2022年厦门理工学院高数练习题答案第一章函数与极限 .pdf

高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第一节映射与极限一选择题1.函数216ln1xxxy的定义域为 D （A） （0， 1）（B）(0,1)(1,4) （C）(0,4) （D）4 ,1 ()1 ,0(2.3arcsin2lgxxxy的定义域为 C （A）)2, 3(3 ,(（B）(0,3) （C）3,2()0 ,3（D）), 3(3函数)1ln(2xxy是 A （A）奇函数（B）非奇非偶函数（C）偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4下列函数中为偶函数且在)0,(上是减函数的是 D （A）222xxy（B）)1 (2xy（C）|)21(xy（D）.|log2xy二填空题1.已知),569(log)3(22xxxf则) 1(f2 2.已知, 1) 1(2xxxf则)(xf12xx3.已知xxf1)(,xxg1)(, 则xgfx114.求函数)2lg(1xy的反函数1102xy5.下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成(1) xylntan2：xssvvuuy,ln,tan,2(2) 32arcsinlgxy：_ 32xttssvvuuy,arcsin,lg,_ 三.计算题1设)(xf的定义域为 1 ,0, 求)(sin),(2xfxf的定义域解：)(2xf的定义域为 11, )( s i n xf的定义域为)()( ,Zkkk122精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 2.设2|111|1)(2xxxxx, 求)23(),21(),1(, 并作出函数)(xy的图形 . 解：01)(2321)(2123)(（ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40（图 1-22） 。当过水断面ABCD 的面积为定值时0s，求湿周 L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系，并指明其定义域。解：sinhCDAB2220hhBCS)tan(t a nhhSBC0sintanhhhSL205.收音机每台售价为90 元，成本为60 元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100 台以上的，每多订购1 台，售价就降低1 分，但最低价为每台75 元. （1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数（2）将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数（3）某一商行订购了1000 台，厂方可获利润多少？解：（1）160075160010001091100090 xxxxP.（2）1600151600100010311000302xxxxxxxL.（3）210001000)(L（元）A D B C h图 1-22 b 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第二节数列的极限一、填空题1. 写出下列数列的前五项：(1) 11nnxn：_ 325321310,_ (2)nxnn1)1(：_ ,151413121,_ (3)212nxn：_ 25511933919493,_ (4) nnx31：_ 24318112719131,_ 2写出下列数列的通项：(5) ,119,97,75,53,31nx12121nnn)(6) ,81,0,61,0,41,0,21,0nynn211)(7) 99.0, 999.0, ,9999.0nz11011n)(二、选择题：1下列数列nx中收敛的是 B （A）nnxnn1)1(（B）nn1)1(1（C）2sinnxn（D）nnx3三、证明题1根据数列极限的定义证明(1)231213limnnn解：由于nnnn412412312120要使231212nn，只要n41，即41n，取41N精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 当Nn时，有231212nn所以231213limnnn2若axnnlim，证明|limaxnn。并举例说明：如果数列|nx| 有极限，但数列nx未必有极限 . 解：因为axnnlim所以0，总存在0N，使当Nn时，有axn又因为axaxnn所以axn即|limaxnn例如11nnxnn)(3设数列nx 有界，又0limnny，证明0limnnnyx解：由于nx 有界，存在正数M，使对一切自然数n 有Mxn又0limnny0，总存在0N，使当Nn时，有Myn所以MMyxyxnnnn即0limnnnyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第三节函数的极限一填空题定义极限任给总存在当恒有axnnlim0整数0NNn时|axn111lim22nnn012NNn11122nnAxfxx)(lim000|00 xx|)(|Axf211lim21xxx010 x2112xx211lim21xxx010 x或11x2112xx211lim21xxx001x或11x2112xx2121lim33xxx0正数0XXx212133xx2121lim33xxx0321XXx212133xx2121lim33xxx0321XXx212133xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 二.证明题1用极限的定义证明（1）12252)(limxx解：对0，要使251225xx，只要52x， 取5，当20 x时，有1225x所以12252)(limxx2.设1|11|)(xxxxf（1）作)(xf的图形（2）根据图形写出)(lim1xfx，)(lim1xfx，)(lim1xfx，)(lim1xfx（3）)(lim1xfx与)(lim1xfx存在吗？解： （1）作图如右（2）1)(lim1xfx，1)(lim1xfx1)(lim1xfx，1)(lim1xfx（3）1)(lim1xfx，)(l i m1xfx不存在3.求xxxxxxf|)(,)(当0 x时的左、右极限，并说明它们在0 x时的极限是否存在？解：1lim)(lim00 xxxfxx，1lim)(lim00 xxxfxx， 所以1)(lim0 xfx11lim|lim)(lim000 xxxxxx，1)1(lim|lim)(lim000 xxxxxx所以xxxxx|l i m)(l i m00不存在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第四、五节无穷小与无穷大, 极限运算法则一、填空题1若)(lim,)(limxgxfaxax,则必有 D （A）)()(limxgxfax（B）0)()(limxgxfax（C）0)()(1limxgxfax（D）)0()(limkxkfax2当,0 x下列变量中是无穷小量的为 D （A）xe（B）x11sin（C）)2ln(x（D）xcos13下列命题正确的是 D （A）无穷小量是个绝对值很小很小的数（B）无穷大量是个绝对值很大很大的数（C）无穷小量的倒数是无穷大量（D）无穷大量的倒数是无穷小量4变量1) 1()1()(3xxxxxf在过程当 ( C )时为无穷大量（A）0 x（B）1x（C）1x（D）2x5下列命题肯定正确的是 A （A）若)(lim0 xfxx存在 ,)(lim0 xgxx不存在 ,则)()(lim0 xgxfxx必不存在 . （B）)(lim0 xfxx与)(lim0 xgxx不存在 ,则)()(lim0 xgxfxx必不存在 .（C）若)(lim0 xfxx存在 , )(lim0 xgxx不存在 ,则)()(lim0 xgxfxx必不存在 .（D）若)(lim0 xfxx不存在 ,则|)(|lim0 xfxx必不存在 .6若432lim23xkxxx,求k的值为 C （A）0 （B）1（C）3 （D）2 二、填空题(1)31lim22xxx= _5 _ (2) 33lim223xxx=_ 0 _ 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - (3) 23lim22xxx= _ (4) xxxxxx2324lim2230=_ 21_ (5) 2116(limxxx) =_ 6 _ （6）121lim42xxxx= 0 (7) xxxarctan2lim=_ 0 （8）)21.41211(limnn=_ 2 （9）).21(lim222nnnnn=_ 21_ （10）)cos2(1lim232xxxxx=_ 0 _ 三、计算题（1）hxhxh220)(lim（2）502030) 12()23()12(limxxxx= hxhhxxh22202lim= 203012231212xxxxxlim= x2= 2023（3）38231limxxx（4）)1311(lim31xxx= )()(lim3182483238xxxxxx= 321131xxxxlim= 2= )()(lim211111xxxxxx= 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第六节极限存在准则两个重要极限一、选择题1下列极限中，正确的是 B （A）1sinlimxxx（B）11sinlimxxx（C）12sinlim0 xxx（D）111sinlim0 xxx2下列极限中，正确的是 D （A）exxx)11(lim（B）exxx1)1(lim（C）exxx10)31(lim（D）exxx210)1 (lim二、填空题1xxx23sinlim0_ 23_ 2. xxx5tanlim0_ 5 _ 3. nnnx2sin2lim=_ x _ 4.xxx20)1(lim_ 2e_5. xxxxsin2cos1lim0=_ 2 _ 6. 12)21 (limxxx=_ 1e_ 三、计算题1. xxxx30sintansinlim2. xxxxxsinsinlim0解：原式xxxx301si n)( cost a nl i mxxxx32022si ns i nt a nl i m332222xxxxxxsinsintan解：原式xxxxxsinsinlim11021= 0 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 3.xxxx)11(lim4.ln)2ln(limnnnn解：原式xxxx1111lim解：原式)ln(limnnn1121eeenxn21lnlim22eln四、利用极限存在准则证明11122).(limnnnnn证：设22nnxn，nnnyn22而nynxnnn2211.1nnxlim，1nnylim由极限的收敛准则（1） （夹逼准则）所以11122).(limnnnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第七节无穷小的比较一、填空题1当0 x时，下列变量与x为等价无穷小量的是 C （A）x2sin（B）xcos1（C）xx11（D）xxsin2当0 x时，xxsin与x相比，是 A （A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等价无穷小3当0 x时，若axsin与2tanx等价 , 则a C （A）1 （B）0（C）21（D）314当x时，若)12sin(2xax2, 则a A （A）1 （B）2 （C）3 （D）21二、填空题1.xxx3sin)21ln(lim0=_ 32_ 2.xxx23arcsinlim0_ 23_ 3.20tancos1limxxx_ 21_ 4. 201sin1limxxx_ _三、利用等价无穷小的性质,求下列极限1. )sin)(tansinlim1111320 xxxxx解：原式)si n)()(costanlim11111320 xxxxxxxxxxsin)(lim213122203精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 2. xxxxx20sinsintanlim解：原式= xxxxx201sin)cos(tanlim212320 xxxxlim3. )1cos1 (lim2xxx解：原式=212122)(limxxx4. ) 1()sin1ln(lim20 xxexx解：原式=120 xxxxsinlim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _第八节函数的连续性与间断点一、选择题1如果)(lim0 xfxx存在 ,则)(xf在0 x处 C （A）一定有定义（B）一定无定义（C）可以有定义 ,也可以无定义（D）一定连续2函数)(xf在点0 x处有定义 ,是)(xf在0 x处连续的 A （A）必要不充分条件（B）非必要又非充分条件（C）充要条件(D) 充分又非必要条件3函数)(xf在0 x点处左、右极限存在且相等，则它是)(xf在0 x处连续的 B (A) 充分非必要条件（）必要非充分条(C) 充要条件（）既不是充分也不是必要条件函数34122xxxy间断点的个数为 B （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 设01sin00sin)(xxxxkxxxf在0 x处连续，则k A （）（）（）（）二、填空题1633)(223xxxxxxf的连续区间是),(),(),(22332为使)1ln(1)(xxexxf在0 x处连续，则须补充定义10)(f3函数xxxftan)(的间断点为kx，2kx，),(210k可去间断点为0 x, 2kx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 第一类间断点为0 x, 2kx, 第二类间断点为kx4设0,sin0,)(2xxbxxbxaxf在0 x处连续，则a与b应满足的关系是ba三、计算题研究下列函数21210)(2xxxxxf的连续性，并画出函数的图形. 解：当10 x时，2xxf)(是连续的；当21x时，xxf2)(是连续的。当1x时，1211xxfxxl i m)(l i m1211)(l i m)(l i mxxfxx所以)(xf在1x处是连续的；故)(xf在0，2是连续的。求下列函数间断点并判断其间断点类型，若是可去间断点，请补充定义使之连续（）23122xxxy解：函数在21 xx,没有定义，所以是函数的间断点。由于2212311221xxxxxxxlimlim， 所以1x是函数的第一类间断点且为可去间断点；只要补充当1x时，2y就可使它连续。又231222xxxxlim，所以2x是函数的第二间断点。精品资料 - 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- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 高等数学练习题第一章函数与极限_系 _专业班级姓名_ _学号 _综合练习一、选择题1设20( )20 xxg xxx,20( )0 xxf xxx, 则( )g f x D （A）22020 xxxx（B）22020 xxxx（C）22020 xxxx（D）22020 xxxx2. 已知sin401limlimxxxxxxexk,则k B （A）2 （B）3（C）3 （D）4 3若)(lim0 xfxx存在，则下列极限一定存在的是 B （A）axxxf)(lim0(a为实数 )； （B）)(lim0 xfxx（C）)(lnlim0 xfxx（D）)(arcsinlim0 xfxx4设)(xf在0 x点连续，且在0 x的一去心领域内有0)(xf，则 C （A）0)(0 xf（B）0)(0 xf（C）0)(0 xf（D）0)(0 xf51/1/21arctan0( )31023xxxxf xx，则0 x是( )f x的 D （A）可去间断点（B）无穷间断点（C）振荡间断点（ D）跳跃间断点6设000 xxfxx，111xxg xxx，则fxg x的连续区间是 C （A）,（B）,00,（C）（D）,00,11,7. 函数12sin( )1xxef xxx的间断点个数为 C （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 8. 曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有 B （A）1 条（B）2 条（C）3 条（D）4 条精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 二、计算题1heexhxh0lim解：原式=heehxh)(lim10hhehx0limxe2已知2)15(lim2bxaxxx, 求常数a和b解：由于21151522xxxbabxaxxxxlim)(lim则0152)(limxxbax所以25a把25a代入原式，并整理得210125512bbxxxbxxlim，所以20b故求得常数25a，20b3. 131tan41lim3220 xxxx解：原式= 114132203lntanlimxxexx3224320lntanlimxxxx3ln1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -