2022年《微积分》各章习题及详细答案 .pdf

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知xxfcos1)2(sin，则)(cosxf。2、)1()34(lim22xxxx。3、0 x时，xxsintan是x的阶无穷小。4、01sinlim0 xxkx成立的k为。5、xexxarctanlim。6、0,0, 1)(xbxxexfx在0 x处连续，则b。7、xxx6)13ln(lim0。8、设)(xf的定义域是 1 , 0，则)(ln xf的定义域是 _。9、函数)2ln(1xy的反函数为 _。10、设a是非零常数，则_)(limxxaxax。11、已知当0 x时，1)1(312ax与1cosx是等价无穷小，则常数_a。12、函数xxxf13arcsin)(的定义域是 _。13、22lim (22)_xxx。14、设8)2(limxxaxax，则a_。15、)2)(1(limnnnnn=_ 。二、选择题1、设)(),(xgxf是,ll上的偶函数，)(xh是,ll上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。（）)()(xgxf； （）)()(xhxf； （C）)()()(xhxgxf； （D）)()()(xhxgxf。2、xxx11)(，31)(xx，则当1x时有。（）是比高阶的无穷小；（）是比低阶的无穷小；（C）与是同阶无穷小；（D）。3、函数0) 1(0,1111)(3xkxxxxxf在0 x处连续，则k。（）23；（）32；（C）1；（D）0。4、数列极限ln)1ln(limnnnn。（）1；（）1；（C）；（D）不存在但非。5、01cos000sin)(xxxxxxxxxf，则0 x是)(xf的。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - - （）连续点； （）可去间断点； （C）跳跃间断点； （D）振荡间断点。6、以下各项中)(xf和)(xg相同的是（）（）2lg)(xxf，xxglg2)(；（）xxf)(，2)(xxg；（C）334)(xxxf，31)(xxxg； （D）1)(xf，xxxg22tansec)(。7、|sinlim0 xxx= （）（）1；（）-1；（C）0；（D） 不存在。8、xxx10)1 (lim（）（）1；（）-1 ；（）e；（）1e。9、)(xf在0 x的某一去心邻域内有界是)(lim0 xfxx存在的（）（）充分必要条件； （）充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件. 10、)1(lim2xxxx（）（）1；（）2；（C）21；（ D）0。11、设,nnncba均为非负数列，且nnnnnncbalim, 1lim,0lim，则必有（）（A）nnba对任意n成立；（B）nncb对任意n成立；（C）极限nnncalim不存在；（D）极限nnncblim不存在。12、当1x时，函数11211xexx的极限（）（）等于；（）等于；（）为；（）不存在但不为。三、计算解答1、计算下列极限（1）12sin2limnnnx；（2）xxxxcotcsclim0；（3）)1(lim1xxex；（4）xxxx31212lim；（5）1coscos21cos2cos8lim223xxxxx；（6）xxxxxxtancossin1lim0；（7）) 1(1321211limnnn； （8）32324arctan)21ln(limxxx。、试确定ba,之值，使2111lim2baxxxx。、利用极限存在准则求极限(1)nnnn13121111131211lim。（2）设01ax，且), 2, 1(1naxxnn，证明nnxlim存在，并求此极限值。5、讨论函数xxxxnnnnnxflim)(的连续性，若有间断点，指出其类型。6、设)(xf在,ba上连续，且bxfa)(，证明在),(ba内至少有一点，使)(f。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、x2sin2。2sin22)2sin21(1)2(sin22xxxf，222)(xxfxxxf22sin2cos22)(cos。2、0。016249lim)1()34(lim3222xxxxxxxxx。3、高阶。0)cos1(lim)cos1(tanlimsintanlim000 xxxxxxxxxx，xxsintan是x的高阶无穷小。4、0k。x1sin为有界函数，所以要使01sinlim0 xxkx，只要0lim0kxx，即0k。5、0。0arctanlimxexx)2,2(arctan,0lim(xexx。6、2b。bbxxfxx)(lim)(lim00，2)1(lim)(lim00 xxxexf，,)0(bf2b。7、212163lim6)13ln(lim00 xxxxxx。8、ex1根据题意要求1ln0 x，所以ex1。9、21xey)2ln()1(),2ln(1xyxy，12yex，21yex，)2ln(1xy的反函数为21xey。10、ae2原式 =aaaxxaaxxeaxa222)21(lim。11、23a由2312311)1(axax（利用教材P58(1)1axax）与2211cosxx，以及1322131lim1cos1)1(lim2203120axaxxaxxx，可得23a。12、2141x由反三角函数的定义域要求可得011131xxx解不等式组可得12141xx，)(xf的定义域为2141x。13、022222222(22)(22)lim22lim22xxxxxxxxxx22222(2)lim022xxxxx。14、2ln23lim()lim(1)xxxxxaaxaxa,令 t=3xaa，所以 x=3ata即：3211lim()lim(1) (1)xtaaxtxaxatt=38ae精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 2ln32ln8ln318ln33aa。15、2 )2(2)1(lim)2)(1(limnnnnnnnnnn2121)111(2limnnn。二、选择题1、选（）令)()()()(xhxgxfxF，由)(),(xgxf是,ll上的偶函数，)(xh是,ll上的奇函数，)()()()()()()()(xFxhxgxfxhxgxfxF。2、选（） )1 (11)1(1lim)1)(1(1lim)()(lim31311xxxxxxxxxxx23)1(31)1 (1l i m1xxxx（利用教材P58(1)1axax）3、选（ A）233121lim1111lim)(lim0300 xxxxxfxxx（利用教材P58(1)1axax）4、选（）1limln(1)lnlimln(1)1nnnnnnn5、选（）1)0(f，0)0(f，0)0(f6、 选 （） 在 （A） 中2ln)(xxf的定义域为0 x， 而xxgln2)(的定义域为0 x，)()(xgxf故不正确在（ B）xxf)(的值域为),(，2)(xxg的值域为0 x，故错在（ D）中1)(xf的定义域为R ，xxxgtansec)(2的定义域为2,kxRx，)()(xgxf，故错7、选（）1sinlim|sinlim00 xxxxxx，1sinlim|sinlim00 xxxxxx|sinlim0 xxx不存在8、选（）1)1(1010)(1lim)1 (limexxxxxx，9、选（）由函数极限的局部有界性定理知，)(lim0 xfxx存在，则必有0 x的某一去心邻域使)(xf有界，而)(xf在0 x的某一去心邻域有界不一定有)(lim0 xfxx存在，例如xx1sinlim0，函数11sin1x有界，但在0 x点极限不存在10、选（）（22222(1)(1)lim(1)limlim11xxxxxxxxxxxxxxxx211111lim2xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 11、选（ D）（A） 、 （）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情况，不可能得出“对任意n成立”的性质。（）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选（ D）002)1(lim11lim1111121xxxxexexx1111121)1(lim11limxxxxexexx当1x时函数没有极限，也不是。三、计算解答1、计算下列极限：（1）解：xxxnnnnnn222lim2sin2lim11。（2）解：2200001coscsccot1cos1sinsin2limlimlimlimsin2xxxxxxxxxxxxxxxx。（3）解：11lim)1(lim1xxexxxx。（4）解：3212133)2111(lim)1221(lim)1212(limxxxxxxxxxx。113332211lim(1)lim(1) 1122xxxexx（5）解：)1)(cos1cos2() 1cos4)(1cos2(lim1coscos21cos2cos8lim3223xxxxxxxxxx212112141cos1cos4lim3xxx。（6）解：)cossin1(tancossin1limtancossin1lim00 xxxxxxxxxxxxxxx2020202cos1lim2sinlim2cos1sinlimxxxxxxxxxxxx434121。0lim(1sincos )2xxxx（7）解：)1(1321211limnnx)111()3121()211(limnnx1)111 (limnx。（8）解：33123232323241)21(lim42lim4arctan)21ln(limxxxxxxxx。、解：1)(1lim)11(lim222xbxbaaxxbaxxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 211)1()()1 (lim2xbxbaxax21)(01baa231ba、 （1）1111211111312111nnnn而1111limnx113121111131211limnnnx。（2）先证有界（数学归纳法）1n时，aaaaxx12设kn时，axk， 则aaaxxkk21数列nx有下界，再证nx单调减，11nnnnnxaxaxxx且0nxnnxx1即nx单调减，nnxlim存在，设Axnnlim，则有aAA0A（舍）或aA，axnnlim、解：先求极限得00010111lim)(22xxxnnxfxxn而1)(lim0 xfx1)(l i m0 xfx0)0(f)(xf的连续区间为),0()0 ,(0 x为跳跃间断点.。、解：令xxfxF)()(， 则)(xF在,ba上连续而0)()(aafaF0)()(bbfbF由零点定理，),(ba使0)(F即0)(f，亦即)(f。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 第二章导数与微分一、填空题1、已知2)3(f，则hfhfh2)3()3(lim0= 。2、)0(f存在，有0)0(f，则xxfx)(lim0= 。3、1arctanxyx，则1xy= 。4、)(xf二阶可导，)sin1(xfy，则y= ；y= 。5、曲线xey在点处切线与连接曲线上两点), 1 (),1 ,0(e的弦平行。6、)1lnarctan(xy，则dy= 。7、42sin xy，则dxdy= ，2dxdy= 。8、若txxxttf2)11 (lim)(，则)(tf= 。9、曲线12xy于点 _处的切线斜率为2。10、设xxey，则_)0(y。11、设函数)(xyy由方程0)cos(xyeyx确定，则_dxdy。12、设tytxcos12则_22dxyd。二、单项选择1、设曲线xy1和2xy在它们交点处两切线的夹角为，则tan=（） 。（）1；（）1；（C）2；（）3。3、函数xkexftan)(，且ef)4(，则k（） 。（）1；（）1；（C）21；（）2。4、已知)(xf为可导的偶函数，且22)1()1(lim0 xfxfx，则曲线)(xfy在)2, 1(处切线的方程是。（）64xy； （）24xy； （C）3xy； （）1xy。5、设)(xf可导，则xxfxxfx)()(lim220= 。（）0；（）)(2xf； （C）)(2xf； （）)()(2xfxf。6、函数)(xf有任意阶导数，且2)()(xfxf，则)()(xfn= 。（）1)(nxfn； （）1)( !nxfn； （C）1)()1(nxfn； （）2)()!1(xfn。7、若2)(xxf，则xxfxxfx)()2(lim000=（）（）02x；（）0 x；（C）04x；（）x4。8、设函数)(xf在点0 x处存在)(0 xf和)(0 xf，则)()(00 xfxf是导数)(0 xf存在的（）（）必要非充分条件；（）充分非必要条件；（C）充分必要条件；（）既非充分又非必要条件。9、设)99()2)(1()(xxxxxf则)0(f（）（）99；（）99；（C）!99；（）!99。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 10、若)(uf可导，且)(2xfy，则有dy（）（）dxxf x)(2； （）dxxf x)(22； （C）dxxf)(22； （）dxxf x)(22。11、设函数)(xf连续，且0)0( f，则存在0，使得（）（A）)(xf在),0(内单调增加；（B）)(xf在)0,(内单调减少；（C）对任意的),0(x有)0()(fxf； （D）对任意的)0,(x有)0()(fxf。12、设001sin)(2xbaxxxxxf在0 x处可导，则（）（A）0, 1 ba；（B）ba, 0为任意常数；（C）0,0 ba；（C）ba,1为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题（1）xey1sin2，求dy；（2）3lntytx，求122tdxyd；（3）yyxarctan，22dxyd；（4）xxycossin，求)50(y；（5）xxxy)1(，求y；（6）)2005()2)(1()(xxxxxf，求)0(f；（7）)()()(xaxxf，)(x在ax处有连续的一阶导数，求)()(afaf、；（8）设)(xf在1x处有连续的一阶导数，且2)1 (f，求)1(coslim1xfdxdx。2、试确定常数ba,之值，使函数0102)sin1 ()(xexaxbxfax处处可导。3、证明曲线ayx22与bxy（ba,为常数）在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500 米处离地匀速铅直上升，其速率为140 米/ 分，当此气球上升到500 米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数)(xf对任意实数21,xx有)()()(2121xfxfxxf，且1)0(f，证明)()(xfxf。6、求曲线5323xxy上过点)3, 1(处的切线方程和法线方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 第二章导数与微分习题解答一、填空题1、11)3(21)21()3()3(lim2)3()3(lim00fhfhfhfhfhh2、)0(f)0(0)0()(l i m)(l i m00fxfxfxxfxx3、xln1lnxyxxyxln|14、xxfcos)sin1(，xxfxxfsin)sin1(cos)sin1 (2xxfycos)sin1(，xxfxxfysin)sin1(cos)sin1(25、)1),1(ln(ee弦的斜率1011eek1)(eeeyxx)1ln(ex，当)1ln(ex时，1ey。6、)1 (1 )1arctan(2xxdx)1 ()1(11)1arctan(1)1arctan()1arctan(12xdxxxdxdy)1(1 )1arctan(2xxdx7、432sin4xx，422sin2xx433442sin44cossin2xxxxxdxdy4222sin22xxxdxdydxdy8、tttee222ttxxtexttf22)11(lim)(ttteetf222)(9、)2, 1 (xy2，由220 x10 x，21120y12xy在点)2, 1(处的切线斜率为2 10、 2 xxxeey，xxxxeeey2)0(00eey11、)sin()sin(xyxexyyeyxyx方程两边对x求导得0) )(sin() 1 (xyyxyyeyx解得)sin()sin(xyxexyyeyyxyx。12、34cossintttt由参数式求导公式得ttxydxdytt2sin，再对x求导，由复合函数求导法得32224cossin21sincos21) () (tttttttttxyydxddxydttxx。二、选择题1、 选（）由21xyxy交点为) 1 , 1 (，1|)1(11xxk，2|)(122xxk3|1|)tan(|tan211212kkkk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 3、 选（）xxkexfkxk21tansectan)(由ef)4(得eke221k4、 选（ A）由xfxfxfxfxx2)1()1(lim2) 1()1(lim002)21()1()21()1()1(lim0fxfxfx4)1(f切线方程为：)1(42xy即64xy5、 选（）)()(2 )()()(lim2220 xfxfxfxxfxxfx6、 选（）)(2)()(2)()(32xfxfxfxfxf)(32)()(32 )(2)(423xfxfxfxfxf设)(!)(1)(xfnxfnn，则)()()!1()()1(xfxfnxfnn)()!1(2xfnn)(!)(1)(xfnxfnn7、 选（）)(22)()2(2lim)()2(lim0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx又xxxf2)()(2，004)(2xxf8、 选（）)(xf在0 x处可导的充分必要条件是)(xf在0 x点的左导数)(0 xf和右导数)(0 xf都存在且相等。9、 选（）)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(xxxxxxxxxxxf)98()2)(1(xxxx!99!99) 1()990()20)(10()0(99f另解：由定义，)99()2)(1(lim0)0()(lim)0(00 xxxxfxffxx!99!99)1(9910、 选（）)(2)()( )(2222xfxxfxfdxxf xdy)(2211、由导数定义知0)0()(lim)0( 0 xfxffx，再由极限的保号性知,0当),(x时0)0()(xfxf，从而当),0()(0,(xx时，)0(0)0()(fxf，因此 C 成立，应选C。12、由函数)(xf在0 x处可导，知函数在0 x处连续bbaxxfxxxfxxxx)(lim)(lim,01sinlim)(lim00200，所以0b。又axaxxfxffxxxxfxffxxx0)0()(lim)0(,01sinlim0)0()(lim)0(0200，所以0a。应选 C。三、计算解答1、计算下列各题（1）dxxxxexdedyxx)1(1cos1sin2)1(sin21sin21sin22dxexxx1sin222sin1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - - （2）32313tttdxdy，3222919tttdxyd，9|122tdxyd（3）两边对x求导：yyy211112yy)11(2)1(2223233yyyyyyy（4）xxxy2sin21cossin)22sin(2cosxxy)222sin(2)22cos(2xxy设)22sin(21)(nxynn则)2) 1(2sin(2)22cos(2)1(nxnxynnnxxy2sin2)2502sin(24949)50(（5）两边取对数：)1ln(lnlnxxxy两边求导：xxxxyy11)1ln(ln111)1ln(ln)1(xxxxxxyx（6）利用定义：!2005)2005()3)(2)(1(lim)0()(lim)0(00 xxxxxfxffxx（7）)()()()(xaxxxf)()(aaf又axaxaxxaxafxfafaxax)()()()(lim)()(lim)()()()(limxaxaxax)(2)()(aaa 注：因)(x在ax处是否二阶可导不知，故只能用定义求。 （8）121)1sin()1(coslim)1(coslim11xxxfxfdxdxx121sinlim)1(coslim11xxxfxx1)21()1(f2、易知当0 x时，)(xf均可导，要使)(xf在0 x处可导则)0()0(ff， 且)(xf在0 x处连续。即)0()(lim)(lim00fxfxfxx而020)(lim2)(lim00baxfabxfxx又bxabaxxfxffxx22)sin1(lim0)0()(lim)0(00axaxxexabefxaxxaxx000lim1lim21lim)0(由1102bababa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 3、证明：设交点坐标为),(00yx，则ayx2020byx00对ayx22两边求导：yxyyyx022曲线ayx22在),(00yx处切线斜率0010|yxykxx又由2xbyxbybyx曲线bxy在),(00yx处切线斜率2020|xbykxx又1)(00200021yxbxbyxkk两切线相互垂直。4、设t分钟后气球上升了x米，则500tanx两边对t求导：2575001405001sec2dtdxdtd2cos257dtd当500 xm时，4当500 xm时，50721257dtd（弧度 / 分）5、证明：hxfhfxfhxfhxfxfhh)0()()(lim)()(lim)(00hfhfxfhfxfhfxfhh)0()()(lim)0()()()(lim00)()0()(xffxf6、解：由于xxy632，于是所求切线斜率为3|63121xxxk，从而所求切线方程为)1(33xy， 即063yx又法线斜率为31112kk所以所求法线方程为)1(313xy，即083xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 第三章中值定理与导数应用一、填空题1、xxxlnlim0_。2、函数xxxfcos2在区间 _单调增。3、函数43384xxxf的极大值是 _。4、曲线xxxy3624在区间 _是凸的。5、函数xxfcos在0 x处的12m阶泰勒多项式是_。6、曲线xxey3的拐点坐标是 _。7、若xf在含0 x的ba,（其中ba）内恒有二阶负的导数，且_, 则0 xf是xf在ba,上的最大值。8、123xxy在,内有_个零点。9、_)1sin1(cotlim0 xxxx。10、_)tan11(lim20 xxxx。11、曲线2xey的上凸区间是 _。12、函数1xeyx的单调增区间是_。二、单项选择1、函数)(xf有连续二阶导数且, 2)0(, 1)0(, 0)0(fff则20)(limxxxfx（）（）不存在； （） 0 ； （） -1 ；（） -2 。2、设),(),12)(1()(xxxxf则在)1 ,21(内曲线)(xf（）（）单调增凹的；（）单调减凹的；（）单调增凸的；（）单调减凸的。3、)(xf在),(ba内连续，0)()(),(000 xfxfbax，则)(xf在0 xx处（）（）取得极大值；（）取得极小值；（）一定有拐点)(,(00 xfx；（）可能取得极值，也可能有拐点。4、设)(xf在ba,上连续， 在),(ba内可导， 则： 在),(ba内0)(xf与： 在),(ba上)()(afxf之间关系是（）（）是的充分但非必要条件；（）是的必要但非充分条件；（）是的充分必要条件；（）不是的充分条件，也不是必要条件。5、设)(xf、)(xg在ba,连续可导，0)()(xgxf，且)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时，则有（）（）)()()()(agafxgxf；（）)()()()(bgbfxgxf；（）)()()()(agafxgxf；（）)()()()(afagxfxg。6、方程0133xx在区间),(内（）（）无实根；（）有唯一实根；（）有两个实根；（）有三个实根。7、 已知)(xf在0 x的某个邻域内连续，且0)0(f，2cos1)(lim0 xxfx， 则在点0 x处)(xf（）（）不可导；（）可导，且0)0( f；（C）取得极大值；（）取得极小值。、设)(xf有二阶连续导数，且0)0( f，1|)(lim0 xxfx，则（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - - （）)0(f是)(xf的极大值；（）)0(f是)(xf的极小值；（）)0(, 0(f是曲线)(xfy的拐点；（）)0(f不是)(xf的极值点。9、设ba,为方程0)(xf的二根，)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，则)( xf在),(ba内（）（A）只有一实根；（B）至少有一实根；（C ）没有实根；（D ）至少有 2 个实根。10、在区间 1 , 1上满足罗尔定理条件的函数是（）（A）21)(xxf；（B ）|)(xxf；（C）21)(xxf；（D）12)(2xxxf。11、函数)(xf在区间),(ba内可导，则在),(ba内0)( xf是函数)(xf在),(ba内单调增加的（）（A）必要但非充分条件；（B）充分但非必要条件；（C）充分必要条件；（C）无关条件。12、设)(xfy是满足微分方程0sin xeyy的解，且0)( 0 xf，则)(xf在（）（A）0 x的某个邻域单调增加；（B）0 x的某个邻域单调减少；（）0 x处取得极小值；（）0 x处取得极大值。三、计算解答1、计算下列极限(1)1arccoslim1xxx； (2)xxxlncotlnlim0；(3) )1ln(lim2sin0 xxeexxx； (4) )1ln(11lim20 xxxx；(5)30arctanlimxxxx； (6)tan(ln)tan(lnlim0bxaxx。2、证明以下不等式(1) 、设eab，证明abba。(2) 、当20 x时，有不等式xxx3sin2tan。3、已知xxysin3，利用泰勒公式求)0()6(y。4、试确定常数a与n的一组数，使得当0 x时，nax与33)1ln(xx为等价无穷小。5、设)(xf在ba,上可导，试证存在)(ba，使)()(3)()(1233ffbfafabab。6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该体积最小值。7、若)(xf在 1 ,0上有三阶导数，且0)1()0(ff，设)()(3xfxxF，试证：在) 1 ,0(内至少存在一个，使0)( F。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 第三章中值定理与导数应用习题解答一、填空题1、00)(lim11lim1lnlimlnlim02000 xxxxxxxxxxx2、),(0sin2)(xxf)(xf在),(上单调增3、20 )2(121224)(232xxxxxf令2,00)(21xxxf当2x时，0)(xf；当2x时，0)(xf极大值为20)2(f4、)1 , 1(31243xxy，)1)(1(1212122xxxy当1x时，0y. 当)1 , 1(x时，0y；当), 1(x时，0y曲线在)1 , 1(上是凸的5、mmxmxx242)!2(1)1(! 41! 211（见教材P13 页，泰勒公式）6、)32,32(2e)31(3333xexeeyxxx，)32(9)69(3)31 (33333xexeexeyxxxx令320 xy，当32x时，0y；当32x时0y而当32x时，232ey拐点为)32,32(2e7、0)(0 xf, 0)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx0)(0 xxxf当0 xx时，)(, 0)(0 xfxf单调增加；当0 xx时，)(,0)(xfxf单调减少8、1 0232xy，y在),(上单调增加又yxlimyxlim.在),(内有 1 个零点。9、61原式613cos1limsinlimcoslimsin)sin(coslim2030020 xxxxxxxxxxxxxxx。10、31原式 =31tanlim3131seclimtanlimtantanlim2202203020 xxxxxxxxxxxxxxx。11、)22,22(22)2(2,22xxexyxey令220 xy，当)22,22(x时，0y，上凸，其它区间0y，上凹，故应填入)22,22(。12、),0(函数1xeyx的定义区间为),(，在定义区间内连续、可导，且1xey，因为在), 0(内0 y，所以函数1xeyx在),0(上单调增加。二、选择题1、选（）12)(lim21)(lim)(lim0020 xfxxfxxxfxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 2、选（）当)1 ,21(x时，0)(xf，又0)41(414)(xxxf) 1 ,21(x)(xf在)1 ,21(上单调减且为凹的。3、 选 （ ）3)(xxf， 则0)0()0( ff，0 x是3)(xxf的 拐 点 ； 设4)(xxf， 则0)0()0( ff，而0 x是4)(xxf的极值点。4、 选 （）由)(xf在),(ba内0)(xf的充分必要条件是在),(ba内Cxf)(（C为常数）， 又因为)(xf在,ba内连续，所以)(afC，即在),(ba上)()(afxf。5、选（）由0)()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf)()(0)()(xgxfxgxf单调减少，),(bax)()()()(bfafxgxf. 6、选（）令13)(3xxxf，则) 1)(1( 333)(2xxxxf；当1x时，0)(xf，)(xf单调增加，当)1 , 1(x时，0)(xf，)(xf单调减少当), 1(x时，0)(xf，)(xf单调增加 . 而3)1(f，1)1 (f)(limxfx，)(limxfx)(xf在)1,(上有一实根，在 1 , 1上有一实根，在), 1(上有一实根。、选（）利用极限的保号性可以判定)(xf的正负号：0cos1)(02cos1)(lim0 xxfxxfx（在0 x的某空心邻域） ；由0cos1x，有)0(0)(fxf，即)(xf在0 x取极小值。8、选（）由极限的保号性：0|)(01|)(lim0 xxfxxfx（在0 x的某空心邻域） ； 由此0)( xf（在0 x的某空心邻域） ，)( xf单调增，又由0)0( f，)( xf在0 x由负变正，由极值第一充分条件，0 x是)(xf的极小点。9、选（ B）由罗尔定理保证至少存在一点),(ba使0)( f。10、选（ C） ，A 选项)(xf在0 x不连续， B 选项)(xf在0 x处不可导， D 选项)1()1 (ff。11、选（ B） ，如3xy在),(单增，但0)0( f，故非必要条件。12、选（），由0)( 0 xf有0)( )(00sin0sin0 xxexyexy，所以)(xf在0 x处取得极小值。三、计算解答1、计算极限（1）解：1arccoslim1xxx12111arccos21lim21xxxx2111arccos1lim1xxx(2) 解：1sincossinlim1)csc(cot1limlncotlnlim20200 xxxxxxxxxxxx。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - - - (3) 解：613cos1limsinlim)1(lim)1ln(lim20303sinsin02sin0 xxxxxxeexxeexxxxxxxxx(4) 解：21)1(21lim2111lim)1ln(lim)1ln(11lim002020 xxxxxxxxxxxxx(5) 解：31)1(3lim3111limarctanlim222022030 xxxxxxxxxxx。(6) 解：bbxaxaaxbxbbxbxaaxaxbxaxxxx)(sec)tan()(sec)tan(lim)(sec)tan(1)(sec)tan(1lim)tan(ln)tan(lnlim2202200220cos ()lim1cos ()xbxbxaaxaxb2、(1) 证明：baabbaablnln令xaaxxflnln)(，则)(xf在,ba上连续0ln)(xaaxf,bax)(xf在,ba上单调增加，)()(afbf得0lnlnlnlnaaaabaab，即abba(2) 令xxxxf3sin2tan)(在)2,0(x时03coscoscos133coscoscos13cos2sec)(3222xxxxxxxxxf0)(xf，)(xf在(0,)2上单调增，又00lim( )lim(tan2sin3 )0 xxf xxxx0(0,),( )lim( )02xxf xf x， 即xxx3sin2tan3、解：麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf而)()!12()1(! 5! 3sin212153mmmxomxxxxx!5! 3sin8643xxxxxy对比6x的系数有：120! 3! 6)0(! 31!6)0()6()6(ff4、解：1)1 (3lim313lim)1ln(lim36023210