一次不等式地概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数地次数是1，且不等式地两边都是整式，这样地不等式叫做一元一次不等式.axb、axb、axb、axb、axb(a 0).、一元一次不等式地解法（在数轴上表示解集）解一元一次不等式地一般步骤：（ 1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（ 4）合并同类项（5）将 x 项地系数化为1 即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为( 或 )() 地形式，再把系数化为1 得出不等式地解集说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以( 或除以 ) 一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：当时， (或) 当时， (或) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 当时，若，不等式无解( 或不等式地解集为一切实数) 当时，若，不等式地解为一切实数( 或不等式无解 ) 6、一元一次不等式组、一元一次不等式组地概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 几个一元一次不等式地解集地公共部分，叫做它们所组成地一元一次不等式组地解集. 求不等式组地解集地过程，叫做解不等式组. 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.、一元一次不等式组地解法（在数轴上表示解集）（1）分别求出不等式组中各个不等式地解集（2）利用数轴求出这些不等式地解集地公共部分，即这个不等式组地解集. 即先求出不等式组中每一个不等式地解集，再利用数轴求出这些不等式地解集地公共部分，即为不等式组地解集两个一元一次不等式所组成地不等式组地解集地一般情况可见下表( 其中 ) 口诀不等式组 解集在数轴上表示同小取小同大取大大小取中两背为空不等式组无解考点 2.4 一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2 地整式方程叫做一元二次方程. 2、一元二次方程地一般形式，它地特征是：等式左边十一个关于未知数x 地二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数；c 叫做常数项 .3、一元二次方程地解法、直接开平方法利用平方根地定义直接开平方求一元二次方程地解地方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如地一元二次方程 .根据平方根地定义可知，是b 地平方根，当时，当b0 直线与 y 轴交点在 x 轴地上方b=0 直线过原点b0 时， y 随 x 增大而增大；当 k0 b0 y 0 x 图 像 经 过 一 、 二 、 三 象限， y 随 x 地增大而增大 . b0 y 0 x 图 像 经 过 一 、 三 、 四 象限， y 随 x 地增大而增大 . k0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y随 x 地增大而减小b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 地增大而增大；（ 2）当 k0 时， y 随 x 地增大而增大（ 2）当 k0 k0 时，函数图像地两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随 x 地增大而减小 . x 地取值范围是x0， y 地取值范围是y0；当k0 抛物线与x 轴有两个不同交点 =0 抛物线与x 轴有唯一地公共点( 相切 ) 0 时，抛物线有最低点，函数有最小值当 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴地左侧，即当x时， y随 x 地增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时， y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（ 2 ） 对 称 轴 是x= ， 顶 点 坐 标 是（，）；（3）在对称轴地左侧，即当x时， y 随 x 地增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时， y 有最大值，7、二次函数中，地含义：表示开口方向：0 时，抛物线开口向上 0 时，图像与x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与x 轴有一个交点；当 0 时，图像与x 轴没有交点 . 补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路地题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点 A 坐标为（ x1，y1）点 B 坐标为（ x2，y2）则 AB 间地距离，即线段AB 地长度为 A 0 x B 2、函数平移规律（中考试卷中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题地时间）左加右减、上加下减开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 增减性当时，在对称轴左侧，y 随着 x 地增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x地增大而增大；当时，在对称轴左侧，y 随着x 地增大而增大；在对称轴右侧， y 随着 x 地增大而减少；最值当，当，当，求用代入法考点 3.6、二次函数地应用题考点 3.7、用函数观念看方程与不等式方程思想数学思想函数思想转化思想数形结合分类讨论y 0 一元一次方程 kxb 0 直线与 x 轴交点y0kxb 0 x 轴上方部分y0 一元一次不等式 kx b 0 x 轴下方部分y 0 一元二次方程0 与 x 轴交点y0 0 x 轴上方部分y0 一元二次不等式0 x 轴下方部分专题四 空间图形与证明考点 4.1 点 线 面 相交线 平行线和视图直线、射线和线段 1、几何图形从实物中抽象出来地各种图形，包括立体图形和平面图形. 立体图形：有些几何图形地各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 平面图形：有些几何图形地各个部分都在同一平面内，它们是平面图形. 2、点、线、面、体（1）几何图形地组成点：线和线相交地地方是点，它是几何图形中最基本地图形. 线：面和面相交地地方是线，分为直线和曲线. 面：包围着体地是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体. （ 2）点动成线，线动成面，面动成体. 3、直线地概念一根拉得很紧地线，就给我们以直线地形象，直线是直地，并且是向两方无限延伸地. 4、射线地概念直线上一点和它一旁地部分叫做射线.这个点叫做射线地端点. 一次函数 k0 二次函数 (精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 5、线段地概念直线上两个点和它们之间地部分叫做线段.这两个点叫做线段地端点. 6、点、直线、射线和线段地表示在几何里，我们常用字母表示图形. 一个点可以用一个大写字母表示. 一条直线可以用一个小写字母表示. 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示. 一条线段可用它地端点地两个大写字母来表示. 注意：（ 1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段. （ 2）直线和射线无长度，线段有长度. （ 3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点. （ 4）点和直线地位置关系有线面两种：点在直线上，或者说直线经过这个点. 点在直线外，或者说直线不经过这个点. 7、直线地性质（ 1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线. （ 2）过一点地直线有无数条. （ 3）直线是是向两方面无限延伸地，无端点，不可度量，不能比较大小. （ 4）直线上有无穷多个点. （ 5）两条不同地直线至多有一个公共点. 8、线段地性质（ 1）线段公理：所有连接两点地线中，线段最短.也可简单说成：两点之间线段最短. （ 2）连接两点地线段地长度，叫做这两点地距离. （ 3）线段地中点到两端点地距离相等. （ 4）线段地大小关系和它们地长度地大小关系是一致地. 9、线段垂直平分线地性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段地直线是这条线段地垂直平分线. 线段垂直平分线地性质定理：线段垂直平分线上地点和这条线段两个端点地距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等地点，在这条线段地垂直平分线上. 角10、角地相关概念有公共端点地两条射线组成地图形叫做角，这个公共端点叫做角地顶点，这两条射线叫做角地边. 当角地两边在一条直线上时，组成地角叫做平角. 平角地一半叫做直角；小于直角地角叫做锐角；大于直角且小于平角地角叫做钝角. 如果两个角地和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角地余角. 如果两个角地和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角地补角. 11、角地表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写地希腊字母表示，具体地有一下四种表示方法：用数字表示单独地角，如1， 2， 3 等. 用小写地希腊字母表示单独地一个角，如 ， ， ， 等. 用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）地角，如B， C 等. 用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD ， BAE ， CAE 等. 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上地字母写在两侧. 12、角地度量角地度量有如下规定：把一个平角180 等分，每一份就是1 度地角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1”， n 度记作“ n” .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 把 1地角 60 等分，每一份叫做1 分地角， 1 分记作“ 1 ”. 把 1 地角 60 等分，每一份叫做1秒地角， 1 秒记作“ 1” ”. 1=60 =60”13、角地性质（ 1）角地大小与边地长短无关，只与构成角地两条射线地幅度大小有关. （ 2）角地大小可以度量，可以比较（ 3）角可以参与运算. 15、角地平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等地角，这条射线叫做这个角地平分线. 角地平分线有下面地性质定理：（ 1）角平分线上地点到这个角地两边地距离相等. （ 2）到一个角地两边距离相等地点在这个角地平分线上. 相交线16、相交线中地角两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成地四个角中，有公共顶点但没有公共边地两个角叫做对顶角.我们把两条直线相交所构成地四个角中，有公共顶点且有一条公共边地两个角叫做临补角.临补角互补，对顶角相等. 直线 AB ，CD 与 EF 相交（或者说两条直线AB，CD 被第三条直线EF 所截），构成八个角.其中 1 与 5这两个角分别在AB，CD 地上方，并且在EF 地同侧，像这样位置相同地一对角叫做同位角；3 与 5 这两个角都在 AB， CD 之间，并且在EF 地异侧，像这样位置地两个角叫做内错角；3 与 6 在直线 AB， CD 之间，并侧在 EF地同侧，像这样位置地两个角叫做同旁内角.17、垂线两条直线相交所成地四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线地垂线，它们地交点叫做垂足.直线 AB ，CD 互相垂直，记作“AB CD”（或“ CDAB” )，读作“ AB 垂直于CD”（或“ CD 垂直于AB ”） .垂线地性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质 2：直线外一点与直线上各点连接地所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 平行线（38 分） 18、平行线地概念在同一个平面内，不相交地两条直线叫做平行线.平行用符号“”表示，如“AB CD”，读作“ AB 平行于 CD”.同一平面内，两条直线地位置关系只有两种：相交或平行. 注意：（ 1）平行线是无限延伸地，无论怎样延伸也不相交. （ 2）当遇到线段、射线平行时，指地是线段、射线所在地直线平行. 19、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 20、平行线地判定平行线地判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.简称：同位角相等，两直线平行 .平行线地两条判定定理：（ 1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行. （ 2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行. 补充平行线地判定方法：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 46 页 - - - - - - - - - - （ 1）平行于同一条直线地两直线平行. （ 2）垂直于同一条直线地两直线平行. （ 3）平行线地定义. 21、平行线地性质（ 1）两直线平行，同位角相等. （ 2）两直线平行，内错角相等. （ 3）两直线平行，同旁内角互补. 命题、定理、证明 22、命题地概念判断一件事情地语句，叫做命题. 理解：命题地定义包括两层含义：（ 1）命题必须是个完整地句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断. 命题地分类（按正确、错误与否分）真命题（正确地命题）命题假命题（错误地命题）所谓正确地命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立地命题. 所谓错误地命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立地命题. 公理人们在长期实践中总结出来地得到人们公认地真命题，叫做公理. 定理用推理地方法判断为正确地命题叫做定理. 证明判断一个命题地正确性地推理过程叫做证明. 证明地一般步骤（1）根据题意，画出图形. （ 2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证. （ 3）经过分析，找出由已知推出求证地途径，写出证明过程. 投影与视图 23、投影投影地定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到地影子，叫做物体地投影. 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成地投影称为平行投影. 中心投影：由同一点发出地光线所形成地投影称为中心投影. 24、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到地图像叫做物体地一个视图.物体地三视图特指主视图、俯视图、左视图 .主视图：在正面内得到地由前向后观察物体地视图，叫做主视图. 俯视图：在水平面内得到地由上向下观察物体地视图，叫做俯视图. 左视图：在侧面内得到地由左向右观察物体地视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图. 考点 4.2、三角形及全等三角形知识结构 1、三角形地概念由不在同意直线上地三条线段首尾顺次相接所组成地图形叫做三角形.组成三角形地线段叫做三角形地边；相邻两边地公共端点叫做三角形地顶点；相邻两边所组成地角叫做三角形地内角，简称三角形地角.2、三角形中地主要线段（1）三角形地一个角地平分线与这个角地对边相交，这个角地顶点和交点间地线段叫做三角形地角平分线. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 46 页 - - - - - - - - - - （ 2）在三角形中，连接一个顶点和它对边地中点地线段叫做三角形地中线. （3）从三角形一个顶点向它地对边做垂线，顶点和垂足之间地线段叫做三角形地高线（简称三角形地高）. 3、三角形地稳定性三角形地形状是固定地，三角形地这个性质叫做三角形地稳定性.三角形地这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定地东西一般都制成三角形地形状.4、三角形地特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C 地三角形记作“ABC ”，读作“三角形ABC ”. 5、三角形地分类三角形按边地关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等地等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角地关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角地三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角地三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角地三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊地三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等地直角三角形. 6、三角形地三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形地两边之和大于第三边. 推论：三角形地两边之差小于第三边. （ 2）三角形三边关系定理及推论地作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边地范围. 证明线段不等关系. 7、三角形地内角和定理及推论三角形地内角和定理：三角形三个内角和等于180. 推论：直角三角形地两个锐角互余. 三角形地一个外角等于和它不相邻地来两个内角地和. 三角形地一个外角大于任何一个和它不相邻地内角. 注： 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角. 8、三角形地面积三角形地面积 =底高全等三角形 1、全等三角形地概念能够完全重合地两个图形叫做全等形. 能够完全重合地两个三角形叫做全等三角形.两个三角形全等时，互相重合地顶点叫做对应顶点，互相重合地边叫做对应边，互相重合地角叫做对应角.夹边就是三角形中相邻两角地公共边，夹角就是三角形中有公共端点地两边所成地角.2、全等三角形地表示和性质全等用符号“”表示，读作“全等于”.如 ABC DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”. 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点地字母写在对应地位置上. 3、三角形全等地判定精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 三角形全等地判定定理：（ 1）边角边定理：有两边和它们地夹角对应相等地两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们地夹边对应相等地两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（ 3）边边边定理：有三边对应相等地两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”） . 直角三角形全等地判定：对于特殊地直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等地两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）4、全等变换只改变图形地位置，二不改变其形状大小地图形变换叫做全等变换. 全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动地变换叫做平移变换. （ 2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换. （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定地角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 考点 4.3 等腰三角形 1、等腰三角形地性质（ 1）等腰三角形地性质定理及推论：定理：等腰三角形地两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形地顶角平分线、底边上地中线、底边上地高重合 .推论 2：等边三角形地各个角都相等，并且每个角都等于60 . （2）等腰三角形地其他性质：等腰直角三角形地两个底角相等且等于45等腰三角形地底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. 等腰三角形地三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 a 等腰三角形地三角关系：设顶角为顶角为A，底角为 B、 C，则 A=180 2B， B=C= 2、等腰三角形地判定等腰三角形地判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对地边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中地边相等.推论 1：三个角都相等地三角形是等边三角形推论 2：有一个角是60地等腰三角形是等边三角形. 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对地直角边等于斜边地一半. 等腰三角形地性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上地中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上地中线相等，并且它们地交点与底边两端点距离相等. 1、两边上中线相等地三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形地一边中线垂直这条边（平分这个边地对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们地交点到底边两端点地距离相等. 1、如果三角形地顶角平分线垂直于这个角地对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角地平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形. 高线1、等腰三角形底边上地高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上地高相等，并且它们地交点和底边两端点距离相等. 1、如果一个三角形一边上地高平分这条边（平分这条边地对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等地三角形是等腰三角形. 角等边对等角等角对等边边底地一半 腰长 周长地一半两边相等地三角形是等腰三角形4、三角形中地中位线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 连接三角形两边中点地线段叫做三角形地中位线. （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新地三角形. （ 2）要会区别三角形中线与中位线. 三角形中位线定理：三角形地中位线平行于第三边，并且等于它地一半. 三角形中位线定理地作用：位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段地倍分关系. 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长地一半. 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等地三角形. 结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等地平行四边形. 结论 4：三角形一条中线和与它相交地中位线互相平分. 结论 5：三角形中任意两条中位线地夹角与这夹角所对地三角形地顶角相等. 注意：重要辅助线中点配中点构成中位线。加倍中线。添加辅助平行线证明方法直接证法：综合法、分析法间接证法反证法：反设归谬结论证线段相等、角相等常通过证三角形全等证线段倍分关系：加倍法、折半法证线段和差关系：延结法、截余法证面积关系：将面积表示出来考点 4.4 直角三角形1、有一个角为90地三角形，叫做直角三角形. 直角三角形可用Rt表示，如直角三角形ABC写作 RtABC. 直角三角形是一种特殊地三角形，它除了具有一般三角形地性质外，具有一些特殊地性质：2、性质性质 1: 直角三角形两直角边地平方和等于斜边地平方性质 2: 在直角三角形中，两个锐角互余性质 3：在直角三角形中，斜边上地中线等于斜边地一半. （即直角三角形地外心位于斜边地中点，外接圆半径 RC/2 ）. 性质 4: 直角三角形地两直角边地乘积等于斜边与斜边上高地乘积. 性质 5: 射影定理在直角三角形中，斜边上地高线是两直角边在斜边上地射影地比例中项，每条直角边是它们在斜边上地射影和斜边地比例中项 ACB=90 CD AB （） ABCD=ACBC( 可用面积来证明）(5) 直角三角形地外接圆地半径R=1/2BC, (6) 直角三角形地内切圆地半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一 ) ；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二 ) 性质 6: 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对地直角边等于斜边地一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边地一半，那么这条直角边所对地锐角等于30. 3、判定方法：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 判定 1：有一个角为90地三角形是直角三角形. 判定 2：一个三角形，如果一边上地中线等于这条边地一半，那么这个三角形是以这条边为斜边地直角三角形 . 判定 3：勾股定理地逆定理如果三角形地三边长a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角三角形. 判定 4：若一个三角形30内角所对地边是某一边地一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边地直角三角形 . 判定 5：两个锐角互余地三角形是直角三角形. 判定 6：在直角三角形中，60 度内角所对地直角边等于斜边地根号 3/2 判定 7：在证明直角三角形全等地时候可以利用HL 两个三角形地斜边长对应相等以及一个直角边对应相等可判断两直角三角形全等. 注意：、等腰直角三角形中，两腰为1 地话，斜边为根号2. 、有一个角为30角地直角三角形中，短直角边为1 地话，长直角边为根号3，斜边为2. 、面积.底高法 S=ah/2 .海伦公式（三边法）S=(d(d-a)(d-b)(d-c) 其中 d=(a+b+c)/2 .两边夹一角S=a*b*sinC再除以 2 .一边与三角S=(a*a*sinB*sinC)/(2*sinA) .内切圆半径S=(1/2)*r*C .外接圆半径则请用正弦定理4、角平分线角平分线地定义：从一个角地顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等地角，这条射线叫做这个角地角平分线 . 三角形地角平分线定义：三角形顶点到其内角地角平分线交对边地点连地一条线段，叫三角形地角平分线. 【注意】三角形地角平分线不是角地平分线，是线段. 角地平分线是射线. 拓展：三角形地三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边地距离相等！( 即内心 ). 定理 1：在角平分线上地任意一点到这个角地两边距离相等. 逆定理：在一个角地内部（包括顶点），且到这个角地两边距离相等地点在这个角地角平分线上. 定理 2：三角形一个角地平分线分对边所成地两条线段与这个角地两邻边对应成比例，5、垂直平分线经过某一条线段地中点，并且垂直于这条线段地直线，叫做这条线段地垂直平分线（中垂线）垂直平分线地性质1. 垂直平分线垂直且平分其所在线段. 2. 垂直平分线上任意一点，到线段两端点地距离相等. 3. 三角形三条边地垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点地距离相等. 垂直平分线地逆定理到一条线段两个端点距离相等地点，在这条线段地垂直平分线上. 注意：要证明一条线为一个线段地垂直平分线，应证明两个点到这条线段地距离相等且这两个点都在要求证地直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 垂直平分线地性质：线段垂直平分线上地点到这条线段地两个端点地距离相等. 巧计方法：点到线段两端距离相等. 可以通过全等三角形证明. 考点 4.5 尺规作图1基本作图定义：尺规作图是指用没有刻度地直尺和圆规作图(1) 作一条线段等于已知线段(2) 作一个角等于已知角(3) 平分已知角(4) 经过一点作已知直线地垂线(5) 作线段地垂直平分线2. 作图公法以下是尺规作图中可用地基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图地步骤均可分解为以下五种方法：通过两个已知点可作一直线. 已知圆心和半径可作一个圆. 若两已知直线相交，可求其交点. 若已知直线和一已知圆相交，可求其交点. 若两已知圆相交，可求其交点. 考点 4.6 四边形与平行四边形四边形地相关概念 1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上地四条线段首尾顺次相接地图形叫做四边形. 2、凸四边形把四边形地任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线地同一旁，这样地四边形叫做凸四边形. 3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点地线段叫做四边形地对角线. 4、四边形地不稳定性三角形地三边如果确定后，它地形状、大小就确定了，这是三角形地稳定性.但是四边形地四边确定后，它地形状不能确定，这就是四边形所具有地不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛地应用.5、四边形地内角和定理及外角和定理四边形地内角和定理：四边形地内角和等于360. 四边形地外角和定理：四边形地外角和等于360. 推论：多边形地内角和定理：n 边形地内角和等于180；多边形地外角和定理：任意多边形地外角和等于360. 6、多边形地对角线条数地计算公式设多边形地边数为n，则多边形地对角线条数为. 平行四边形 1、平行四边形地概念两组对边分别平行地四边形叫做平行四边形. 平行四边形用符号“ABCD ”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”.2、平行四边形地性质（ 1）平行四边形地邻角互补，对角相等. （ 2）平行四边形地对边平行且相等. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 46 页 - - - - - - - - - - 推论：夹在两条平行线间地平行线段相等. （ 3）平行四边形地对角线互相平分. （ 4）若一直线过平行四边形两对角线地交点，则这条直线被一组对边截下地线段以对角线地交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形地面积.3、平行四边形地判定（1）定义：两组对边分别平行地四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等地四边形是平行