2022年《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用的习题库 .pdf

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题1.若( )f x定义在 , a b上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)使( )0f。（）2.若( )f x在 , a b上连续且( )( )f af b，则必存在(a,b)使( )0f。（）3.若函数( )f x在 , a b内可导且lim( )lim( )xaxbfxf x， 则必存在(a,b)使( )0f。 （ ）4.若( )f x在 , a b内可导，则必存在(a,b)，使( )(a)( )()f bffba 。（）5.因为函数( )f xx在 1,1上连续，且( 1)(1)ff，所以至少存在一点1,1使( )0f。（）6.若对任意( , )xa b，都有( )0fx，则在( , )a b内( )f x恒为常数。（）7.若对任意( , )xa b，都有( )( )fxg x ，则在( , )a b内( )( )f xg x。（）8.arcsinarccos, 1,12xxx。（）9.arctanarctan,(,)2xxx。（）10. 若( )(1)(2)(3)f xx xxx，则导函数( )fx 有 3 个不同的实根。（）11. 若22( )(1)(4)f xxx，则导函数( )fx 有 3 个不同的实根。（）12.222(2 )limlim21(21)xxxxxx（）13.220011limlim()sinsinxxxxeexx（）14.若( )0fx则( )0f x。（）15. 若在( , )a b内( )f x，( )g x都可导，且( )( )fxg x ， 则在( , )a b内必有( )( )f xg x。 （）16. 函数( )arctanf xxx 在 R上是严格单调递减函数。（）17. 因为函数( )f xx 在0 x处不可导，所以0 x不是( )f x的极值点。（）18. 函数( )f xx 在0 x的领域内有( )(0)f xf， 所以( )fx在0 x处取得极小值。 （）19. 函数sinyxx在0, 2 严格单调增加。（）20. 函数1xyex在(,0严格单调增加。（）21. 方程32210 xxx在0,1内只有一个实数根。（）22. 函数32yx 在0,)严格单调增加。（）23. 函数32yx 在(,0严格单调减少。（）24. 若0()0fx则0 x 必为0()fx的极值点。（）25. 若0 x 为( )f x极值点则必有(0)0f。（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 26.3( )f xx 在0 x处有(0)0f，所以0 x是( )fx的极值点。（）27. 若00(,()xf x为曲线( )yf x的拐点，则必有0()0fx。（）28. 若0()0fx，则00(,()xf x必为函数曲线( )yf x的拐点。（）29. 若在 I 上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I 上是凹的。（）30. 曲线4263yxxx 在区间（ 0,1 ）内是凸的。（）31. 曲线2ln(1)yx的图形处处是凹的。（）32. 曲线3xyxe的拐点0 x。（）33. 曲线3yx 在(,0内是凸的，在0,)内是凹的。（）34. 曲线ln xyx有水平渐近线0y。（）二、选择题1. 若( )f x在( , )a b内可导，12,x x 是( , )a b内任意两点，且12xx ， 则至少存在一点使 （）A.( )( )( )()f bf afba ，其中abB.11( )()( )()f bf xfbx，其中 xbC.1221()()( )()f xf xfxx，其中12xxD.22()( )( )()f xf afxa，其中2ax2. 函数3( )3xf xx在0,3满足罗尔定理条件的等于（）A.-1 B.0 C.1 D.33. 函数2( )23f xxx在1,2满足拉格朗日中值定理条件的等于（）A.12B.0 C.1 D.124. 函数(1)yxx在区间(0,1)内满足罗尔定理的（）A.0 B.13C.12D.1 5. 下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是（）A.000sincossinlimlimlim1xxxxxxxxxeeeB.sinlimlim(1cos )xxxxxx不存在C.232000011sincossincossin1limcotlimlimlimsin33xxxxxxxxxxxxxxxxxxxD.22001limlim1sincosxxxxeexx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 6. 函数2( )1xf xx（）A.在 R上单调减少B.在 R上单调增加C.在( 1,1)上单调减少D.在( 1,1)上单调增加7.( )lnf xxx，则（）A.在1(0,)e内单调增加B.在1( ,)e内单调增加C.在(0,)内单调减少D.在(0,)内单调增加8. 函数2( )xf xx e（）A.没有极值B. 既有极大值也有极小值C.只有极大值D.只有极小值9. 若在区间( , )a b内函数(0)0f，(0)0f则( )f x在( , )a b内（）A.单调递减且凹的B.单调增加且凸的C.单调增加且凹的D.单调递减且凸的10. 若fxfx，(,)x，在(,0 )内( )0fx，( )0fx，则( )f x在(0,)内有（）A.( )0fx，( )0fxB.( )0fx，( )0fxC.( )0fx，( )0fxD.( )0fx，( )0fx11. 要使点(1,3)为曲线32yaxbx 的拐点则,a b值应为（）A.93,22ab B.39a,22b C.3,6ab D. 2,1ab12. 点(1,2)是曲线23yaxbx 的拐点，则（）A.0,2abB.1,1abC.2,0abD.3,1ab13. 曲线23( )3f xxx 在（）A.在(,1)内是凸的，(1,)内是凹的B.在(1,)内是凸的，(,1)内是凹的C.在(,0)内是凸的，(0,)内是凹的D.在(0,)内是凸的，(,0)内是凹的14. 2 是函数32362yxxx在 1,1上的（）A.极大值B. 极小值C.最大值D.最小值15. 函数3229121yxxx在 0,2 上的最大值点与最小值点分别是（）A.1，0 B.1，2 C.2，0 D.2，1 16. 设( )(1)(21),(,)fxxxx则在1(,1)2内曲线( )f x单调（）A.递增凹的B.递减凹的C.递增凸的D.递减凸的17. 当0 x，则曲线1sinyxx（）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线18. 曲线2211xxeye（）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线19. 曲线11xye的渐近线（）A.1x为垂直渐近线，0y为水平渐近线B.1x为垂直渐近线，1y为水平渐近线C.0 x为垂直渐近线，0y为水平渐近线D.0 x为垂直渐近线，1y为水平渐近线三、填空题1. 若函数( )f x在 , a b上可导，则至少存在一点(a,b)使得( )f。2. 函数23( )1f xx在( 1,1)内满足罗尔中值定理的点是。3. 函数( )3f xxx在(0,3)内满足罗尔中值定理的点是。4. 函数3( )2f xx 在( 1,1)内满足拉格朗日中值定理的点是。5. 函数32( )52f xxxx在( 1,0)内满足拉格朗日中值定理的点是。6. 函数( )sin ,( )cos ,f xx g xx在(0,)2x内满足柯西中值定理的点是。7. 函数( ),( ),f xx g xx在(0,1)x内满足柯西中值定理的点是。8. 函数2( )pf xxqxr 在区间( , )a b内满足拉格朗日中值定理的点是。9. 函数32( )2f xxxx，( )21g xx在区间(0,1)内满足柯西中值定理的点是。10. 函数( )arctanf xxx在(,)上严格单调。11. 函数( )2cosf xxx在0,2内的最大值点是。12. 函数1( )11f xxx的极大值点是，极小值点是。13. 曲线2xye在区间上是凸的。14. 曲线31 (2)yx的拐点是。15. 曲线211xyx的水平渐近线为。16. 曲线214yxx的垂直渐近线为。17. 曲线1xye 的水平渐近线为。18. 曲线211xyx的水平渐近线为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 19. 曲线2(3)2(1)xyx的斜渐近线为。20. 曲线3(3)(1)xyxx的垂直渐近线为。21. 曲线3(3)(1)xyxx的斜渐近线为。四、求解题1.332132lim1xxxxxx2.0limsinxxxeex3.202limxxxeex4.11lim1nxxx5.02limln(1)xxx6.sinsinlimxaxaxa7.2121lim11xxx8.011limln(1)xxx9.1lim(1)xxx e10.lim(arctan )2xxx11.limln(2)lnxxxx12.32lnsinlim(2 )xxx13.1ln 1limarctanxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 14.0limtanxxx15.111limxxx16.10lim(1sin )xxx17. 求函数3229123yxxx的单调性和极值。18. 求函数23(2) (1)yxx的单调性和极值。19. 求函数231 (2)yx的单调性和极值。20. 求函数( )1xf xex的单调性。21. 求函数3( )(1)f xxx 的单调区间并求极值。22. 求函数2( )1xf xx的单调区间并求极值。23.求函数32( )231214f xxxx在 3,4上的最值。24. 求函数32392yxxx在 4,4上的最大值和最小值。25.求32( )23f xxx在 1,4上的最值。26.求32( )231214f xxxx在 3,4的最值。27. 求曲线xyxe 的凸凹性及其拐点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 五、证明题1. 设0,1abn证明：11.nnnnabnbnaab2. 设0 x，1ln(1)1.1xxx3. 证明 sinsinabab 。4. 设0ab证明：lnln.abababab5. 证明当0ab时，22arctanarctan11babababa。6. 当0 x时，1xex。7. 当0 x时，1112xx。8. 当0 x时，221ln(1)1xxxx9. 证明3( )21f xxx在(,)内只有一个零点。10.1()() (0,0,1)22nnnxyxyxyxy n。11.lnln()ln,(0,0,)2xyxxyxxyxyxy。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 六、应用题1. 一个房产公司有 50 套公寓需要出租，当租金每套每月为1000元时，公寓会全部租出，当租金每月增加50 元时，就会有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套花费 100 元的维护费。问房租定为多少可获得最大收入？2. 有一块边长为6a的正方形铁片， 在每个角剪去一个边长同样的小正方形，然后将四角折起来，做成无盖的方盒。问为了使盒子体积最大，剪去小正方形的边长为多少的？3. 已知若每英亩种植20 棵核桃树，则每年每棵树可以平均收获坚果60磅。据此估算核桃树的种植，若每英亩增加种植一棵树（最多增种15 棵），则平均每棵树年减产量减少 2 磅。问每英亩种植多少棵树会使亩产最大？最大亩产是多少？4. 某工厂要建造一个容积为32 a立方米的带盖圆柱体， 问半径 r 和高 h 如何确定，则所用的材料最省？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 5. 某工厂要建造一个容积为3a立方米的无盖圆柱体，问半径r 和高 h 如何确定，则所用的材料最省？6. 要建一个体积为5立方米的无盖圆柱形的桶，底面用铜制，侧壁用铁制，已知每平方米铁片造价是 a元，每平方米铜片造价是5a元，问该桶的底面半径r 多大时总造价最低，最低总造价是多少元？7. 某地区的防空洞的截面拟建成一个矩阵加一个半圆（矩形的宽与半圆的直径重合） ，截面的面积为 5 平方米。问底宽x为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时最省材料？8. 铁路线上AB段的距离为 100 千米。工厂C距A处为 20 千米，ACAB。为了运输的需要，在AB线上一点D处向工厂C修建一条公里。已知铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费比为3：5。为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问点D应选在离开点A距离多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -