2022年北师大版数学九年级下册知识点总结及例题 .pdf

. . 1 可编辑修改，可打印别找了你想要的都有！精品教育资料全册教案，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 2 北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章直角三角形的边角关系1正切：在 RtABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tanA，即的邻边的对边AAAtan; tanA 是一个完整的符号，它表示A 的正切，常省去角的符号 “ ” ；tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A 的对边与邻边的比；tanA 不表示 “tan”乘以“A”；tanA 的值越大，梯子越陡， A 越大； A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大。例 在 RtABC 中， 如果各边长度都扩大为原来的2倍， 那么锐角 A的正弦值（）A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.扩大 4 倍 D.没有变化2. 正弦：在 RtABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即斜边的对边AAsin; 例 在ABC中，若90C，1sin2A，2AB，则ABC的周长为3. 余弦：在 RtABC 中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA，即斜边的邻边AAcos; 例 等腰三角形的底角为30，底边长为 2 3，则腰长为（）A4 B 2 3 C2 D2 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 3 4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。例 ABC 中，A，B均为锐角，且有2|tan3 |2sin30BA（），则ABC是（）A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形C 等腰（不等边）三角形 D等边三角形5. 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角6. 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素， 求出所有未知元素的过程， 叫做解直角三角形。7. 在ABC 中， C 为直角， A、B、 C 所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系： a2+b2=c2；(2)两锐角的关系： AB=90 ；(3)边与角之间的关系：,tan,cos,sinbaAcbAcaA,tan,cos,sinabBcaBcbB30 o45 o60 osin 212223cos232221tan 331 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 4 (4)面积公式 :chcab2121S(hc 为 C 边上的高 ); 例 在ABC 中， C90，下列式子一定能成立的是（）AsinacBBcosabBCtancaBD tanabA8. 解直角三角形的几种基本类型列表如下：例ABC中，C=90 ，AC=52，A 的角平分线交 BC 于 D，且 AD=1534，则Atan的值为 A 、1558 B、3 C、33 D 、31例 已知，四边形 ABCD 中， ABC = ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形 ABCD 的面积 S四边形 ABCD. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 5 图 3 图 4 9. 如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母 i 表示，即Alhitan例 一人乘雪橇沿坡度为1:3的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间 t（秒）之间的关系为 S2210tt,若滑动时间为 4 秒，则他下降的垂直高度为A、 72 米B、36 米C、336米D、318米10. 从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC 的方位角分别为45 、135 、225 。11. 正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角，叫做方向角。如图 4，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是；北偏东30 ，南偏东 45 (东南方向 )、南偏西为 60 ，北偏西 60 。图 2 h i=h:l l A B C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 6 第二章二次函数1. 二次函数的概念：形如)0,(2acbacbxaxy是常数，的函数，叫做 x 的二次函数。（1）自变量的取值范围是全体实数。（2）)0(2aaxy是二次函数的特例，此时常数b=c=0. （3）在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。2. 二次函数 yax2的图象是一条顶点在原点且关于y 轴对称的抛物线。描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。 函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在 (0，0)，对称轴是 y 轴(或称直线 x0)。当 a0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当 a0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、当 a0 时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当 a0 时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx当 a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。最大值或最小值：当 a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是03. 二次函数caxy2的图象是一条顶点在y 轴上且关于 y 轴对称的抛物线二次函数caxy2的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a| 决定抛物线的开口程度大小， c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 7 4. 二次函数cbxaxy2的图象是以abx2为对称轴，顶点在（ab2，abac442）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）5. 二次函数cbxaxy2的图象与 yax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由 yax2的图象平移得到，其步骤如下：将cbxaxy2配方成khxay2)(的形式；（其中 h=ab2，k=abac442）；把抛物线2axy向右（ h0）或向左（ h0）或向下（ k0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而增大。若 a0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而减小。最值：若 a0，则当 x=ab2时，abacy442最小；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；acb42=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；acb420 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；例 已知二次函数，且，则一定有（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 10 A. B. C. D. 0例已 知 抛 物 线与 x轴 有 两 个 交 点 ， 那 么 一 元 二 次 方 程的根的情况是 _.例 已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为，则=_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 11 第三章圆1. 圆的定义：描述性定义： 在一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周， 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆，记作 O，读作“ 圆 O ”集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为d，则点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 例 若A 的半径为 5，圆心 A 的坐标是 (3，4)，点 P 的坐标是 (5，8) ，则点 P的位置为（）A、在 A内B、在 A上C、在 A外D 、不能确定例 若O 所在平面内一点P到O 上的点的最大距离为a， 最小距离为 b （ab） ，则此圆的半径为（）A2baB2baC22baba或Dbaba或3. 圆的对称性 : （1）与圆相关的概念：弦和直径：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 12 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号 “ ” 表示，以 CD 为端点的弧记为 “” ，读作 “ 圆弧 CD ”或“ 弧 CD ”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧， 优弧用三个字母表示。 ) 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距. （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（3）垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。（4）定理：在同圆或等圆中 ,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 例 两个同心圆的半径分别为3 cm和 4 cm ， 大圆的弦 BC与小圆相切，则 BC =_ cm.例 已知 O的半径为 2cm,弦 AB 长为32cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 13 A 1 B 2 C 3 D 4 例 如图为直径是 52cm圆柱形油槽 , 装入油后 , 油深 CD为 16cm,那么油面宽度 AB= cm. 4. 圆周角和圆心角的关系 : （1）弧的概念 : 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是 1 的圆心角,相应的整个圆也被等分成360 份,每一份同样的弧叫1 弧. （2）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等 .即不能写成AOB= ,这是错误的 . （3）圆周角的定义 : 顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角 ,叫做圆周角 . （4）圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中 ，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径；例 下面四个命题中 ,正确的一个是( ) A 平分一条弦的直径必垂直于这条弦B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C 圆心角相等 ,圆心角所对的弧相等D 在一个圆中 ,平分一条弧和它所对弦的直线必经过这个圆的圆心例 如图，ABC 内接于 O， 若A=40， 则OBC 的度数为（）A20B40C50D70例 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上， 读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（）A12 个单位B10 个单位C1 个单位D15 个单位DOBCA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 14 5. 确定圆的条件 : （1）确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置 ,半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 ,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . （2）经过三点作圆要分两种情况: i. 经过同一直线上的三点不能作圆. ii. 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. (3)三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: i. 三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形. ii. 三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. iii. 三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等. 例 平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A、正方形B、菱形 C、矩形 D、等腰梯形6. 直线与圆的位置关系(1) 直线和圆相交、相切、相离的定义: 相交: 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线 . 相切: 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线 ,惟一的公共点做切点 . 相离: 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . （2）直线与圆的位置关系的数量特征: 设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交. d=r 直线 L 和O 相切. dr 直线 L 和O 相离. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - . . 15 （3）切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （4）切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论 : 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . （5）三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. （6）三角形内心的性质 : i. 三角形的内心到三边的距离相等. ii. 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 例 下列四个命题中正确的是（）与圆有公共点的直线是该圆的切线垂直于圆的半径的直线是该圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A、B、C、D、例 过O 外一点 P 作O 的两条切线 P A、PB，切点为 A 和 B，若 AB=8，AB的弦心距为 3，则 P A 的长为( ) A、5 B、320C 、325D、8 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -