2022年“三线合一”证题【精】精心总结 .pdf

_ 精品资料等腰三角形巧用“ 三线合一” 证题“三线合一” 是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“ 三线合一”例 1. 已知，如图1，AD 是的角平分线， DE 、DF 分别是和的高。求证： AD 垂直平分EF 分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD 垂直平分EF 例 2. 如图 2，中， AB AC，AD 为 BC 边上的高， AD 的中点为M，CM 的延长线交 AB 于点 K，求证：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料分析：可考虑作DE/CK 交 AB 于 E，因为 M 是 AD 的中点，所以K 是 AE 的中点，只要证 E 是 BK 的中点，问题可得到解决。由于有，所以就想到用“三线合一” 。证明：过点D 作 DE/CK 交 BK 于点 E 二. 先连线，再用“三线合一”例 3. 如图 3，在中，D 是 BC 的中点， P 为 BC 上任一点，作，垂足分别为E、F 求证：（ 1）DE DF；（ 2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察 DE 为或的一边， DF 为或的边，但它们都没有全等的可能。由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或问题得证。（2）欲证，只要证，即可但由（ 1）已证出又，故问题解决证明：连结AD 。D 是 BC 的中点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料DA 平分，四边形 PEAF 是矩形又又（2）又即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例 4. 如图 4，已知四边形ABCD 中，M、N 分别为 AB 、CD的中点，求证：分析：由于MN 与 CD 同在中，又 N 为 CD 的中点，于是就想到证为等 腰 三 角 形 ， 由 于MD 、 MC为、斜 边AB上 的 中 线 ， 因 此，所以，问题容易解决。证明：连结DM、 CM ，M 是 AB 的中点是等腰三角形又N 是 CD 的中点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料例 5. 如图 5，中， BC 、 CF 分别平分和，于 E，于 F，求证： EF/BC 分析：由 BE 平分、容易想到： 延长 AE 交 BC 于 M， 可得等腰，E 为 AM 的中点；同理可得等腰，F 是 AN 的中点，故EF 为的中位线，命题就能得证。证明：延长AE、AF 分别交 BC 于 M、N ，为等腰三角形即，同理为的中位线一、证明角相等【 例1 】 已 知 ： 如 图1 ， 在ABC中 ，ACAB，ADBD于D 求 证 ：DBCBA C 2【分析 】作出等腰ABC的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“ 三线合一” 的性质证得DBC等于其中任一部分即可【证明】 作BAC的 平分 线AE，则有B A C2121 ACAB，21， BCAE（ 三 线 合 一 ） 902C 又 ADBD， 90CDBC D B C2 D B CB A C 2图 1 2 1 E D C B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料【点拨 】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一” 性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决二、 证明线段相等【例 2】（ 2009 汕头）如图 2，ABC是等边三角形，D 点是 AC 的中点，延长BC到 E，使CDCE，过点 D 作BEDM，垂直为M求证：EMBM【 分 析 】 在BDE中 ，BEDM 如 果 能 证 得DEDB，由“ 三线合一” 就可得出EMBM【证明 】 A B C是等边三角形， D 是的 AC 中点，60ACBABC， BD 平分ABC（三线合一）30DBC又CDCE，CDEE又CDEEACB，3021ACBE30EDBCDEDB又BEDM，EMBM（三线合一）【点拨 】能利用“ 三线合一” 证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“ 三线合一” 证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一” 来解决三、 证明直线垂直【例 3】（ 2009 义乌）如图 3，在正 ABC 中，BCAD于点 D，以 AD 为一边向右作正 ADE 请判断 AC 、DE 的位置关系，并给出证明【 分 析 】 在 正 ABC中 ， 由 “ 三 线 合 一 ” 知30CAD 而 ADE也 是 正 三 角 形 ， 于 是 有303060CADDAEFAE， 这 样 就 得AF 是正 ADE 的角平分线， 再由 “ 三线合一”得DEAC【 证 明 】 在 正 ABC中 ， BCAD， F E D C B 图 3 A 图 2 E C A M D B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料30CAD（三线合一）在正 ADE 中，303060CADDAEFAE， AF 是DAE的平分线DEAC（三线合一）【点拨 】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一” 来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线例 1. 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=_ 。图 1 分析：如图1，AB=AC ，BD AC 于 D，作底边BC 上的高 AE，E 为垂足，则可知EAC=EAB，又，所以。例 2. 已知： 如图 2，ABC 中，AB=AC ，CEAE 于 E，E 在 ABC 外，求证： ACE= B。图 2 分析：欲证 ACE= B，由于 AC=AB ，因此只需构造一个与RtACE 全等的三角形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料即做底边BC 上的高即可。证明：作ADBC 于 D，AB=AC ，又，BD=CE 。在 RtABD 和 Rt ACE 中，ABAC ，BD=CE ，RtABD RtACE （HL）。ACE= B 例 3. 已知：如图3，等边三角形ABC 中， D 为 AC 边的中点， E 为 BC 延长线一点，CE=CD ，DMBC 于 M，求证： M 是 BE 的中点。图 3 分析： 欲证 M 是 BE 的中点， 已知 DMBC ，因此只需证DB=DE ，即证 DBE= E，根据等边 ABC ， BD 是中线，可知DBC=30 ，因此只需证 E=30 。证明：联结BD ，ABC 是等边三角形，ABC= ACB=60 CD=CE ，CDE= E=30 BD 是 AC 边上中线，BD 平分 ABC ，即 DBC=30 DBE= E。DB=DE 又 DM BE，DM 是 BE 边上的中线，即M 是 BE 的中点。练习1. 如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC ，BC 边的中点D 处有一个重锤，小明将BC 边与木条精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料重合，观察此重锤是否通过A 点，如通过A 点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？图 4 2. 已知：如图5，在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=BC ，D 是 AB 的中点， E、F 分别在 AC、BC 上，且 ED FD，求证： S四边形 CEDF。图 5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - _ 精品资料Welcome To Download ! 欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -