2022年北师大版必修5高中数学第二章《正、余弦定理在实际生活中的应用》word典型例题素材 .pdf

名师精编优秀教案正、余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1. 测量中正、余弦定理的应用例 1 某观测站C在目标A南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距 31 千米的B处有一人正沿此公路向A走去， 走 20千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？分析： 根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD，求角B. 再解ABC，求出AC，再求出AB，从而求出AD（即为所求） . 解： 由图知，60CAD. 22222231202123cos2231 2031BDBCCDBBC BD，12 3sin31B. 在ABC中，sin24sinBCBACA. 由余弦定理，得2222cosBCACABAC ABA. 即2223124224 cos60ABAB. 整理，得2243850ABAB，解得35AB或11AB（舍） . 故15ADABBD（千米） . 答：此人所在D处距A还有 15 千米. 评注： 正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2. 航海中正、余弦定理的应用ACD3121B203525东北精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案例 2在海岸A处，发现北偏东45方向，距A为31海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为 2 海里的C处的缉私船奉命以10 3海里 / 小时的速度追截走私船 . 此时走私船正以10海里/ 小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？分析： 注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD的方位角及由C到D所需的航行时间. 解：设缉私船追上走私船所需时间为t小时，则有10 3CDt，10BDt. 在ABC中 ， 31AB，2AC，4575120BAC，根据余弦定理可得22( 31)22 2 ( 31)cos1206BC. 根据正弦定理可得32sin12022sin26ACABCBC. 45ABC，易知CB方向与正北方向垂直，从而9030120CBD. 在BCD中，根据正弦定理可得：sin10sin1201sin210 3BDCBDtBCDCDt，30BCD，30BDC，6BDBC，则有106t，60.24510t小时14.7分钟 . 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船. 评注： 认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据. 明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用. 3. 航测中正、余弦定理的应用例 3飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度457530ACDB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案为180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18 30，经过120秒后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m ） . 分析： 首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM和Rt BMD中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解：设飞行员的两次观测点依次为A和B，山顶为M，山顶到直线的距离为MD. 如图，在ABM中，由已知，得18 30A，99ABM，62 30AMB. 又12018066060AB（km ）, 根据正弦定理，可得6sin18 30sin 62 30BM，进而求得6sin18 30sin81sin62 30MD，2120MD（ m ）, 可得山顶的海拔高度为20250212018130（m ）. 评注： 解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、 余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案. 4. 炮兵观测中正、余弦定理的应用例 4 我炮兵阵地位于地面A处， 两观察所分别位于地面点C和D处， 已知6000CD米，45ACD，75ADC，目标出现于地面点B处时，测得30BCD，15BDC（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 分析： 根据题意画出图形，如图，题中的四点A、B、C、D可构成四个三角形. 要求AB的长，由于751590ADB，只需知道AD和BD的长，这样可选择在ACD和BCD中应用定理求解. 解： 在ACD中，18060CADACDADC，6000CD，45ACD，根据正弦定理有sin 452sin603CDADCD，同理，在BC中，ABDM304575ACD15精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案180135CBDBCDBDC，6000CD，30BCD，根据正弦定理有sin 302sin1352CDBDCD. 又在ABD中，90ADBADCBDC，根据勾股定理有：2221421000 42326ABADBDCDCD. 所以炮兵阵地到目标的距离为1000 42米. 评注： 应用正、 余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解. 5. 下料中正余弦定理的应用例 5 已知扇形铁板的半径为R，圆心角为60，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析： 要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示. 解：在图（1）中, 在AB上取一点P， 过P作PNOA于N， 过P作PQPN交OB于Q，再过Q作QMOA于M. 设AOPx，sinPNRx.在POQ中，由正弦定理，得ABQPOxMN（1）ABQPOxMNED（2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案sin(18060 )sin(60)OPPQx. 2 3sin(60)3PQRx. 于是222 33sinsin(60)cos(260 )cos6033SPN PQRxxRx22313(1)326RR. 当cos(260 )1x即30 x时，S取得最大值236R. 在图（ 2）中，取AB中点C，连结OC，在AB上取一点P，过P作/PQOC交OB于Q，过P作PNPQ交AB于N，过Q作QMPQ交CA于M，连结MN得矩形MNPQ，设POCx，则sinPDRx. 在POQ中，由正弦定理得：sin(18030 )sin(30)RRx，2sin(30)PQRx. 2224sinsin(30)2cos(230 )cos30SPD PQRxxRx222(1 cos30 )(23)RR（当15x时取“” ）. 当15x时，S取得最大值2(23)R. 223(23)6RR，作30AOP，按图（ 1）划线所截得的矩形面积最大. 评注： 此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力. 综上， 通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景； （2）能够综合地， 灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -