2022年勾股定理提高练习题精编 .pdf

勾股定理练习 (根据对称求最小值 ) 基本模型： 已知点 A、B 为直线m 同侧的两个点， 请在直线 m上找一点 M，使得 AM+BM有最小值。1、已知边长为 4 的正三角形 ABC 上一点 E，AE=1，ADBC 于 D,请在 AD 上找一点 N，使得 EN+BN 有最小值，并求出最小值。2、.已知边长为 4 的正方形 ABCD 上一点 E，AE=1，请在对角线 AC 上找一点 N，使得 EN+BN 有最小值，并求出最小值。3、如图，已知直线ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB=230 试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足MNa 且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= （）A6 B8 C10 D12 4、已知 AB=20，DAAB 于点 A，CBAB 于点 B，DA=10，CB=5（1）在 AB 上找一点 E，使 EC=ED，并求出 EA 的长；（2）在 AB 上找一点 F，使 FC+FD 最小，并求出这个最小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 5、如图，在梯形 ABCD 中， C=45 ，BAD= B=90 ，AD=3 ，CD=2 2 ，M 为 BC 上一动点，则 AMD 周长的最小值为6、如图，等边 ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线， M 是 AD 上的动点， E 是 AB边上一点，则 EM+BM 的最小值为7、如图 AOB = 45 ，P 是AOB 内一点， PO = 10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR周长的最小值8如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为（）A2 B2 6C3 D69、在边长为 2 cm的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则 PBQ 周长的最小值为 _ cm 10、在长方形 ABCD 中，AB=4,BC=8,E 为 CD 边的中点，若 P、Q 是 BC 边上的两动点，且 PQ=2，当四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 几何体展开求最短路径1、如图 ,是一个三级台阶 ,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A 和 B 是这个台阶两相对的端点， A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程3、如图，一个高 18m，周长 5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙) 4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点 B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 折叠问题1、 如图所示，折叠矩形的一边AD， 使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm， BC=10cm，求 EF 的长。2、如图，把矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A 落在点A处； （1）求证： BE=BF；（2）设 AE=a，AB=b，BF=c，试猜想 a、b、c 之间的一种关系，并给予证明3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将 ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD= 。4、 如图， 折叠长方形 ABCD 的一边 AD， 点 D 落在 BC 边的 D处， AE 是折痕， 已知 CD=6cm，CD=2cm，则 AD 的长为. 5、如图，在 RtABC 中， ABC=90， C=60，AC=10，将 BC 向 BA 方向翻折过去，使点 C 落在 BA 上的点 C，折痕为 BE，则 EC 的长度是（）A、53B、53 5 C、1053D、5 +36、如图，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点C 落在 C的位置上，已知AB=?3，BC=7，求重合部分 EBD 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 弦图有关问题1、如图，直线l 上有三个正方形a、b、c ，若 a、c 的面积分别为5 和 11，则 b 的面积为（）A、4 B、6 C、16 D、55 2、 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么 (a+b)2的值为（）A、13 B、19 C、25 D、169 3、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、 S 2、S 3，则 S1、S2、 S3之间的关系是（）A、S1+S 2S3B、S1 +S 2S3C、S1 +S2=S3D、S12 +S22 =S324、如图，是8 月北京第 24 届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52 和 4，则直角三角形的两条直角边的长分别为。5、已知：如图，以RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB 3,则图中阴影部分的面积为6、 如图，Rt ABC 的周长为 (5+3 5) cm， 以 AB 、AC 为边向外作正方形ABPQ 和正方形ACMN 若这两个正方形的面积之和为25cm2，则ABC 的面积是cm2. 7、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4= 8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1 ，S2，S3 若 S1+S2+S310，则 S2的值是。9、如图，已知ABC 中， ABC 90,AB BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2 , l2、l3之间的距离为3 ,求 AC 的长。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 勾股定理的证明1、将直角边长分别为a、b，斜边长为c 的四个直角三角形拼成一个边长为c 的正方形，请利用该图形证明勾股定理。2、将直角边长分别为a、b，斜边长为c 的四个直角三角形拼成一个边长为a+b 的正方形，请利用该图形证明勾股定理。3、以 a、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。4、已知 ,如图所示 ,正方形 ABCD 的边长为 1, G 为 CD 边上的一个动点（点G 与 C、 D 不重合） , 以 CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF,连接 DE 交 BG 的延长线于点H. （1）求证 :BCG DCE HB DE （2）试问当 G 点运动到什么位置时, BH 垂直平分 DE?请说明理由 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 勾股定理中考典型题目练习1、 （ 2014?山东枣庄）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为cm2、 （2014?山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处则问题中葛藤的最短长度是_尺3、 （2014?乐山）如图，ABC 的顶点 A、B、 C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC 于点 D则CD 的长为（）A352B453C554D5524、 （ 2014?湖北荆门）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A4 2dmB2 2dmC2 5dmD45dm5、 (2014?黑龙江牡丹江 )如图，在等腰 ABC 中， AB=AC ， BC 边上的高AD=6 cm， 腰 AB 上的高 CE=8cm，则ABC 的周长等于cm6、 （ 2014?安徽省）如图，RtABC 中，AB=9 ，BC=6， B=90，将 ABC 折叠，使A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为MN ，则线段 BN 的长为。7、 （20XX 年山东泰安）如图是一个直角三角形纸片，A=30 ， BC=4cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图，再将沿DE 折叠，使点A 落在 DC的延长线上的点A处精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 如图，则折痕DE 的长。8、(2013 山东菏泽 )如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S2，则 S1+S2的值为（）A16B17C18D19 9、 （ 2013?新疆）如图， RtABC 中， ACB=90 ， ABC=60 ， BC=2cm ，D 为 BC 中点，若动点E 以 1cm /s 的速度从 A 点出发，沿着ABA 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（ 0t6） ，连接 DE，当 BDE 是直角三角形时，t 的值为（）A2 B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5 10 （2013 湖北省鄂州市）如图，已知直线ab，且 a 与 b 之间的距离为4，点 A 到直线 a 的距离为2，点 B 到直线b 的距离为 3，AB=230试在直线a 上找一点M，在直线b 上找一点N，满足MN a 且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= （）A 6 B8 C10 D2 11、 （2013 湖北省鄂州市， ）如图， AOB 中， AOB=90 ， AO=3 ， BO=6， AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到 AOB 处，此时线段AB 与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段BE 的长度为12、(2012 四川省南充市）如图，四边形ABCD 中， BAD= BCD=90 ， AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是 24cm2，则 AC 长是cm. 13、(2011 重庆綦江 ) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形 DEFH 的边长为2 米，坡角 A30,B90,BC6 米. 当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当AE米时 ,有 DC 2AE 2BC2 . 14、 （2011 内蒙古呼和浩特市）如图所示，四边形ABCD 中， DCAB ，BC=1， AB=AC=AD=2. 则 BD 的长为（）A. 14B. 15C. 3 2D. 23精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 15、 （2011 贵州遵义）如图，由四个边长为1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到 ABC ，则 ABC 中 BC 边上的高是。16、 （2010 辽宁丹东市）已知ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰RtACD ，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边， 画第三个等腰RtADE ， 依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是17、 （2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90 ， BAC=30 ，AB=4 作 PQR 使得 R=90，点 H 在边QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G、F 在边 PQ 上，那么 PQR 的周长等于18、 （山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点A开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点 B，那么所用细线最短需要cm19、 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边AD 的长是（）A12 厘米B16 厘米C20 厘米D28 厘米20、如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点 E、F 分别在边BC 、CD 上，将 AB 、AD 分别和 AE、AF折叠，点 B、D 恰好都将在点G 处，已知BE=1，则 EF 的长为（）A23B25C49D3 21、在 ABC 中，已知 AB=20,AC=15,BC边上的高 AD 为 12，求 ABC 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 22、如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN30，点 A 处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？23、如图，将边长为8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点落在BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN ，求折痕 MN 的长度。精品资料 - 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